TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 TẬP 3 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

ò
, C Ỵ R.
· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
· '()()
fxdxfxC
=+
ò
·
[
]
()()()()
fxgxdxfxdxgxdx
±=±
òòò

·
()()(0)
kfxdxkfxdxk
=¹
òò

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu ()()
fuduFuC
=+
ò

ò

·
dxxC
=+
ò

·
1
,(1)
1
x
xdxC
+
=+¹-
+
ò
a
a
a
a

·
1
ln
dxxC
x
=+
ò


tan
cos
dxxC
x
=+
ò

·
2
1
cot
sin
dxxC
x
=-+
ò

·
1
cos()sin()(0)
axbdxaxbCa
a
+=++¹
ò

·
1
sin()cos()(0)
axbdxaxbCa
a


Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2
1
()–3fxxx
x
=+
b)
4
2
23
()
x
fx
x
+
= c)
2
1
()
x
fx
x
-
=
d)
22
2
(1)

22
1
()
sin.cos
fx
xx
= l)
22
cos2
()
sin.cos
x
fx
xx
= m)
()2sin3cos2
fxxx
=

n)
(
)
()– 1
xx
fxee= o)
2
()2
cos
x
x

35
();()1
x
fxFe
x
-
==
d)
2
13
();(1)
2
x
fxF
x
+
==

e)
3
2
1
()=;(2)0
x
fxF
x
-
-=
f)
1

(1)
xxx
fxF
x
++-
==
+
k)
2
()sin;
224
x
fxF
ỉư
===
ç÷
èø
pp

Bài 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a)
2
()cos;()sin;3
2
gxxxxfxxxF
ỉư
=+==
ç÷
èø
p

4
53
()tan35
()4tan4tan3
Fxxx
fxxx
ì
ï
=+-
í
=++
ï
ỵ

c)
2
2
22
4
()ln
3
2
()
(4)(3)
x
Fx
x
x
fx
xx

xx
x
fx
x
ì
-+
=
ï
ï
++
í
-
ï
=
ï
+
ỵ Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 80
Bài 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
32
2
()(32)43

()3104
Fxmxmxx
Tìmm


c)
22
2
()()4
.,,.
()(2)4
Fxaxbxcxx
Tìmabc
fxxxx
ì
ï
=++-
í
= ï
ỵ
d)
2
()()
.,,.
()(3)
x
x
Fxaxbxce
Tìmabc
fxxe
ì
ï
=++
í

x
x
Fxaxbxce
Tìmabc
fxxxe
-
-
ì
ï
=++
í
=-+
ï
ỵ

g)
()(1)sinsin2sin3
.,,.
23
()cos
bc
Fxaxxx
Tìmabc
fxx
ì
ï
=+++
í
ï
=

bằng phương pháp đổi biến số
·
Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) =
[
]
().'()
guxux
thì ta đặt
()'()
tuxdtuxdx
=Þ=
.
Khi đó:
()
fxdx
ò
=
()
gtdt
ò
, trong đó
()
gtdt
ò
dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính
()
gtdt
ò
theo t, ta phải thay lại t = u(x).

(5)
xxdx
+
ò
f)
2
5
x
dx
x
+
ò

g)
2
1.
xxdx
+
ò
h)
2
3
3
52
x
dx
x+
ò
i)
2

-
sin,
22
xatt
=-££
pp

hoặc cos,0xatt
=££
p

22
ax
+
tan,
22
xatt
=-<<
pp

hoặc cot,0xatt
=<<
pTrần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 81
n)
3
x

dx
e
+
ò
s)
tan
2
cos
x
e
dx
x
ò

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
a)
23
(1)
dx
x-
ò
b)
23
(1)
dx
x+
ò
c)
2
1.

x
-
ò
h)
2
1
dx
xx
++
ò
i)
32
1.
xxdx
+
òVẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) .sin
xxdx
ò
b) cos
xxdx
ò
c)

ò

k) ln
xxdx
ò
l)
2
ln
xdx
ò
m)
2
ln(1)
xdx
+
ò

n)
2
tan
xxdx
ò
o)
22
cos
xxdx
ò
p)
2
cos2


d) cos
xdx
ò
e) .sin
xxdx
ò
f)
3
sin
xdx
ò

g)
ln(ln)
x
dx
x
ò
h)
sin(ln)
xdx
ò
i)
cos(ln)
xdx
ò

Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) .cos

ò
f)
2
cos
x
dx
x
ò().
x
Pxedx
ò

().cos
Pxxdx
ò
().sin
Pxxdx
ò

().ln
Pxxdx
ò

u P(x) P(x) P(x) lnx
dv
x
edx

x+
ò
i)
2
ln x
dx
x
ỉư
ç÷
èø
òVẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của
các hàm số f(x)
±
g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x)
±
g(x), tức là:

1
2
()()()
(*)
()()()
FxGxAxC
FxGxBxC

-
ò
c)
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò

d)
cos
sincos
x
dx
xx
+
ò
e)
4
44
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
f)

k)
x
xx
e
dx
ee
-
-
-
ò
l)
x
xx
e
dx
ee
-
+
ò
m)
x
xx
e
dx
ee
-
-
+
ò


vớibac
xm
xmaxbxcaxbxc
+
=+=-<
-
-++++
D2222
1
()()()()
ABCD
xaxb
xaxbxaxb
=+++
2. f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) = ,
m
axb
Rx
cxd
ỉư
+
ç÷
+


·
f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ
bản. Chẳng hạn:
+
[
]
sin()()
11
.
sin().sin()sin()sin().sin()
xaxb
xaxbabxaxb
+-+
=
++-++
,
sin()
1
sin()
ab
sửdụng
ab
ỉư
-
=
ç÷
-
èø

cos()()
11
.
sin().cos()cos()sin().cos()
xaxb
xaxbabxaxb
+-+
=
++-++
,
cos()
1
cos()
ab
sửdụng
ab
ỉư
-
=
ç÷
-
èø

+ Nếu
(sin,cos)(sin,cos)
RxxRxx
-=-
thì đặt t = cosx
+ Nếu
(sin,cos)(sin,cos)

+
-
ò

d)
2
710
dx
xx
-+
ò
e)
2
69
dx
xx
-+
ò
f)
2
4
dx
x
-
ò

g)
(1)(21)
x
dx

dx
x
+
ò
m)
3
1
x
dx
x
-
ò

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
11
dx
x++
ò
b)
1
2
x
dx
xx
+
-
ò
c)

2
dx
xxx
++
ò
h)
1
1
xdx
xx
-
+
ò
i)
3
1
1
xdx
xx
-
+
ò

k)
2
3
(21)21
dx
xx
+-+

d)
cos2
1sincos
x
dx
xx
+
ò
e)
2sin1
dx
x
+
ò
f)
cos
dx
x
ò

g)
1sin
cos
x
dx
x
-
ò
h)
3

ò

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 84

1. Khái niệm tích phân
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Ỵ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
()
b
a
fxdx
ò
.

()()()
b
a
fxdxFbFa
=-
ò

· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

()()() ()()
bbb
aaa

()()
bb
aa
kfxdxkfxdx
=
òò
(k: const)
·
[ ]
()()()()
bbb
aaa
fxgxdxfxdxgxdx
±=±
òòò
·
()()()
bcb
aac
fxdxfxdxfxdx
=+
òòò

· Nếu f(x)
³
0 trên [a; b] thì
()0
b
a
fxdx

Ỵ
K thì:

bb
b
a
aa
udvuvvdu
=-
òò

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
II. TÍCH PHÂN
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 85
Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
b
a
vdu
ò
dễ tính
hơn
b
a
udv
ò
.


)
3
( dxe
x
x
x
c)
ò
-
2
1
2
1
dx
x
x

d)
2
2
1
2
x
dx
x
-
+
ò
e)
(

(1)(1)
xxxdx
+-+
ò
h)
2
2
3
1
()
xxxxdx
++
ò
i)
( )
ò
-+
4
1
4
3
42 dxxxx
k)
2
2
3
1
2
xx
dx

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
2
1
1
xdx
+
ò
b)
5
2
dx
x22
x
++-
ò
c)
2
2
3
1
()
xxxxdx
++
ò

d)
2
0
2

p
p
0
)
6
2sin( dxx b)
2
3
(2sin3)
xcosxxdx
++
ò
p
p
c)
( )
6
0
sin3cos2
xxdx
p
+
ò

d)
4
2
0
tan.
cos

dx
x
+
ò
p
h)
2
0
1cos
1cos
x
dx
x
-
+
ò
p
i)
2
22
0
sin.cos
xxdx
ò
p

k)
3
2
6

xdx
ò
p

Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
1
0
dx
xx
xx
ee
ee
-
-
-
+
ò
b)
2
2
1
(1).
ln
xdx
xxx
+
+
ò
c)

x
e
edx
x
-
-
ò
f)
1
0
2
x
x
e
dx
ò

g)
cos
2
0
sin
x
exdx
ò
p
h)
4
1
x

1
0
1
1
x
dx
e+
òVẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Giả sử ta cần tính
()
b
a
gxdx
ò
.
Nếu viết được g(x) dưới dạng:
[
]
()().'()
gxfuxux
= thì
()
()
()()
ub
b
aua


[
]
(
)
()().'()
gtfxtxt
=
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

f(x) có chứa Cách đổi biến
22
ax
-
sin,
22
xatt
=-££
pp

hoặc cos,0xatt
=££
p

22
ax
+
tan,
22
xatt

t
ìü
=Ỵ
íý
ỵþ
p
pTrần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 87
Bài 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
a)
ò
-
1
0
19
)1( dxxx b)
ò
+
1
0
32
3
)1( x
x
c)
ò
+

-
ò

g)
ò
+
32
5
2
4xx
dx
h)
ò
+
+
3
0
2
35
1
2
dx
x
xx
i)
ln2
0
1
x
x

x
xx
1
lnln31

n)
ò
+
2
0
22
sin4cos
2sin
p
dx
xx
x
o)
ò
+
2
0
2
3
sin1
sin.cos
p
dx
x
xx

4 x
dxx
c)
ò
-
2
1
22
4 dxxx
d)
ò
+
3
0
2
3x
dx
e)
ò
++
1
0
22
)2)(1( xx
dx
f)
ò
++
1
0

0
5
2
1 x
dx

k)
2
3
2
2
1
dx
xx
-
ò
l)
2
2
2
2
0
1
x
dx
x-
ò
m)
2
2

2
0
2
cos xdxx
d)
2
4
0
cos
xxdx
p
ò
e)
3
2
4
tan
xxdx
ò
p
p
f)
ò
-
1
0
2
)2( dxex
x


xdx

sin
xdx

P(x)
Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 88
g) dxxe
x
ò
2ln
0
h) dxxx
e
ò
1
ln i)
ò
-
3
2
2
)ln( dxxx
k)
ò
2
0
3
5sin

x
1
2
ln
q) dxxex
x
)1(
0
1
3
2
ò
-
++

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trò tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công
thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
2 dxx b)
ò
-
2
0

dx
-
ò

g)
4
2
1
69
xxdx
-+
ò
h)
ò
+-
3
0
23
44 dxxxx i)
1
1
4
xdx
-
-
ò

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò

0
1cos
xdx
+
ò
p
f)
0
1cos2
xdx
+
ò
p

g)
3
22
6
tancot2
xxdx
+-
ò
p
p
h)
3
3
2
coscoscos
xxxdx

1
0
2
65xx
dx
c)
ò
++
3
0
2
3
12xx
dxx

d)
( )
ò
+
1
0
3
21
dx
x
x
e)
( )
ò
-

2
65
114
xx
dxx
i)
1
3
0
1
1
xx
dx
x
++
+
ò

Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 89
k)
0
32
2
1
2699
32
xxx
dx
xx

ò
+-
2
0
2
22xx
dx
b)
(
)
ò
+
+
3
0
2
2
1
23
dx
x
x
c)
ò
+
+++
2
0
2
23

4
0
1
x
dx
x+
ò

g)
2
4
1
1
(1)
dx
xx+
ò
h)
2
2008
2008
1
1
(1)
x
dx
xx
-
+
ò

-
+
ò
m)
1
4
2
0
2
1
x
dx
x
-
+
òVẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+
22
0
2
1dxxx b)
ò

dx
xx
+++
ò
f)
ò
+
2
0
5
4
1
dx
x
x

g)
10
5
21
dx
xx

ò
h)
ò
+
1
0
23

dx
xx
+
ò
m)
3
53
2
0
1
xx
dx
x
+
+
ò

n)
2
2
0
1
1
x
dx
x
+
-
ò
o)

2
22
1
1
1
x
dx
xx
+
+
ò
c)
1
23
0
(1)
dx
x+
ò

d)
2
2
1
2008
xdx
+
ò
e)
3

dx
x +
ò
i)
1
3
2
0
1
xdx
xx
++
ò

k)
2
2
23
0
(1)
dx
x-
ò
l)
2
2
2
2
0
1

0
sincoscos
xxxdx
-
ò
p
c)
2
2
0
cos
2cos
xdx
x
+
ò
p

d)
2
6
35
0
1cossincos
xxxdx
-
ò
p
e)
2

ò
p
h)
3
2
4
cos1cos
tgx
dx
xx
p
p
+
ò
i)
2
0
sin2sin
13cos
xx
dx
x
p
+
+
ò

Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
ln3

2
ln2
ln
ln1
x
dx
xx+
ò
e)
0
2
3
1
(1)
x
xexdx
-
++
ò
f)
ln2
3
0
(1)
x
x
edx
e +
ò



VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
4
0
cos.2sin
p
xdxx b)
ò
4
0
tan
p
xdx c)
ò
+
2
0
cos31
sin
p
dx
x
x

d)

cossin
p
xdxx i)
2
45
0
sincos
xxdx
ò
p

k)
2
33
0
(sincos)
xxdx
+
ò
p
l)
3
2
0
cos
cos1
x
dx
x
p

p
p)
3
3
4
sin.cos
dx
xx
p
p
ò

q)
3
2
2
0
sin
1cos
x
dx
x
+
ò
p
r)
3
2
0
cos

ò
+
++
2
6
cossin
2cos2sin1
p
p
dx
xx
xx
c) dx
xx
x
ò
+
3
4
2
cos1cos
tan
p
p

d)
2
44
0
cos2(sincos)

xxdx
p
ò
h)
3
4
225
0
sin
(tan1).cos
x
dx
xx
p
+
ò
i)
3
22
3
1
sin9cos
dx
xx
p
p
-
+
ò



d)
2
0
cos
1cos
x
dx
x
+
ò
p
e)
2
0
cos
2cos
x
dx
x
-
ò
p
f)
2
0
sin
2sin
x
dx

0
coscos()
4
dx
xx+
ò
p
p

k)
2
2
0
(1sin)cos
(1sin)(2cos)
xx
dx
xx
-
+-
ò
p
l)
3
4
sincos()
4
dx
xx+
ò

x
xdx
c)
ò
3
0
2
cos
p
dx
x
x

d)
2
3
0
sin
xdx
ò
p
e)
2
2
0
cos
xxdx
ò
p
f)

2
0
(21)cos
xxdx
-
ò
p

k)
22
0
sin
x
exdx
ò
p
l)
4
2
0
tan
xxdx
ò
p
m)
2
0
sincos
xxxdx
ò


Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 92
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên
hàm.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+
1
0
1
x
x
e
dxe
b)
ò
+
2ln
0
5
x
e
dx
c)
1
0

2ln
0
1
1
dx
e
e
x
x

g)
2
1
1
1
x
dx
e
-
-
ò
h)
2
2
0
1
x
x
e
dx

1
x
x
e
dx
e
-
-
+
ò
m)
ln3
0
1
1
x
dx
e +
ò

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
2
0
sin
p
xdxe
x
b)

2
1
1ln
e
x
dx
x
+
ò

g)
2
lnln(ln)
e
e
xx
dx
x
+
ò
h)
ò
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ

ò
l)
3
2
6
ln(sin)
cos
x
dx
x
ò
p
p
m)
1
0
ln(1)
1
x
dx
x
+
+
òVẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

·


==+
òòò

0
0
();()
a
a
JfxdxKfxdx
-
ỉư
ç÷
==
ç÷
èø
òò

Bước 2: Tính tích phân
0
()
a
Jfxdx
-
=
ò
bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K
Þ
I = J + K = 0

0
0
()()()
111
xxx
fxfxfx
Idxdxdx
aaa

==+
+++
òòò
aa
aa

0
0
()()
;
11
xx
fxfx
JdxKdx
aa
-
ỉư
ç÷
==
ç÷
++

fabxfx
+-=
hoặc
()()
fabxfx
+-=-

thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b =
p
thì đặt t =
p
– x
nếu a + b = 2
p
thì đặt t = 2
p
– x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm
của các hàm số f(x)
±
g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của
f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x)
±
g(x), tức là:

1

dx
x
-
-+-+
ò
p
p
b)
2
2
2
cosln(1)
xxxdx
-
++
ò
p
p
c)
1
2
1
2
1
cos.ln
1
x
xdx
x
-

2
1
sin
1
xx
dx
x
-
+
+
ò

g)
5
2
2
sin
1cos
x
dx
x
-
+
ò
p
p
h)
2
2
2

x
x
dx
-
+
ò
b)
1
2
1
1
12
x
x
dx
-
-
+
ò
c)
1
2
1
(1)(1)
x
dx
ex
-
++
ò

2
1
(41)(1)
x
dx
x
-
++
ò

g)
2
2
sinsin3cos5
1
x
xxx
dx
e
-
+
ò
p
p
h)
66
4
4
sincos
61

n
nn
x
dx
xx
+
ò
p
(n
Ỵ
N
*
) b)
7
2
77
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
c)
2
0
sin
sincos

p
+
ò
f)
4
2
44
0
sin
cossin
x
dx
xx
p
+
ò

Bài 4. Tính các tích phân sau (dạng 4):
a)
2
0
.sin
4cos
xx
dx
x
-
ò
p
b)

0
ln(1tan)
xdx
+
ò
p
e)
2
3
0
.cos
xxdx
ò
p
f)
3
0
.sin
xxdx
ò
p

g)
0
1sin
x
dx
x
+
ò

p
l)
2
0
sin
94cos
xx
dx
x
+
ò
p
m)
4
0
sincos
xxxdx
ò
p

Bài 5. Tính các tích phân sau (dạng 5):
a)
2
0
sin
sincos
x
dx
xx
-

x
dx
xx
+
ò
p
e)
4
2
44
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
f)
4
2
44
0
cos
sincos
x
dx
xx
+

2
2
0
2sin.sin2
xxdx
ò
p

k)
2
2
0
2cos.sin2
xxdx
ò
p
l)
1
1
x
xx
e
dx
ee
-
-
-
ò
m)
1

dx
ee
-
-
-
+
ò
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 95
VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
Giả sử cần tính tích phân
(,)
b
n
a
Ifxndx
=
ò
(n
Ỵ
N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta
thường gặp một số yêu cầu sau:

·
Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn I
n
theo các I

sin
sin.
n
ux
dvxdx
-
ì
=
í
=
ỵ

b)
2
0
cos
n
n
Ixdx
=
ò
p
· Đặt
1
cos
cos.
n
ux
dvxdx
-

cos.
n
n
Ixxdx
=
ò
p

·
Đặt
cos.
n
ux
dvxdx
ì
=
í
=
ỵ2
0
sin.
n
n
Jxxdx
=
ò
p

=
í
=
ï
ỵ

f)
1
ln.
e
n
n
Ixdx
=
ò

·
Đặt
ln
n
ux
dvdx
ì
=
í
=
ỵ

g)
1

1
2
0
(1)
n
n
dx
I
x
=
+
ò

·
Phân tích
22
222
11
(1)(1)(1)
nnn
xx
xxx
+
=-
+++

Tính
1
2
2

1.
n
n
Ixxdx
=-
ò

·
Đặt
1.
n
ux
dvxdx
ì
ï
=
í
=-
ï
ỵ

k)
4
0
cos
n
n
dx
Idx
x

– Đồ thò (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
là:
()
b
a
Sfxdx
=
ò
(1)
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
là:
()()
b
a
Sfxgxdx
=-
ò
(2)
Chú ý:

·
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
()()
bb
aa
fxdxfxdx

– Đồ thò của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.

()()
d
c
Sgyhydy
=-
ò

2. Thể tích vật thể
· Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm
các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bò cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x (a
£
x
£
b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là:
()
b
a
VSxdx
=
ò

· Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
2
46,0,2,4
yxxyxx
= ==-=
b)
ln1
,0,,
x
yyxxe
xe
====

c)
1ln
,0,1,
x
yyxxe
x
+
====
d)
ln
,0,,1
2
x
yyxex
x
====


Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
31
,0,0
1
x
yyx
x

===
-
b)
,2,0
yxyxy
==-=

c)
,2,1
x
yeyx
===
d)
,20,0
yxxyy
=+-==

e)
22
2,21,2

65,43,315
yxxyxxyx
=-+-=-+-=-

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
1
,,0,
yxyyxe
x
====
b)
sin2cos,3,0,
yxxyxx
=-===p

c)
2
5,0,3,0
x
yyyxx
-
===-=
d)
22
22,36,0,4
yxxyxxxx
=-=+-==

e)

=-=-
b)
2
43,3
yxxyx
=-+=+

c)
22
11
,3
42
yxyx
==-+
d)
2
2
1
,
2
1
x
yy
x
==
+

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 98
e)

2
2,2
yxxyx
=+=+
k)
2
2,4
yxyx
=+=-

Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
22
,
yxxy
==-
b)
2
50,30
yxxy
+-=+-=

c)
2
20,0
yyxxy
-+=+=
d)
2
21,1

222
8,2
xyyx
+==
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
.;0;1;2.
x
yxeyxx
===-=
b)
2
.ln;0;1;.
yxxyxxe
====

c)
;;1.
xx
yeyex
-
===
d)
2
5;0;0;3.
x
yyxyx
-
====-


2
yxxyxx
p
=++===

Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
2
1
():
2
Cyx
x
=+ , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
b)
2
21
():,0
2
xx
Cyy
x
++
==
+
, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
c)
32
():243,0
Cyxxxy


c)
66
sincos,0,0,
2
yxxyxx
p
=+===
d)
,4
yxx
==

e)
3
1,0,1,1
yxyxx
=-==-=
f)
2
,
yxyx
==
g)
23
,
48
xx
yy== h)
2

2
,1,4
xyy
y
===
b)
2
,4
yxy
==

c) ,0,
x
yexye
===
d)
2
,1,2
yxyy
===

Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh: i) trục Ox ii) trục Oy
a)
2
(2),4
yxy
=-=
b)
22

2
,
yxyx
== h)
( )
2
2
– 4 1
xy
+=

i) 1
4
9
22
=+
yx
k)
1,2,0,0
yxyyx
=-===

l)
2
0,2,0
xyyx
-===
m)
23
,0,1

Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Trang 100 Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
2
dxxx b)
3
7
84
2
12
x
dx
xx+-
ò
c)
3
2
1
21
xxdx

0
252
dx
xx
++
ò

g)
1
2
0
(1)
xdx
x+
ò
h)
0
2
1
24
dx
xx
-
++
ò
i)
2
32
2
0

3
0
(1)
xdx
x+
ò

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-+
2
1
11
dx
x
x
b)
3
32
0
1
xxdx
+
ò
c)
9
3
1
1

5
0
1
x
dx
x+
ò

g)
2
22
0
4
xxdx
-
ò
h)
2
1
22
xdx
xx
++-
ò
i)
0
1
1
xxdx
-

ò

o)
1
52
0
1
xxdx
-
ò
p)
3
33
0
1.
xxdx
+
ò
q)
7/3
3
0
1
31
x
dx
x
+
+
ò


Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
/4
2
0
12sin
1sin2
x
dx
x
p
-
+
ò
b)
/2
0
sin2sin
13cos
xx
dx
x
p
+
+
ò
c)
/2
0

5
0
cos
xdx
p
ò

g)
/2
44
0
cos2(sincos)
xxxdx
p
+
ò
h)
/3
2
/4
tan
cos1cos
x
dx
xx
p
p
+
ò
i)

m)
/2
0
sin
13cos
x
dx
x
p
+
ò

o)
/2
2004
20042004
0
sin
sincos
x
dx
xx
p
+
ò
p)
/2
3
0
4sin

dx
x
p
+
ò
s)
/2
22
0
sin
sin2coscos
2
xdx
x
xx
p
+
ò
t)
/3
2
2
0
sin
sin2cos
xxdx
xx
p
ò


x
exxdx
p
+
ò
e)
ln5
ln3
23
xx
dx
ee
-
+-
ò
f)
22
1
ln
e
xxdx
ò

g)
3
1
1
ln
e
x

xe
dx
x+
ò
l)
1
22
0
(421)
x
xxedx

ò
m)
2
2
1
ln(1)
x
dx
x
+
ò

o)
/2
3
0
sin5
x

+
ò
s)
ò
+
e
dx
x
xx
1
ln.ln31
t)
3
2
1
ln
ln1
e
x
dx
xx+
ò

Bài 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
3
31,0,0,1
yxxyxx
=-+===-
b)

22
2,4
yxxyxx
=-=-+

g)
21
,0,0
1
x
yyx
x
+
===
+
h)
2
,0
1
xx
yy
x
-+
==
+

m)
2
32
,,0,1

4
yxx
=-
, tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thò có hoành độ x =
23
.
Bài 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quanh trục:
a)
,0,3;
yxyxOx
=== b)
ln,0,1,;
yxxyxxeOx
====
c)
,0,1;
x
yxeyxOx
=== d)
22
4,2;
yxyxOx
=-=+
e)
2
4,0;
yxxOy
=-= f)
,0,1;