Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Cxdx +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln ≠+=
∫

1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd ++=+
∫
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+
+
=+
+
∫
α

1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
tan
1
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx
bax

u
du
Cedue
uu
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu +=
∫
sincos
Cuudu +−=
∫
cossin
Cudu
u
+=
∫
tan
cos
1

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ò ò
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
xlnx
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t lnx dt
x
= Þ =
2
x e t 1, x e t 2= Þ = = Þ =
2
2
1
1
dt
I ln t ln2

ò ò
. Đặt
t tanx 1= +
ĐS:
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t 2x 3= +
ĐS:
3
I ln
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân

3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính
/
( )dx u t dt=
.

x sint, t ; dx costdt
2 2
p p
é ù
= Î - Þ =
ê ú
ë û
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= Þ = = Þ =
6 6
2
0 0
cost cost
I dt dt
cost
1 sin t
p p
Þ = =
-
ò ò
6
6
0
0
dt t 0
6 6
p

I
1 x
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x tant, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
æ ö
p p
÷
ç
= Î - Þ = +
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= Þ = = Þ =
4 4
2
2
0 0

2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ò ò
.
Đặt
x 1 tant+ =
ĐS:
I
12
p
=
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4 x
=
-
ò
.
ĐS:

p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t cosx=
ĐS:
2
I
15
=
.
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t sin x=
ĐS:
8
I
15
=

2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx sin 2xd(sin2x)
16 8
p p
= - +
ò ò
3
2
0
x 1 sin 2x
sin4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Vậy
I
32

2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sinx 1
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= p - Þ = -
x 0 t , x t 0= Þ = p = p Þ =
( )
0
0
( t)dt

2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ò ò
2
0
0
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
p p
æ ö
p
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç

xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
p
= - Þ = -
4
x 0 t , x t 0
2 2
p p

(1).
Mt khỏc
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ũ
(2). T (1) v (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tng quỏt:
2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx ,n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+
p
= = ẻ
+ +
ũ ũ

0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sin x 3cosx
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ũ ũ
t
t x dt dx
3
p
= + ị =

1
I J ln3
4
+ =
(2).
T (1) v (2)
3 1 3 1 1 3
I ln3 , J ln3
16 4 16 4
- -
= + = -

p p
+
ị = + = +
+
ũ ũ
.
t
t u dt du
4
p
= - ị = -
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= ị = = ị =
0
4
0
4
I ln(1 tant)dt ln 1 tan u du
4
p
p
ộ ổ ửự
p
ữ
ỗ
ờ ỳ
ị = + = - + -
ữ

0 0
ln2du ln 1 tanu du ln2 I
4
p p
p
= - + = -
ò ò
.
Vậy
I ln2
8
p
=
.
Ví dụ 19. Tính tích phân
4
x
4
cosx
I dx
2007 1
p
p
-
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt

¡
và thỏa
f( x) 2f(x) cosx- + =
.
Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ò
.
Giải
Đặt
2
2
J f( x)dx
p
p
-
= -
ò
,
x t dx dt= - Þ = -
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - Þ = = Þ = -

lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a
a
f(x)dx 0
-
=
ò
.
ii/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
-
=
ò ò
.
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
6
2 2
n n
0 0
(n 1)!!
,
n!!
cos xdx sin xdx
(n 1)!!

2
11
0
10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ũ
.
Vớ d 22.
2
10
0
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512
p
p p p
= = =
ũ
.
II. TCH PHN TNG PHN
1. Cụng thc
Cho hai hm s
u(x), v(x)
liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú
( ) ( )
/ / / /
/ /

2. Phng phỏp gii toỏn
Gi s cn tớnh tớch phõn
b
a
f(x)g(x)dx
ũ
ta thc hin
Cỏch 1.
Bc 1. t
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm
v(x)
v vi phõn
/
du u (x)dx=
khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn
b
a
vdu
ũ
phi tớnh c.
Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu.
c bit:
i/ Nu gp
b b b
ax
a a a
P(x)sinaxdx, P(x)cosaxdx, e .P(x)dx
ũ ũ ũ
vi P(x) l a thc thỡ t

u x
du dx
dv e dx
v e
=
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî
î
(chọn
C 0=
)
1 1
1
1
x x x x
0
0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1Þ = - = - =

ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
xlnxdx lnx xdx
2 2 4
+
Þ = - =
ò ò
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
2
x
0
I e sinxdx
p
=
ò
.
Giải

.
Đặt
x
x
u cosx
du sin xdx
dv e dx
v e
=
= -
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî
î
2 2
x x x
2
0
0 0
J e cosxdx e cosx e sinxdx 1 I
p p

p
Þ = = = p -
ò
L L
.
8
Ví dụ 8. Tính tích phân
e
1
I sin(ln x)dx=
ò
.
ĐS:
(sin1 cos1)e 1
I
2
- +
=
.
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I f(x) dx=
ò
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x

2
3
I x 3x 2 dx
-
= - +
ò
.
Giải
Bảng xét dấu
x
3-

1

2

2
x 3x 2- +

+

0

-

0
( ) ( )
1 2
2 2
3 1

[ ]
b
a
I f(x) g(x) dx= ±
ò
, ta thực hiện
Cách 1.
Tách
[ ]
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±
ò ò ò
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân
( )
2
1
I x x 1 dx
-
= - -
ò
.
Giải
Cách 1.
9
( )

Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x
– 0 +  +
x – 1 – – 0 +
( ) ( ) ( )
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
-
= - + - + + - + - +
ò ò ò
( )
1
2
0 2
1 1
0
x x x x 0
-
= - + - + =
.
Vậy
I 0=
.
3. Dạng 3
Để tính các tích phân
{ }
b
a

min f(x), g(x) f(x)=
.
Ví dụ 12. Tính tích phân
{ }
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx= + -
ò
.
Giải
Đặt
( )
( )
2 2
h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - +
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 +
( )
( )
( )
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
= + + - + + =

x
0
1
0 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln3 2 ln3 2
æ ö
÷
ç
= + - = + - = +
÷
ç
÷
ç
è ø
ò ò
.
10
Vậy
2 5
I
ln3 2
= +
.
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Để chứng minh
b

0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0" Î £ Þ - ³ Þ - ³
ò
.
2. Dạng 2
Để chứng minh
b b
a a
f(x)dx g(x)dx³
ò ò
ta chứng minh
f(x) g(x)³
với
[ ]
x a; b" Î
.
Ví dụ 15. Chứng minh
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
£
+ +
ò ò
.
Giải
Với
11 10

A f(x)dx B£ £
ò
ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được
m f(x) M£ £
.
Bước 2. Lấy tích phân
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B= - £ £ - =
ò
.
Ví dụ 16. Chứng minh
1
2
0
2 4 x dx 5£ + £
ò
.
Giải
Với
[ ]
2 2
x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5" Î £ + £ Þ £ + £
.
Vậy
1
2
0
2 4 x dx 5£ + £

2
1 1
1 3 2sin x 2 1
2
3 2sin x
ị Ê - Ê ị Ê Ê
-
( ) ( )
3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 4
3 2sin x
p
p
p p p p
ị - Ê Ê -
-
ũ
.
Vy
3
4
2
4
dx
4 2

ta cú
2
/
2
x
cotx
sin x
f (x) 0 x ;
4 3
x
-
-
ộ ự
p p
ờ ỳ
= < " ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
( ) ( )
Q (x) f x ;
3 4 4 3
p p p p
ộ ự
ị Ê Ê " ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
3 cotx 4
x ;
x 4 3
ộ ự

3 cotx 1
dx
12 x 3
p
p
Ê Ê
ũ
.
4. Dng 4 (tham kho)
chng minh
b
a
A f(x)dx BÊ Ê
ũ
(m dng 3 khụng lm c) ta thc hin
Bc 1. Tỡm hm s g(x) sao cho
[ ]
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B
g(x)dx B
ỡ
Ê " ẻ
ù
ù
ù
ù

ù
ù
ù
ợ
ũ
ũ
.
Vớ d 19. Chng minh
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
Ê Ê
-
ũ
.
12
Giải
Với
2007 2
2 1
x 0; : 0 x x
2 2
é ù
" Î £ £ £
ê ú

2
0 0
dx costdt
cost 4
1 x
p
p
Þ = =
-
ò ò
.
Vậy
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
£ £
-
ò
.
Ví dụ 20. Chứng minh
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2

1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
+ +
£ £
+ -
ò
.
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
y f(x), x a, x b= = =
và trục hoành là
b
a
S f(x) dx=
ò
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) dx

( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= - - + - + - + -
ò ò
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - - + + + - + + =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
8
S
3
=
(đvdt).
2. Diện tích hình phẳng

là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của
phương trình
f(x) g(x)=

( )
a b£ a < b £
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình
f(x) g(x)=
.
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn
[ ]
; a b
.
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx
b
a
-
ò
.
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
,
x 0, x 2= =
.

è ø è ø
.
14
Vy
5
S
2
=
(vdt).
Vớ d 4. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
.
Gii
t
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -
h(x) 0 x 1 x 2 x 3= = = =
.
Bng xột du
x 1 2 3
h(x) 0 + 0 0
( ) ( )
2 3
3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - + - - - + -
ũ ũ
2 3
4 2 4 2

f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
b b
a a
- = -
ũ ũ
.
Vớ d 5. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
3
y x , y 4x= =
.
Gii
Ta cú
3
x 4x x 2 x 0 x 2= = - = =
( ) ( )
0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx
-
ị = - + -
ũ ũ
0 2
4 4
2 2
2 0
x x
2x 2x 8
4 4
-

3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
-
ị = - + = - +
ũ ũ
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
ộ ự
ờ ỳ
= - + + - +
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ

x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
+
ỡ
ù
ù
=
ộ
ù
ù
ộ ờ
- + = +

ớ
ờ ờ
=
ù
ù
ở
ờ
ù
- + = - -
ờ
ù
ợ ở
.
Bng xột du
x 0 1 3 5

=
(vdt).
Vớ d 8. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 1 , y x 5= - = +
.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2 2
x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0- = + - = + =
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5
x 3
t 3
t 1 t 5
=
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
ù
ù
ù
ộ
- = +

ũ ũ
1 3
3 2 3 2
0 1
x x x x 73
2 4x 6x
3 2 3 2 3
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - + - - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
73
S
3
=
(vdt).
Chỳ ý:
Nu hỡnh phng c gii hn t 3 ng tr lờn thỡ v hỡnh (tuy nhiờn thi H thỡ khụng cú).
B. TNH TH TCH KHI TRềN XOAY
1. Trng hp 1.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
[ ]

R 0
V R x dx 2 R x dx
-
ị = p - = p -
ũ ũ
R
3 3
2
0
x 4 R
2 R x
3 3
ổ ử
p
ữ
ỗ
= p - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
3
4 R
V
3
p
=

y
1 y b
b
= =
.
Phng trỡnh
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x y a y
(E) : 1 x a
a b b
+ = = -
b b
2 2 2 2
2 2
2 2
b 0
a y a y
V a dy 2 a dy
b b
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ị = p - = p -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ

3. Trng hp 3.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y f(x), y g(x)= =
,
x a=
v
[ ]
x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b )= < " ẻ
quay quanh trc Ox l
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx= p -
ũ
.
Vớ d 11. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
2
y x=
,
2
y x=
quay quanh
Ox.
Gii
Honh giao im
4
x 0
x 0
x 1
x x

= p - =
.
Vy
3
V
10
p
=
(vtt).
4. Trng hp 4.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
x f(y), x g(y)= =
,
y c=
v
[ ]
y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d )= < " ẻ
quay quanh trc Oy l
d
2 2
c
V f (y) g (y) dy= p -
ũ
.
17
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
x y 5= - +
,
x 3 y= -

y 11y 6y 16 dy
-
= p - + +
ò
2
5 3
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 3 5
-
æ ö
p
÷
ç
= p - + + =
÷
ç
÷
ç
÷
è ø
.
Vậy
153
V
5
p
=

2 3 4 20 21
S C C C C C= + − + −−
.
3. Chứng minh rằng:
1
1 2
1 1 1 2 1
1
2 3 1 1
n
n
n n n
C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=
sin cos
sin cos
x x
x x
+
−
, biết rằng
ln2
4
F

A=
3
3 cos
0
sin
x
e xdx
π
∫
B=
4
1
ln
e
x
dx
x
∫
C
*
=
2 3
2
5
4
dx
x x
+
∫
D

10
1
lg xdx
∫
L=
ln 5
ln 3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
M=
2
2 2
0
sin 2
cos 4 sin
xdx
x x
π
+
∫
N=
2
2
1
- 9

x
+
∫
C=
4
2
0
16-
dx
x
∫
18
D=
ln 2
0
1-
1
x
x
e
dx
e
+
∫
E=
3
2
2
2
1

2
1
ln x
dx
x
∫
D
*
=
1
cos(ln )
e
x dx
π
∫
E=
2
4
3
1
3 2x x
dx
x
−
∫
1
2
*
4
1

∫
D=
4
1
x
e
dx
x
∫
E=
2
1
lnx xdx
∫
F=
1
ln 1
e
x
dx
x
+
∫
G=
2
2
0
1 2x x dx+
∫
H=

3
π
.
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x
3
−2x
2
+4x−3 (C) và tiếp tuyến với
đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y
2
=x
3
và y=0, x=1
khi nó quay quanh:
A) Trục Ox.
B) Trục Oy.
−Hết−
19