Trang 78
1. Khái niệm nguyên hàm
· Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
'( ) ( )
F x f x
=
, "x Î K
· Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
( ) ( )
f x dx F x C=
+
ò
, C Î R.
· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
· '( ) ( )
f x dx f x C=
+
ò
·
[
]
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
ò ò ò

·
( ) ( ) ( 0)
kf x dx k f x dx k
= ¹

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. NGUYÊN HÀM
· 0
dx C=
ò

·
dx x C= +
ò

·
1
, ( 1)
1
x
x dx C
+
= + ¹ -
+
ò
a
a
a
a

·
1
ln
dx x C
x

2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
ò

·
2
1
cot
sin
dx x C
x
= - +
ò

·
1
cos( ) sin( ) ( 0)
ax b dx ax b C a
a
+ = + + ¹
ò

·
1
sin( ) cos( ) ( 0)

Nm vng bng cỏc nguyờn hm.
Nm vng phộp tớnh vi phõn.
Baứi 1. Tỡm nguyờn hm ca cỏc hm s sau:
a)
2
1
( ) 3f x x x
x
= +
b )
4
2
2 3
( )
x
f x
x
+
= c)
2
1
( )
x
f x
x
-
=
d)
2 2
2

=
k)
2 2
1
( )
si n .cos
f x
x x
= l )
2 2
cos2
( )
si n .cos
x
f x
x x
= m )
( ) 2sin3 cos2
f x x x
=
n )
(
)
( ) 1
x x
f x e e= o)
2
( ) 2
c o s
x

3 5
( ) ; ( ) 1
x
f x Fe
x
-
= =
d)
2
1 3
( ) ; ( 1 )
2
x
f x F
x
+
= =
e)
3
2
1
( )= ; ( 2) 0
x
f x F
x
-
- =
f )
1
( ) ; ( 1 ) 2

( 1 )
+ + -
= =
+
k)
x
f x F
2
( ) sin ;
2 2 4
p p
ổ ử
= =
ỗ ữ
ố ứ

Baứi 3. Cho hm s g(x). Tỡm nguyờn hm F(x) ca hm s f(x) tho i u kin c h o t r c:
a)
2
( ) cos ; ( ) sin ; 3
2
g x x x x f x x x F
ổ ử
= + = =
ỗ ữ
ố ứ
p

b )
2

F x x x
f x x x
ỡ
ù
= + -
ớ
= + +
ù
ợ

c)
2
2
2 2
4
( ) ln
3
2
( )
( 4)( 3)
x
Fx
x
x
f x
x x
ỡ
ổ ử
+
ù =

- +
=
ù
ù
+ +
ớ
-
ù
=
ù
+
ợ
HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013
st : 01695316875 ymail:
Trang 80
Baứi 5. Tỡm i u kin F(x) l mt nguyờn hm ca hm s f(x):
a)
3 2
2
( ) (3 2) 4 3
. .
( ) 3 10 4
F x mx m x x
Tỡm m
f x x x
ỡ
ù
= + + - +
ớ
= + -

F x ax bx c x x
Tỡm a b c
f x x x x
ỡ
ù
= + + -
ớ
= - -ù
ợ
d)
2
( ) ( )
. , , .
( ) ( 3 )
x
x
F x ax bx c e
Tỡm a b c
f x x e
ỡ
ù
= + +
ớ
= -
ù
ợ
e)
2 2
2 2
( ) ( )

ù
= + +
ớ
= - +
ù
ợ
g)
b c
F x a x x x
f x x
Tỡm a b c
( ) ( 1 ) s i n sin 2 si n 3
2 3
( ) c o s
, , .
ỡ
ù
= + + +
ớ
ù
=
ợ
h )
F x ax bx c x
x x
f x
x
Tỡm a b c
2
2

ũ
=
()g t dt
ũ
, t ro n g ú
()g t dt
ũ
d dng tỡm c .
Chỳ ý: Sau khi tớnh
()g t dt
ũ
theo t, ta phi thay li t = u(x).
ã
Dng 2: T h ng gp cỏc trng hp sau:
Baứi 1. Tớnh cỏc nguyờn hm sau ( i bin s dng 1):
a)
x dx
1 0
(5 1 )-
ũ
b )
5
(3 2 )
dx
x
-
ũ
c)
x dx
5 2-

3
3
5 2
x
dx
x+
ũ
i )
2
( 1 )
dx
x x
+
ũ

k)
4
sin cos
x xdx
ũ
l )
5
sin
cos
x
dx
x
ũ
m )
2

2 2
a x
-
si n ,
2 2
x a t t
= - Ê Ê
p p
hoc cos , 0x a t t
= Ê Ê
p
2 2
a x
+
hoc
a x
2 2
1
+

tan ,
2 2
x a t t
= - < <
p p
hoc cot , 0x a t t
= < <
p
HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013
st : 01695316875 ymail:

ò
b )
2 3
( 1 )
dx
x+
ò
c)
2
1 .
x dx
-
ò

d)
2
4
dx
x
-
ò
e)
2 2
1 .
x x dx
-
ò
f )
2
1

x xdx
ò
b ) cos
x xdx
ò
c)
2
( 5)sin
x xd x
+
ò

d)
2
( 2 3 ) c o s
x x xdx
+ +
ò
e) si n 2
x xd x
ò
f ) cos 2
x xdx
ò

g) .
x
x e dx
ò
h )

cos
x xd x
ò
p)
2
cos2
x xdx
ò

q)
2
ln(1 )
x x dx
+
ò
r) .2
x
x dx
ò
s) lg
x xdx
ò

Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau:
a)
x
e dx
ò
b )
ln

x dx
ò

Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) .cos
x
e x dx
ò
b )
2
( 1 t a n tan )
x
e x x dx
+ +
ò
c) .sin2
x
e xdx
ò

d)
2
ln(cos )
cos
x
dx
x
ò
e)
2

1
x
dx
x+
ò
i )
2
ln x
dx
x
æ ö
ç ÷
è ø
ò

( ).
x
P x e dx
ò

( ).cos
P x xd x
ò
( ).sin
P x xd x
ò
( ).ln
P x x dx
ò


ớ
- = +
ợ
Bc 3: T h (*), ta suy ra
[ ]
1
( ) ( ) ( )
2
F x A x B x C
= + +
l nguyờn hm ca f ( x ) .
Baứi 1. Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a)
sin
sin cos
x
dx
x x
-
ũ
b )
c o s
sin cos
x
dx
x x
-
ũ
c)
si n

sin cos
x
dx
x
x
+
ũ

g)
2
2sin .sin2
x x dx
ũ
h )
2
2 cos .sin2
x xd x
ũ
i )
x
x x
e
dx
e
e
-
-
ũ

k)

ũ

VN 5: Tớnh nguyờn hm ca mt s h m s thng gp
1. f(x) l hm hu t:
( )
( )
( )
Px
f x
Qx
=
Nu bc ca P(x)

bc ca Q ( x ) t h ỡ t a t h c hi n phộp chia a t h c.
Nu bc ca P(x) < bc ca Q(x) v Q(x) cú dng tớch nhiu nhõn t thỡ ta phõn tớch
f(x) thnh tng ca n h i u phõn thc (bng phng phỏp h s b t nh).
Chng hn:
1
( )( )
A B
x a x b x a x b
= +
- - - -

2
2 2
1
, 4 0
( )( )
A Bx C

ố ứ

đ
t
m
ax b
t
c x d
+
=
+
+ f(x) =
1
( )( )
R
x a x b
ổ ử
ỗỗỗ ữữữ
+ +
ố ứ

đ
t
t x a x b
= + + +
ã
f(x) l hm lng giỏc
Ta s dng cỏc phộp bin i lng giỏc thớch hp a v cỏc nguyờn hm c bn.
Chng hn:
HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013

sin ( ) ( )
1 1
.
cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )
x a x b
x a x b a b x a x b
+ - +
=
+ + - + +
,
si n( )
1
si n( )
a b
sửỷ duùng
a b
ổ ử
-
=
ỗ ữ
-
ố ứ
+
[
]
cos ( ) ( )
1 1
.
si n( ).cos( ) cos( ) sin( ). co s ( )
x a x b

- - =-
thỡ t t = t a n x ( h o c t = cotx)

Baứi 1. Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a)
( 1 )
dx
xx
+
ũ
b )
( 1 ) ( 2 3 )
dx
x x
+ -
ũ
c)
2
2
1
1
x
dx
x
+
-
ũ

d)
2

dx
x x
- -
ũ
i )
3
2
3 2
x
dx
x x
- +
ũ

k)
2
( 1 )
dx
xx
+
ũ
l )
3
1
dx
x+
ũ
m )
3
1

4
1
dx
x
x
+
ũ
e)
3
x
dx
x
x
-
ũ
f )
( 1 )
x
dx
xx +
ũ

g)
3 4
2
dx
x x x
+ +
ũ
h )

- +
ũ
m )
2
6 8
dx
x x
+ +
ũ

Baứi 3. Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a) sin 2 sin5
x xd x
ũ
b ) cos sin3
x xd x
ũ
c)
2 4
(tan tan )
x x dx
+
ũ

d)
cos2
1 sin cos
x
dx
x x

i )
cos cos
4
dx
x x
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
ũ
p
k) cos cos 2 cos3
x x x d x
ũ
l )
3
cos
xdx
ũ
m )
4
sin
x dx
ũ

HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013
st : 01695316875 ymail:
Trang 84
1. Khái niệm t í c h ph â n
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

=
ò

2. Tính chất của tích phân
·
a
a
f x dx
( ) 0
=
ò
·
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
=-
ò ò
·
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
=
ò ò
(k: const)
·
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b

ò ò

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
[ ]
( )
( )
( ) . '( ) ( )
ubb
a ua
f u x u x dx f u du
=
ò ò
trong đ ó: u = u(x) c ó đạo hàm liên tục trên K, y = f ( u ) l i ê n t ục và hàm hợp f[u(x)] xác
định trên K, a , b Î K.
b) Phương pháp tích phân từng phầ n
Nếu u, v l à h a i h à m s ố có đạo hàm liên tục trên K, a, b
Î
K thì:

b b
b
a
a a
u d v uv v d u
= -
ò ò
Chú ý:
– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần , t a c ần chọn sao cho

2
1
3
)12( dxxx
b )
x
x e dx
x
2
2 3 1
1
3
+
æ ö
+ +
ç ÷
è ø
ò
c)
ò
-
2
1
2
1
dx
x
x

d)

x
2
2
1
1 1
æ ö
+ + +
ç ÷
è ø
ò

g)
( )( )
x x x dx
2
1
1 1+ - +
ò
h )
( )
x x x x dx
2
2 3
1
+ +
ò
i )
( )
ò
-+

1
1
4
3
x dx
x
æ ö
ç ÷
-
ç ÷
è ø
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
2
1
1
x dx
+
ò
b )
dx
x x
5
2
2 2
+ + -
ò
c)

ò
f )
x x dx
4
2
0
9.
+
ò

Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
x dx
0
sin 2
6
p
p
æ ö
+
ç ÷
è ø
ò
b )
x x x dx
2
3
(2sin 3cos )
p
p

p
f )
4
2
6
(2 cot 5 )
x dx
+
ò
p
p
g)
2
0
1 sin
dx
x
+
ò
p
h)
2
0
1 cos
1 cos
x
dx
x
-
+

4
p
p
p
p
-
æ ö
-
ç ÷
è ø
æ ö
+
ç ÷
è ø
ò
m )
4
4
0
cos
x dx
ò
p
Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a)
1
0
dx
x x
x x

+
ò

HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
Trang 86
d)
x
x
e
dx
e
l n 2
0
1
+
ũ
e)
x
x
e
e dx
x
2
1
1
-
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ

x
dx
x
1
1 ln+
ũ

k)
e
x
dx
x
1
ln
ũ
l )
x
xe dx
2
1
0
ũ
m )
1
0
1
1
x
d x
e+

t x = x(t) (t
ẻ
K ) v a, b
ẻ
K t h o m ó n
a
= x ( a ) ,
b
= x(b)
thỡ
[ ]
( ) ( ) '( ) ()
b b
a a
f x dx f x t x t dt g t dt
= =
ũ ũ ũ
b
a

[
]
(
)
( ) ( ) . '( )
g t f x t x t
=
Dng 2 thng gp c ỏ c t r ng hp sau:
Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau ( i bin s dng 1):
a)

ũ
+
1
0
12x
xdx
e)
1
2
0
1
x x dx
-
ũ
f )
1
3 2
0
1
x x dx
-
ũ

g)
ũ
+
32
5
2
4xx

2 2
x a t t
= - Ê Ê
p p
hoc cos , 0x a t t
= Ê Ê
p
2 2
a x
+
hoc
a x
2 2
1
+
tan ,
2 2
x a t t
= - < <
p p
hoc cot , 0x a t t
= < <
p
2 2
x a
-
{}
, ; \ 0
sin 2 2
a

ln3
3
0
1
+
ò
l )
ò
+
e
x
dxx
1
2
l n2
m )
ò
+
e
dx
x
xx
1
l nl n31

n )
ò
+
2
0

xx
x

Baøi 2. Tính các tích phân sau ( đổi biến số dạng 2):
a)
ò
-
2
1
0
2
1 x
dx
b)
ò
-
1
0
2
2
4 x
dxx
c)
ò
-
2
1
22
4 dxxx


dx
x x
-
+ +
ò
h )
ò
-
2
1
3
2
1
dx
x
x
i )
( )
ò
+
1
0
5
2
1 x
dx

k)
2
3

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
4
0
2sin
p
xdxx b )
ò
+
2
0
2
cos)sin(
p
xdxxx c)
ò
p
2
0
2
cos xdxx

d)
x x dx
2
4
0
cos
p

l n
i )
ò
-
3
2
2
)l n ( dxxx

k)
ò
2
0
3
5sin
p
xdxe
x
l )
ò
2
0
c o s
2s in
p
xdxe
x
m )
ò
e

ò
-
++

b
( ).
x
a
P x e dx
ò
( ).cos
b
a
P x xd x
ò
( ).sin
b
a
P x xd x
ò
b
a
P x x dx
( ).ln
ò

u P ( x ) P ( x ) P ( x ) lnx
dv
x
e dx

2 3
+ -
ò

d)
x dx
3
2
3
1
-
-
ò
e)
( )
x x dx
5
2
2 2
-
+ - -
ò
f )
x
dx
3
0
2 4
-
ò

2
0
2cos1 dxx
b )
0
1 sin 2 .
x dx
p
-
ò
c)
x dx
2
2
sin
p
p
-
ò

d) 1 sin
xdx
-
-
ò
p
p
e)
2
0

ò
p
p
i )
2
0
1 sin
xdx
+
ò
p
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu t ỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+
3
1
3
xx
dx
b)
ò
+-
1
0
2
65xx

1 x
dxx
f )
ò
+
4
1
2
)1( xx
dx

g)
ò
-
4
2
)1(xx
dx
h)
(
)
ò
++
+
1
0
2
65
114
xx

2
3
2
3 3 3
3 2
x x
dx
x x
+ +
- +
ò
m )
1
2
3
0
(3 1 )
x
dx
x +
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+-
2
0
2
22xx

d)
1
2 2
0
1
( 2) ( 3 )
dx
x x+ +
ò
e)
1
3
2
0
1
1
x x
dx
x
+ +
+
ò
f )
1
4
0
1
x
dx
x+

2
( 1 )
x
dx
x -
ò

k)
2
2
0
1
4
dx
x+
ò
l )
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
-
+
ò
m )

ò
+
+
3
7
0
3
13
1
dx
x
x
c)
10
5
2 1
dx
x x
- -
ò

d)
ò
++
-
1
0
132
34
dx

1
0
2
3
1
dx
xx
x
i )
ò
+
2
0
5
4
1
dx
x
x

k)
ò
+
22
0
2
1 dxxx l )
ò
+
1

1
dx
x x
-
ò
p)
2
3
1
1
dx
x x
+
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
1
2 2
0
1
x x dx
+
ò
b )
3
2
2 2
1
1

-
ò
f )
1
2
0
1
x dx
+
ò

g)
1
2
1
1 1
dx
x x
-
+ + +
ò
h )
2
2
1
2008
dx
x +
ò
i )

5
4
2
1
12 4 8
x x dx
- -
ò

Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
2
0
cos
7 cos2
x dx
x
+
ò
p
b)
2
2
0
si n cos cos
x x xdx
-
ò
p
c)

ò
p
f )
3
0
cos
2 cos2
xdx
x
+
ò
p
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 90
g)
2
2
0
cos
1 cos
xdx
x
+
ò
p
h)
3
2
4

+
ò
b )
ln 2
2
0
1
x
x
e dx
e
+
ò
c)
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
ò

d)
l n 3
2
l n 2
ln
ln 1
x

e
dx
e e+ -
ò
h )
1
0
x
x x
e
dx
e e
-
+
ò
i )
l n 2
0
1
x
e dx
-
ò

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượn g g i á c .
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
4

+
ò
p
f )
x dx
2
0
cos 3
p
ò

g)
2
2 4
0
si n cos
x xdx
ò
p
h )
ò
2
0
32
cossin
p
xdxx i )
2
4 5
0

cos1
cos2sin
p
dx
x
xx

n )
3
2
0
c o s
1 cos
x
dx
x
+
ò
p
o)
p
p
ò
3
4
6
si n .cos
dx
x x
p)

p
s)
p
ò
3
4
0
tan
x dx
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
53
cossincos1
p
xdxxx b )
ò
+
++
2
6
cossin
2cos2sin1
p
p
dx
xx

p
dxxex
x
f )
( )
dxxx
ò
+
2
0
3
2
2sinsin1
p

HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 91
g)
3
0
sin .ln(cos )x
x dx
p
ũ
h )
3
4
2 2 5
0

ũ
p
p
b)
2
0
2 cos
dx
x
-
ũ
p
c)
2
0
cos
2 cos
x
dx
x
-
ũ
p
d)
2
0
cos
1 cos
x
dx

dx
x x+ +
ũ
p
h )
2
2
sin cos 1
si n 2 cos 3
x x
dx
x x
-
- +
+ +
ũ
p
p
i )
p
p
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
ũ
4
0
cos cos
4

m )
p
p
p
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
ũ
3
6
si n s in
6
dx
x x
Baứi 4. Tớnh cỏc tớch phõn sau:
a)
ũ
-
2
0
cos)12(
p
xdxx b )
ũ
+
4
0
2cos1
p

2
2 1
0
si n 2 .
x
x e dx
+
ũ
p
g)
2
1
cos(ln )
x dx
ũ
h )
x
dx
x
3
2
6
ln(sin )
cos
p
p
ũ
i )
2
2

2
2
sin 3
0
si n cos
x
e x xd x
ũ
p
o)
4
0
ln(1 tan )
x dx
+
ũ
p
p)
ũ
4
0
4
cos
p
x
dx

VN 8: Tớnh tớch phõn cỏc hm s m v logarit
S dng cỏc phộp toỏn v lu tha v logarit. Xem li cỏc phng phỏp tỡm nguyờn hm.
Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau:

st : 01695316875 ymail:
Trang 92
d)
ũ
+
8ln
3ln
1
dx
e
e
x
x
e)
l n 8
2
l n 3
1 .
x x
e e dx
+
ũ
f )
ũ
+
-
2ln
0
1
1

1
x
x
e
dx
e
-
-
+
ũ

k)
2
1
ln
(ln 1 )
e
x
dx
x x +
ũ
l )
1
2
0
1
x
x
e
dx

x
c)
ũ
-
1
0
dxxe
x

d)
ũ
+
2
0
cos)cos(
p
xdxxe
x
e)
( )
ũ
+
1
0
1l n dxxx
f )
2
1
1 ln
e

1
2
l n
1l n
l n
i )
3
2
ln(ln )
e
e
x
dx
x
ũ

k)
2
2
1
ln
x
dx
x
ũ
l )
3
2
6
ln(sin )


ã
Nu hm s f(x) liờn tc v l hm s chn t r ờ n [ a ; a ] t h ỡ
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
-
=
ũ ũ

V ỡ c ỏ c t ớ n h c h t ny khụng cú trong phn lý thuyt ca SGK nờn khi tớnh cỏc tớch phõn cú
dng ny ta cú th chng minh nh sau:
Bc 1: Phõn tớch
0
0
( ) ( ) ( )
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx
- -
= = +
ũ ũ ũ

0
0
( ) ; ( )
a
a

f x
dx f x dx
a
-
=
+
ũ ũ
a a
a
( v i
a

ẻ
R
+
v a > 0)
chng minh tớnh cht ny, ta cng lm tng t nh trờn.

0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
x x x
f x f x f x
I dx dx dx
a a a
- -
= = +
+ + +
ũ ũ ũ

ở ỷ
p
thỡ
2 2
0 0
(s i n ) (cos )
f x dx f x dx
=
ũ ũ
p p
chng minh tớnh cht ny ta t:
2
t x
= -
p

Dng 4. Nu f(x) liờn tc v
( ) ( )
f a b x f x
+ - =
hoc
( ) ( )
f a b x f x
+ - =-
thỡ t: t = a + b x
c bit, nu a + b =
p
t hỡ t t =
p
x

1
( ) ( ) ( )
2
F x A x B x C
= + +
l nguyờn hm ca f ( x ) .
Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau ( d ng 1):
a)
7 5 3
4
4
4
1
c o s
x x x x
dx
x
-
- + - +
ũ
p
p
b )
( )
p
p
-
+ +
ũ
2

-
+ +
ũ
e)
-
- +
ũ
1
4 2
1
1
x dx
x x
f )
1
4
2
1
sin
1
x x
dx
x
-
+
+
ũ

g)
5

x x
dx
x
p
p
-
+
-
ũ

Baứi 2. Tớnh cỏc tớch phõn sau ( d ng 2):
a)
1
4
1
2 1
x
x
dx
-
+
ũ
b )
1
2
1
1
1 2
x
x

ũ
-
+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x
f)
1
2
1
(4 1 ) ( 1 )
x
dx
x
-
+ +
ũ

g)
2
2
si n si n 3 co s 5
1
x

x x
dx
-
+
ũ
p
p
Baứi 3. Tớnh cỏc tớch phõn sau ( d ng 3):
a)
2
0
cos
cos si n
n
n n
x
dx
x x
+
ũ
p
(n
ẻ
N
*
) b)
7
2
7 7
0

dx
x x
+
ũ
p
e)
4
2
4 4
0
cos
cos sin
x
dx
x
x
p
+
ũ
f )
4
2
4 4
0
si n
cos sin
x
dx
x
x

1 sin
ln
1 cos
x
dx
x
ổ ử
+
ỗ ữ
+
ố ứ
ũ
p
d)
4
0
ln(1 tan )
x dx
+
ũ
p
e)
2
3
0
.cos
x x dx
ũ
p
f )

x x
dx
x+
ũ
p
k)
4
0
si n 4 ln(1 t an )x
x dx
+
ũ
p
l )
2
0
sin
9 4 cos
x x
dx
x+
ũ
p
m )
4
0
si n cos
x x xd x
ũ
p

x x
+
ũ
p
d)
2
0
cos
s in cos
x
dx
x x
+
ũ
p
e)
4
2
4 4
0
sin
si n cos
x
dx
x
x
+
ũ
p
f )

6 6
0
cos
si n cos
x
dx
x
x
+
ũ
p
i )
2
2
0
2sin .sin2
x xd x
ũ
p
k)
2
2
0
2 cos .sin2
x xd x
ũ
p
l )
1
1

e e
-
-
+
ũ
o)
1
1
x
x x
e
dx
e e
-
-
-
+
ũ

VN 10: Thit lp cụng thc truy hi
Gi s cn tớnh tớch phõn
( , )
b
n
a
I f x n dx
=
ũ
( n
ẻ

I x d x
=
ò
p
· Đặt
1
sin
si n .
n
u x
dv x dx
-
ì
=
í
=
î

b )
2
0
cos
n
n
I x dx
=
ò
p
· Đặt
1

- -
= + -
d)
2
0
cos .
n
n
I x x dx
=
ò
p
·
Đặt
cos .
n
u x
dv x dx
ì
=
í
=
î

2
0
sin .
n
n
J x x dx

ì
ï
=
í
=
ï
î
f )
1
ln .
e
n
n
I x dx
=
ò

·
Đặt
ln
n
u x
dv dx
ì
=
í
=
î
g)
1

0
( 1 )
n
n
dx
I
x
=
+
ò

·
Phân tích
2 2
2 2 2
1 1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
n n n
x x
x x x
+
= -
+ + +

Tính
1
2
2
0
( 1

n
I x x dx
= -
ò

·
Đặt
1 .
n
u x
dv x dx
ì
ï
=
í
= -
ï
î
k)
4
n
0
cos
n
dx
I dx
x
=
ò
p

b
a
S f x dx
=
ò
(1)
· Diện t í c h S của hình phẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g :
– Đồ thị c ủa các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đ oạn [ a ; b ] .
– Hai đườn g t h ẳn g x = a, x = b.
l à :
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= -
ò
(2)
Chú ý:
·
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu t h ì :
( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
=
ò ò
·
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối c ủa hàm số dưới
dấu tích phân. Ta có thể l à m n h ư sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả s ử tìm

2. Thể tích vậ t thể
· Gọi B l à p h ần v ật thể giới h ạn b ởi h a i m ặt phẳn g v u ô n g g ó c v ới t r ục Ox tại c á c đi ểm
các đi ểm a và b.
S(x) là diện t í c h t h i ết diện c ủa vật thể bị c ắt bởi mặt phẳn g v u ô n g g ó c v ới t r ục Ox tại
đi ểm c ó h o à n h độ x (a
£
x
£
b) . G iả sử S(x) liên tụ c trên đoạn [ a ; b ] .
Thể tích của B là:
( )
b
a
V S x dx
=
ò
· Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khố i t r ò n x o a y d o h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g :
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 97

2
( )
b
a
V f x dx

, 0, 1 ,
x
y y x x e
x
+
= = = =
d)
ln
, 0, , 1
2
x
y y x e x
x
= = = =
e)
1
ln , 0, ,
y x y x x e
e
= = = =
f )
3
, 0, 2, 1
y x y x x
= = = - =
g)
4
1
, 0, 0,
2

x
y e y x
= = =
d)
, 2 0, 0
y x x y y
= + - = =
e)
2 2
2 , 2 1 , 2
y x y x x y
= = - - =
f )
2
4 5 , 2 4, 4 11
y x x y x y x
= - + = - + = -
g)
2
2
27
, ,
27
x
y x y y
x
= = = h )
2 2
2 , 4 4, 8
y x y x x y

= = = - =
d)
2 2
2 2 , 3 6, 0, 4
y x x y x x x x
= - = + - = =
e)
, 0, 4
y x y y x
= = = -
f)
2 2
2 2, 4 5 , 1
y x x y x x y
= - + = + + =
g)
, 2 , 0
y x y x y
= = - =
h )
2
1
, , 1
x
x
y y e x
e
-
-
= = =

+
e)
2
, 2
y x y x
= = -
f)
2 2
2 , 4
y x x y x x
= - = - +
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 98
g)
2
2
1
,
2
1
x
y y
x
= =
+
h)
2
3 , 0
y x y

2 1 , 1
y x y x
= + = -
e)
2
2 , , 0, 3
y x y x y y
= = = =
f )
2
( 1 ) , sin
y x x y
= + = p
g)
2 2 2
6 , 16
y x x y
= + =
h)
2 3 2
(4 ) , 4
y x y x
= - =
i )
3
1 0, 1 0
x y x y
- + = + - =
k)
2 2 2

x
y x y e x
= + = =
f )
1
ln , 0, ,
y x y x x e
e
= = = =
g)
2
si n cos , 0, 0,y x x y x x
= + = = =p
h )
si n ; ; 0 ; 2 .
y x x y x x x
= + = = = p

i )
2
si n ; ; 0 ; .
y x x y x x
= + = p = =p
k)
2
si n sin 1 , 0, 0,
2
y x x y x x
p
= + + = = =

C y x x x
= - + =-
v à t i ếp tuyến v ới ( C ) t ại đi ểm c ó h o à n h độ x = –2.
e)
2
( ) : 2
C y x x
= -
v à c á c t i ếp tuyến v ới ( C ) t ại O ( 0 ; 0 ) v à A ( 3 ; 3 ) t r ê n ( C ) .
VẤN ĐỀ 2: Tính thể t í c h v ật thể
Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi h ì n h ( H ) g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u q u a y
quanh trục Ox:
a) sin , 0, 0,
4
y x y x x
p
= = = =
b)
3 2
1
, 0, 0, 3
3
y x x y x x
= - = = =
c)
6 6
si n cos , 0, 0,
2
y x x y x x
p

2 2
( 2) 9 , 0
x y y
- + = =
l )
2 2
4 6, 2 6
y x x y x x
= - + = - - +
m )
ln , 0, 2
y x y x
= = =
Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi h ì n h ( H ) g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u q u a y
quanh trục Oy:
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 99
a)
2
, 1 , 4
x y y
y
= = =
b)
2
, 4
y x y
= =
c) , 0,

2
2 , 0
y x x y
= - =
e)
.ln , 0, 1 ,
y x x y x x e
= = = =
f)
2
( 0), 3 10, 1
y x x y x y
= > = - + =
g)
2
,
y x y x
= = h )
( )
2
2
– 4 1
x y
+ =
i ) 1
4
9
22
=+
yx

x x dx
-
+ - -
ò
c)
3
2
1
2 1
x x dx
- +
ò

d)
2
2
1
1
2
x
dx
x
-
æ ö
-
ç ÷
+
è ø
ò
e)

1
2 4
dx
x x
-
+ +
ò
i )
2
3 2
2
0
2 4 9
4
x x x
dx
x
+ + +
+
ò

k)
1
3
2
0
1
x
dx
x +

1
2
5 4
dx
x
-
+ +
ò
c)
0
1
1
x x dx
-
+
ò

d)
10
5
2 1
dx
x x
- -
ò
e)
3
1
3
3 1 3

1
x x dx
-
ò
i )
x
dx
x
7
3
3
0
1
3 1
+
+
ò

k)
3
3 2
0
1
x x dx
+
ò
l )
1
3 2
0

x
+
+
ò
q)
3
5 3
2
0
2
1
x x
dx
x
+
+
ò

r)
2
2 2
0
4
x x dx
-
ò
s) t )
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
/4

x
p
+
ò

d)
/2
2 2
0
sin2
cos 4sin
x
dx
x x
p
+
ò
e)
/2
0
si n s in 2 s in 3
x x x dx
p
ò
f )
/2
5
0
cos
x dx

x x
dx
x
p
+
ò

k)
/4
2
0
tan
x x dx
p
ò
l )
/2
0
si n 2
cos 1
x
dx
x
p
+
ò
m )
/2
0
si n

p
+
ò
q)
/2
0
cos3
sin 1
x
dx
x
p
+
ò

IV. ÔN TẬ P TÍCH PHÂN
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 131
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP

Baøi 1. (TN 2002) Tính diện t í c h h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g
2
2 1
y x
= +
v à
y x
–1
=

- -
=
+
v à đườn g
thẳn g y = 0 .
ĐS: 1)
x
F x x
x
2
2 13
( )
2 1 6
= + + -
+
2)
S
63 16 ln8
= -
.
Baøi 3. (TN 2005) Tính tích phân:
I x x xd x
2
2
0
( sin )cos
p
= +
ò
.

= - -
2) I
4
ln
3
= .
Baøi 5. (TN 2006–pb)
1. Tính tích phân: I =
x x
x
e e
dx
e
ln5
ln 2
( 1 )
1
+
-
ò
.
2. Tính tích phân: J =
x
x e dx
1
0
(2 1 )+
ò
.
ĐS: 1) I

III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 132
2. Tính tích phân:
x xd x
3
1
2 ln
ò
.
ĐS: 1)
(
)
J
2 5 2
= - 2)
K
9ln3 4
= -
.
Baøi 8. (TN 2007–kpb–lần 2 ) T í n h t í c h p h â n : I =
x
dx
x
1
2
3
0
3

ĐS: I =
3
2
.
Baøi 11. (TN 2008–pb)
1. Tính tích phân: I =
x x dx
1
2 3 4
1
( 1 )
-
-
ò
.
2. Tính tích phân: J =
x xd x
2
0
(2 1 ) c o s
p
-
ò
.
ĐS: 1) I
32
5
= 2)
J
3

- +
ò
.
ĐS: 1) I = e + 3 2) J = 9.
Baøi 14. (TN 2009) Tính tích phân: I =
x x dx
0
( 1 c o s )
p
+
ò
.
ĐS: I
2
4
2
p
-
= .
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail: