Trang 1
Trang 2
V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 42
VI.TRẮC NGHIỆM 4 Trang 4

…





… I.PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cơ sở của phương pháp là biến đổi sơ cấp các phương trình lượng giác của

π
= α + π


= − α + π

= α
x k
x k
m

Cosx = m
1 1
− ≤ ≤
m

arccos 2
= ± + π
x m k

x 2
( cos )
= ±α + π
= α
k
m

Tanx = m
;
2

∗
Chú ý:

sin 1 2 ;cos 1 2
2
π
= ⇔ = + π = ⇔ = π
x x k x x ksin 0 ;cos 0
2
sin 1 2 ;cos 1 2
2
π
π
= ⇔ = π = ⇔ = + π
= − ⇔ = − + π = − ⇔ = −π + π
x x k x x k
x x k x x k

2
.
Phương trình lượng giác thuộc dạng cơ bản:

Có một trong các dạng sau:

Sin[f(x)] = m; cos[f(x)] =m; tan[f(x)] = m; cot[f(x)] = m với f(x) là biểu thức chứa
biến x
Hoặc là : sin[f(x)] = sin[g(x)]; cos[f(x)] = cos[g(x)]

x k
π
= −

(k
∈ )
Z

.
Ví dụ 2
sin 2 sin5 cos
2 sin5 sin cos
2 sin5 2 sin
4
sin 5 sin
4
5 2
4
5
4
2
16
5
24 3
x x x
x x x
x x
x x
x x k
x x


 
= − −

 
 


= − +

⇔ ∈


= +


(k )
(k )
Z
Z

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
2
2
5
24 3
(k
π
π
π

sin 2
2 2 2
sin 2 cos2 0
sin 2 1
cos2 2
1
tan 2
2
1
2 arctan
2
1 1
x arctan
2 2
x x
x
x
x x
x
x
x
x k
k
π
π
+ =
⇔ + − =
⇔ 2 − =
⇔ =
⇔ =

3 2
3 2
3 2
3 2
24 2
5
12
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x k
x x k
k
x
x k
π π
π
π
π π
π π
π
π π
π
π π
π
π
− + =

∈


(k )ZTrang
7
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
24 2
5
12
(k Z)
π π
π
π

= +

∈


= −


k
x
x k

Ví dụ 5

2
4
(k )
2
4 3
(loaïi)
π
π
π
π
π π
π
π
π π
⇔ + =
 
⇔ + =
 
 

= + +


⇔
 

= − + +
 

 

∈

Vậy phương trình có một họ nghiệm
2
x
4 3

π π
⇔ = +
k
(k
)
∈
Z


4
3sin 4 4sin 4 0
sin12 0
x
12
x
x x
x
k
π
⇔ − =
⇔ =
⇔ = ∈ (k Z)

Vậy phương trình có một họ nghiệm
x
12
(k )
π
= ∈
Z
k

Ví dụ 7
sin cot 5
1
cos9
x x
x
=

≠ +



Z
k
x k
x
x
x k
x k
xcos5
(1) sin . cos9
sin5
sin .cos5 cos9 .sin 5
sin 6 sin 4 sin14 sin 4
sin14 sin 6
14 6 2
14 6 2
8 2
20 2
4
( )
20 10
π
π π
π

x
x x x x
x x x x
x x
x x k
x x k
x k
x k
k
x
k Z
k
x
Trang
9
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
4
( )
20 10
π
π π

=

∈



7) (tan cot x)
sin 2 2
8)cos sin 2 cos3
1 1 1
9)
sin 2 cos2 sin 4
10)cos10 2cos 4 6c
π
− =
 
− =
 
 
− =
− = −
+ =
+
+ = +
+
= +
− =
+ =
+ +
x
x x
x x
x
x
x
x
Trang
10
IV.HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
2
1) .
9 3
7 2 7
2) ; 2 . cos2 sin 2
18 3 6 2
1 1 cos2
3) arccos . sin
3 2
2 3 1
4) 2 ; 2 . sin
6 3 12
2 2
2
5) .
6 3
Hướng dẫn :
Hướng dẫn :
Hướng dẫn :

x
k x
k k
k
( )
( )
4 4 2 2
cos ) 0
2
6) .
3 sin 2
7) sin 2 0,sin cos 1 2sin .cos
8) ; .
8 16 2
ẫn : ĐK 1+ sinx 0 , đưa pt ve àdạng 2(sin2x +
Hướng dẫn : tanx + cotx =
Vo ânghiệm . Hướng dẫn : ĐK
Hướng dẫn :
π
π
π π π
π
≠ =
 
+
 
 
≠ + = −
+ − +
x

x x x
x x x x
k x x x
2
2
2
; .
8 2 4 2 sin 2
4cos2
12) . , cos 2
16 8 sin 2 .cos2
Hướng dẫn : Tìm ĐK, phương trình = 2(sin2x + cos2x)
Hướng dẫn : Viết vế trái dưới dạng vế phải dưới dạng 32
π π π
π π
 
+ + ⇔
 
 
 
+
 
 
k k
x
k x
x
x x

Dạng bình phương của các phương trình lượng giác cơ bản D
ạ
ng chu
ẩ
n Công th
ứ
c
nghi
ệ
m;
k Z
∀ ∈

a
]
]
2 2
sin ( ) sin ( )
f x g x
 =
 

1
b
]
]

f x k
f x g x
π
π
π
= ± +



≠ +





3
]
]
2 2
cot ( ) cot ( )
f x g x
 =
 

( ) ( )
( )
( ), ( )
f x g x k
f x k
f x g x

i
ề
u ki
ệ
n(a,b,c
; 0
R a
∈ ≠
)
Cách gi
ả
i
1
2
2
sin sin 0
sin [ ( ) sin[ ( )] 0
a x b x c
a f x b f x c
+ + =
+ + =

Đặ
t
sin
sin ( )
x t
f x t
=
=

Đặ
t
tan
tan ( )
x t
f x
=
=

4
2
2
cot cot 0
cot [ ( ) cot[ ( )] 0
a x b x c
a f x b f x c
+ + =
+ + =

Đặ
t
cot
cot ( )
x t
f x t
=
=

Cosx =
α
⇔
x =
±
arccos
α
+
2
k
π

Tanx =
α
⇔
x = arctan
α
+
k
π

Cotx =
α
⇔
x = arccot
α
+
k
π

Cơ sở của phương pháp cần thcự hiện ba bước:
•
B
1

nhận dạng
( ) (sin ;cos )
R x R x x
=
và đặt :

(ĐK
:
(2 1) ; )
x k k Z
π
≠ + ∈

•
B
2
: sử dụng các biến đổi

= + ∈
khi
0
a b c
+ + =

tan
2
x
t =
2
2
sin
1
t
x
t
=
+

1
1
1
cos
1
t
x
t
−
=
Dạng 5. Các phương trình lượng giác có phương pháp giải tổng quát

1.asinx + bcosx = cTa có: a.sinx + bcosx = c
2 2 2 2 2 2
a b c
sin cos
a b a b a b
x x
⇔ + =
+ + +
(1)
Vì
2 2
2 2 2 2
a b
1


Cơ sở của phương pháp là sử dụng các tìm nghiệm nguyên của phương trình
phi tuyến đặc biệt:

1 2
1
2
2 2
2
1 1 2 2
( ) 0
( ) 0
[ ( )] [ ( )] [ ( )] 0
, 0
( ) 0
n
m
m m
n n
n
f x
f x
A f x A f x A f x
A B
f x
=



=

( ) 0
( ) 0
n
f x
f x
f x
=


=


⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅


=

cho dạng tổng quát

B
3
:
thông thường phải tìm nghiệm chung cho hệ đã biết để kết luận nghiệm
tổng quát
Trang
14
Do đó : (1)

c c
x arccos x arccos
a b a b
   
− ϕ = ± ⇔ = ϕ±
   
   
+ +
   

• Nếu
2 2
c
1
a b
>
+
hay
2 2 2
c a b
≤ +
thì pt vô nghiệm
a) Pt a.sinx + bcosx = c có ngiệm khi và chỉ khi a
2
+ b
2
0
>

b) Phương pháp giải thường dùng :Chia 2 vế cho



Chú ý
:
1. Gặp pt không thuần nhất : a.sin
2
x + bsinx.cosx + c.cos
2
x = d (d
≠
0)
Ta có thể chọn 1 trong 2 cách trình bày sau:
a) Viết d = d(sin
2
x + cos
2
x) sau đó đưa về pt thuần nhất
b) _Trước hết kiểm tra với x =
2
k
π
π
+

_Với x
2
k
π
π
≠ +
Trang
15
• sinx.cosx =
sin2
2
x

Tuy nhiên cách giải này chỉ nên sử dụng đối với những pt có chứa tham số 3. a(sinx + cosx) + bsinx.cosx = c
(∗)
Đặt t = sinx + cosx (
t 2
≤
)
Ta có : sinx.cosx =
2
t 1
2
−

Thay vào (*) ta được pt bậc 2 theo t, tìm t từ đó tìm x bằng cách thay t vào (*)



Chú ý
:


II. VÍ DỤ

Trang
16

Ví dụ 1 :
Giải pt :
2

Z
k ; x = k (k )
3
π
π π
+ ∈
Z

Ví dụ 2
: Giải pt :
3 2
3 2
2
cos x 3cos x + 2 = 0 (pt bậc 3 đối với cosx)
Đặt t = cosx ( t 1)
Ta co ùpt : t 3t + 2 = 0
(t 1)(t 2t 2) = 0
t 1
t 1 3
t 1 3 (loại)
_Với t =1 : cosx =1 x = k2
_Với t = 1 3 :
π
−
≤
−
⇔ − − −

=


x
π
 
−
 
 
với
2 2
u− ≤ ≤
(2)
Khi đó: u
2
= 1 – sin2x
⇒
sin2x = 1 – u
2

Phương trình (1) với ẩn u có dạng:
2
1
(1 ) 6( 1)
2
u u
− = −

⇔
u
2
+ 12u -13 = 0


sinx cos 2 sin
4
u x x
π
 
= + = +
 
 

với
2 2
u− ≤ ≤
(2)
Khi đó u
2
= 1 +2sinxcosx
2
1
sin x cos
2
u
x
−
⇒ =

Phương trình (1) với ẩn u có dạng:


⇔

= − < −

2
4 4
3 2
4 4
x k
x l
π π
π
π π
π

− = +

⇔


− = +


2
( , )
2
2
x k
k l Z
x l

= − < −

2
4 4
3
4 4
2
2
2
x k
x
x k
x l
π π
π
π π
π
π
π

+ = +

⇔


+ =


=


Trong đó
ϕ
là góc mà
3
tan
4
ϕ
=

Điều kiện
5 5
1
u
u
− ≤ ≤


≠ −

(2)
Phương trình (1) với ẩn u có dạng:
6
6
1
u
u
+ =
+

2


(k, l
∈
Z)

Ví dụ 6. Giải phương trình
2(1- sinx – cosx) + tanx + cotx = 0 (1)

Điều kiện:
sinx 0
cos 0
2
x k
x
π
≠

⇔ ≠

≠


k Z
∈

Biến đổi phương trình (1) về dạng:
1
2[1 (sinx cos )] 0
sinx.cos
x




sin( ) 0
x
x k
x k
ϕ
ϕ π
ϕ π
⇔ + =
⇔ + =
⇔ = − +
sin( ) 1
2
2
2
2
x
x l
x l
ϕ
π
ϕ π
π
ϕ π
⇔ + =
⇔ + = +
 
⇔ = − +


=



Chỉ có u=0 và
1 5
2
u
−
=
(thỏa mãn điều kiện(2))
Trở về tìm x, giải:
a)
2 sin 0
4
x
π
 
+ =
 
 

b)
1 5
2 sin
4 2


Điều kiện
sinx 0
sin 2 0
cos 0
2
x x k
x
π
≠

⇔ ≠ ⇔ ≠

≠


Biến đổi (1) về dạng
4 4 2 2
(1) tan cot 8(tan cot ) 7
x x x x
⇔ + = + +

Đặt u = tan
2
x + cot
2
x
2
u
⇒ ≥

x l
x n
x l
x n
π
α
π
α π
π
π α π
π
α π
π
α π
−
 
⇔ + = =
 
 

+ = +

⇔


+ = − +



= − +
(k
∈
Z) Ví dụ 8. Giải phương trình
1 1 1 1
(sinx cos ) 1 t anx cotx 0
2 2 sinx cos
x
x
 
+ + + + + + =
 
 

Điều kiện
sinx 0
sin 2 0
cos 0
2
x x k
x
π
≠

⇔ ≠ ⇔ ≠


u x x
−
= + ≠ ⇒ =

Và điều kiện của u:
2 2
1
u
u

− ≤ ≤


≠ ±


(2)
Phương trình đối với u có dạng
1
9
u
u
= −

⇔

=

2 2
2 2

x k
x k
π
π
⇔ + =
⇔ + =
⇔ − =
⇔ =
⇔ =
⇔ = ± +
±
⇔ = +

Trang
21
2
2( 1)
2 0
1
2
( 2) 0
1
( 1) 0
0
u
u
u
u
u
u u

Ví dụ 9
: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

sinx 2cosx
y =
sinx cosx+2
+
−

Vì sinx
−
cosx +2 =
2sin x 2 0 x
4
π
 
− + ≠ ∀ ∈
 
 
R

Nên
0
y
là 1 giá trị của hàm số

0 0
sinx 2cosx
y co ùnghiệm x
sinx cosx+2

 R
1
2

Trang
22
Vớ d 10
: Tỡm k giỏ tr ca hm s
sinx 1
y =
cosx+2
k
+
nh hn 1
0
0
0 0
0 0
2 2 2
0 0
Vỡ cox + 2 0 x neõn y laứgia ựtrũ cuỷa h

13
12
13
2 2
13
2 2
1 12 13 12 13
y
6 6
k
k
k
k
k
k
k k

+
=1+12 12 0
12 13 0








<


19
6
k
k
k
<

>





<

Trang
23
Ví dụ 11
: Giải pt
2sin
2
x + 3sinx.cosx + cos
2
x = 0 (1)

x k
π
π
π

= − +

= −



⇔ ⇔ ∈

 

= −
= − +

 


 

Z

Ví dụ

12
: Với m nào pt sau có nghiệm
sin

Vậy
m
∀
pt đã cho luôn có nghiệm
Ví dụ 13
: Giải pt
(1 2)
+
(sinx + cosx)
−
sin2x
1 2 0
− − =

Đặt t = sinx + cosx (
t 2
≤
)
Ta có : sin2x =
2
t 1
−
nên pt đã cho trở thành
2
2
(1 2)t (t 1) 1 2 0
t (1 2)t + 2 0
t =1
t = 2
+ − − − − =

k
k
k
k
π
π
π π
π
π π
π
π
π
 
⇔ + =
 
 
 
⇔ + =
 
 

+ = +

⇔ ∈


+ = +




 
⇔ + ⇔
 
 
 
⇔ + =
 
 
⇔ + = + π ( ∈
⇔ + π ( ∈
Z
Z

Vậy pt đã cho có 2 họ nghiệm


5.
4 4
1 1
os2 os2 1
2 2
c x c x
− + + =

6.
2 2
4 4
10 8sin 8 os 1 1
x c x
+ − − =7.
2
sinx sinx sin cos 1
x x
+ + + =

8.
2 2 2
4 3 4 sin 2 os( ) 13 4 os ( )
2
x y
x x c x y c x y
+
 

=
+

12
.
3(cos2 cot 2 )
2sin 2 2
cot 2 cos2
+
− =
−
x x
x
x x

13.
2 2
cos3 2 cos 3 2(1 sin 2 )
x x x
+ − = +

14.
1 sin 1 sin 2cos
x x x
+ + − =