Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014

 !"#$%



 Nhóm học sinh lớp 10 Toán
Phạm Trung Vinh
Nguyễn Phúc Nghiệp
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 1
KHÓA: 2009-2012
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
Kính thưa quý thầy cô và các bạn! Như chúng ta đã biết, lượng giác là một phần quan
trọng trong toán phổ thông nói chung và toán chuyên nói riêng.Và hôm nay chúng em mang đến
quyển chuyên đề này không ngoài mục đích học tập, rèn luyện thêm kiến thức và khả năng làm
toán. Không chỉ dừng lại ở các bài toán lượng giác, quyển chuyên đề còn bàn đến những ứng
dụng to lớn của lượng giác vào việc giải một số bài toán đại số.
Ở đa số các bài toán, chúng em đều có phần nhận xét cá nhân, những suy nghĩ và hướng
đi mới. Do vậy mỗi phần, mỗi chương sẽ thực sự thể hiện cả một quá trình tìm tòi và suy nghĩ
của chúng em. Sự tìm tòi có thể khác nhau nhưng đều có chung một mục đích: đó là đi đến sự
tiến bộ.
Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng quyển chuyên đề khó có thể tránh được những thiếu
sót. Rất mong tài liệu này sẽ nhận đựơc sự góp ý của thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, chúng em xin cảm ơn thầy Đỗ Kim Sơn đã đọc và cho góp ý, cũng như bỏ
qua những thiếu sót trong lần viết chuyên đề này của chúng em.
Tập thể học sinh lớp 10 Toán 2009 - 2012
Phần đầu của chuyên đề ta sẽ xét các vấn đề chung của phương trình lượng giác (những
kiến thức cơ bản về lượng giác, điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác và các bài
toán liên quan đến việc tìm số k nguyên trong công thức biểu diễn nghiệm của phương trình).
Trong chương này chúng tôi phân loại phương trình lượng giác theo cách giải nó. Phần

sin
α
α
α
=
( với
x k
π
∀ ≠
,k ∈ Z )
•
2
2
1
tan 1
cos
α
α
+ =
( với
2
k
π
α π
∀ ≠ +
,k ∈ Z )
•
2
2
1

π
+ =
•
( )
tan tanx k x
π
+ =
•
( )
cot cotx k x
π
+ =
#'6/
•
( )
sin sinx x
− = −
•
( )
cos cosx x
− =
•
( )
tan tanx x
− = −
•
( )
cot cotx x
− = −
#-7/

− =
 ÷
 
•
cos sin
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
•
tan cot
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
•
cot tan
2
x x
π
 
− =
 ÷
 

2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 
#,0124/
•
( )
sin sinx x
π
+ = −
•
( )
cos cosx x
π
+ = −
•
( )
tan tanx x
π
+ =
•
( )
cot cotx x
π
+ =
9):/
•

cot cot 1
cot , ,
cot cot
x y
x y x y x y k
y x
π
± = ∀ ± ≠
±
m
9);'9/
•
sin 2 2sin cosx x x=
•
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x
= − = − = −
•
2
2tan 2
tan 2 ,2
1 tan cot tan 2
x
x x x k
x x x
π
π
 
= = ∀ ≠ +
 ÷

1 cos 1 cos
tan
2 1 cos sin
x x x
x x
− −
= ± =
+
9);-/
•
3
sin3 3sin 4sinx x x
= −
•
3
cos3 4cos 3cosx x x
= −
•
3
2
3tan tan
tan3 ,3
1 3tan 2
x x
x x x k
x
π
π
−
 

•
( )
2
1
cos 1 cos2
2
x x
= +
•
2
1 cos2
tan
1 cos2 2
x
x x k
x
π
π
−
 
= ∀ ≠ +
 ÷
+
 
•
( )
2
1 cos2
cot
1 sin 2

=

/
•
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
•
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
•
2
2
tan ,
1 2 2

( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
x y x y x y
= + + −
 
 
•
( ) ( )
1
sin sin cos cos
2
x y x y x y
= − + − −
 
 
9)-='>>?/
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 6
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
•
sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
•
cos cos 2cos cos

 
± = ∀ ≠ +
 ÷
 
•
( )
( )
sin
cot cot ,
sin sin
y x
x y x y k
x y
π
±
± = ∀ ≠
0=@#. A7/
•
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
•
sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x

x x x
+ = +
•
6 6
5 3
sin cos cos4
8 8
x x x
+ = +
•
2
1 sin 2cos
4 2
x
x
π
 
+ = −
 ÷
 
•
2
1 sin 2sin
4 2
x
x
π
 
− = −
 ÷

Trang 7
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
&'()2/
•
sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C
+ + =
•
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
+ + = +
•
tan tan tan tan tan tanA B C A B C
+ + =
•
cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A
+ + =
•
2 2 2
cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C
+ + = −
•
2 2 2
sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C
+ + = +
•

≠ ∈¢
Lược đồ chung để giải các phương trình lượng giác, cũng giống như khi giải các phương
trình khác thường được tiến hành như sau :
• Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
• Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc tương ứng.
• So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đã đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 8
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
B:C6DE/
• Đối với các họ nghiệm theo tan và cot, nếu một vế của phương trình không chứa ẩn thì ta
không cần đặt điều kiện.
• Để làm mất dấu trừ trước các hàm số lượng giác, ta dùng các cung đối cho hàm sin, tan
và cot, dùng cung bù cho hàm cos.
 2,34-"$05$%+67/$01&'
Các bài toán liên quan đến số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác nảy
sinh trong các trường hợp sau đây :
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một miền cụ thể cho trước nào đó của
biến.
• Giải một số phương trình lượng giác dạng đặc biệt.
Thông thường đối với các bài toán dạng xác định số k ta thường tiến hành như sau :
• Giải phương trình lượng giác như bình thường.
• Với nghiệm tìm được, để xác định số k tương ứng ta phải giải một bất phương trình đơn
giản: Tìm nghiệm nguyên k thỏa mãn một bất phương trình.
• Thay giá trị k tìm được vào công thức nghiệm sẽ suy ra các nghiệm cần tìm.
Nhìn chung, việc xác định cụ thể các giá trị của tham số k nguyên trong công thức nghiệm
của phương trình lượng giác xuất hiện trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác. Nếu để
ý thì dưới hình thức này hay hình thức khác thực chất đó là giải phương trình lượng giác có kèm
theo một diều kiện phụ nào đó.
Việc xác định các giá trị của tham số k qui về việc tìm nghiệm nguyên của một bất phương

π
π
= +

= ⇔ ∀ ∈

= − +

¢
•
( )
tan tan ,
2
v l
u v k l
u v k
π
π
π

≠ +

= ⇔ ∀ ∈


= +

¢
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 9

= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
sin 1 2
2
u u k k
π
π
= − ⇔ = − + ∀ ∈
¢
•
( )
cos 0
2
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cos 1 2u u k k
π
= ⇔ = ∀ ∈
¢
•
( )
cos 1 2u u k k
π π

u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cot 1
4
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cot 1
4
u u k k
π
π
= − ⇔ = − + ∈ ¢
; ",I-<J2:2C6*+K#/
Có dạng:
( )
( )
( )
( )
sin 1
sin 0

+ = −
=
+ =
−
=
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 10
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
Đối với các phương trình (1) và (2) cần có thêm điều kiện
1
b
a
−
≤
Chọn α sao cho
[ ]
[ ]
sin ; ;
2 2
cos ; 0;
tan ; ;
2 2
cot ; 0;
b
a
b
a
b
a
b

; 0
tan tan 0
cot tan 0
a u b u c
a u b u c
a
a u b u c
a u b u c
+ + =
+ + =
≠
+ + =
+ + =
. Đặt
sin
1
cos
tan
cot
u t
t
u t
u t
u t
=

≤

=


a
a b
α
=
+
và
2 2
sin
b
a b
α
=
+
.
3/
• Tìm nghiệm thỏa
cos 0
2
x
=
.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 11
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
• Với
cos 0
2
x
≠
thì đặt

M/Phương trình đối xứng với
sin x
và
cos x

:
•
( )
sin cos sin cos 0a x x b x x c
+ + + =
•
( )
sin cos sin cos 0a x x b x x c
− + + =
Đặt
sin cos 2 sin 2; 2
4
t x x x
π
 
 
= ± = ± ∈ −
 ÷
 
 
thì
2
1
sin cos
2

≠
thì chia hai vế của
phương trình cho
2
cos x
dể đưa
phương trình đã cho về dạng phương
trình bậc hai theo ẩn
tan x
.
3/
•
Tìm nghiệm thỏa
sin 0x
=
•
Với
sin 0x
≠
thì chia hai vế của
phương trình cho
2
sin x
dể đưa
phương trình đã cho về dạng phương
trình bậc hai theo ẩn
cot x
.
O/Phương trình thuần bậc ba đối với
sin x

Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
* 0G2, /
• Đường tròn lượng giác: là đường tròn có bán kính đơn vị
R = 1
và trên đó ta đã chọn một
chiều dương
( )
+
(thông thường chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ)
• Cung lượng giác:
»
AB
(với A, B là 2 điểm trên đường tròn lượng giác) là cung vạch bởi
điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến B.
• Góc lượng giác: khác với góc bình thường góc lượng giác có một chiều nhất định
*",-S#ATU5#*+/
• Biểu diễn các điểm ngọn của cung lượng giác biết số đo có dạng
α + k
π
:
Ta đưa số đo về dạng
2
α k
m
π
+
.
Bài toán có m ngọn cung phân biệt tương ứng với k từ 0 đến
( )
m 1

5
+ 2 :
4
k AM
π
= =

( )
¼
7
+ 3:
4
k AM
π
= =
Đề ý ta thấy rằng trên đường tròng lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của hình vuông
0 1 2 3
M M M M
.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 13
( )
¼
+ 0:
4
k AM
π
= =
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
BCD$ Trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của một đa giác đều

3
x k
π
π
= ± +
0:
3
k x
π
= = ±
4
1:
3
k x
π
= = ±
Trên đường tròn lượng giác, ta nhận thấy có 6 điểm ngọn cung phân biệt, Do đó công thức tổng
quát là:
2
6 3
k k
x
π π
= =
BCD$ Qua bài toán này ta thấy r| vai trò của việc kết hợp các góc lượng giác dưới
dạng một công thức tổng quát đơn giản hơn. Hơn nữa, đây còn là bài toán về việc giải hệ phương
trình lượng giác cơ bản bằng phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Bài toán giải PTLG dùng phương pháp kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượng giác để loại các
nghiệm ngoại lai.
WWW.ToanCapBa.Net


2
x k
x k
π
π
π
≠


⇔

≠ +


( )
1
Với điều kiện đó phương trình tương đương :

( )
sin cos sin 1 0x x x+ − =
2
sin sin cos 1 0x x x⇔ + − =
⇔
cos (sin cos ) 0x x x− =
cos 0
sin cos
x
x x
=

π
= +
và
2
2
x k
π
π
= − +
,(
k ∈Z
)
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 15
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
BCD$ Đây là một bài có công thức nghiệm đơn giản cho phép ta có thể biểu diễn
một cách chính xác trên đường tròn lượng giác. Tuy nhiên ta hãy xét thêm bài toán sau để thấy r|
màu sắc của bài toán biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
EF$< Giải phương trình sau :

sin 4
1
cos6
x
x
=
A9)
Điều kiện để phương trình có nghĩa là :
cos6 0x
≠

2
6 4 2
2
x x m
m
x x m
π
π
π
π

= − +

⇔ ∈


= − +


¢
20 5
4
m
x
x m
π π
π
π

= +

và đầy đủ ở chương sau:“ Lượng giác ứng dụng vào giải toán Giải tích”.
B:C69)?'+A7#,$/
1.
cot g 2cot g 2xx tgx− =
2.
2
cot g
sin 2
x tgx
x
+ =
3.
1
cot g cot g 2x
sin 2
x
x
− = −
-Q B:C6>X#)2U/
•
( )
1
1
sin sin
2 2
sin sin 2 sin
sin
2
n a
na

.
•
3
2
1 1 1 1
cot cot 2
sin sin 2 sin 2 sin 2 2
n
n
a
S g g a
a a a a
= + + + + = −
!; áp dụng
1
cot g cot g 2x
sin 2
x
x
− = −
!< ta có đẳng thức cần chúng minh tương đương với :
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 17
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
cos
1 1 1 cos2
2

sin sin 2 sin 2 sin 2
sin

Hoàn toàn tương tự ta được :
VT
cos2
sin 2
n
n
a
a
=
•
( )
( )
4
1 1 1 1

cos cos2 cos2 cos3 cos 1 cos sin
S tgna tga
a a a a n a na a
= + + + = −
−
Nhân 2 vế với sin a
•
( )
5
2
sin 1
cos cos2 cos
1
cos cos cos sin .cos
n n

sin 1
sin .cos
n
n a
S
a a
+
⇒ =
•
( )
6
2 2 3 1
tgna
S tgatg a tg atg a tg n atgna n
tga
= + + + − = −
‚p dụng :
( )
( )
1
1 1
tg n a
tgna
tg n atgna
tga tga
−
− − = − −

tgna
S n

a
a
= + + + = −
‚p dụng :
2 2 2
1 1 1
4sin 4cos sin 2x x x
+ =
Q B:C6?)2U/
•
( ) ( )
( )
1
1
2cos 2 1
2cos 1 2cos2 1 2cos 2 1
2cos 1
n
n
T a a a
a
−
+
= − − − =
+
Nhân 2 vế với
( )
2cos 1a +
•
1

2
. .
cos cos2 cos2 cos2
n
n
a
a a a
a a a a
−
−
=
2 2
1
2 cos cos cos2 cos 2
2
sin sin .
2 2 cos2
n n
n
a
a a a
a a
VT
−
−
⇒ =
1
1
cos sin 2
2

Nhân 2 vế với
sin
2 1n
π
+
!MN Ở các công thức này ta có một mƒo nhỏ. Đó là chỉ cần nhìn kết quả của vế phải là
ta đã có thể biết được cách chứng minh. Tuy nhiên có nhiều trường hợp ta chỉ có vế trái thì ta
phải làm sao? Ta cần s~ dụng đến các công thức ở mục a). do đó ta cần ghi nhớ các công thức ở
mục a.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 19
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
8?@ Giải phương trình :
1
1 1
sin 2 sin
n
i
i
x x
=
=
∑
A9)
Điều kiện để phương trình có nghiệm :
sin 2 0; 1,
i
x i n≠ =

‚p dụng

g
g
≥

= ⇔

=

Khi giải các PHTL mà ẩn số nằm dưới dấu căn, các điều kiện ràng buộc thường ở dưới
dạng các bất phương trình lương giác. Dĩ nhiên ta có thể xem như là một hệ thống gồm các
PTLG và bất PTLG. Nhưng r| ràng đây là một dạng khó, phức tạp dễ mắc phải sai lầm mà ta có
thể thấy ở các bài toán dưới đây :
EF$; (64II - Bộ đề thi Tuyển sinh)Giải phương trình :
cos2 1 sin 2 2 sin cosx x x x+ + = +
(1)
A9)
(1)
( )
2
2 2
cos sin cos sin 2 cos sinx x x x x x⇔ − + + = +
• Xét
cos sin 0x x
+ =
là nghiệm
1
4
tgx x k
π
π

2cos 2 cos sin 4x x x⇔ + − =

2 2
cos sin 2 cosx x x⇔ − = −

2
cos 4cos 5 0x x⇔ + − =

[ ]
( )
cos 1 1,1 2 ,x x k k
π
⇔ = ∈ − ⇔ = ∈Z
Th~ lại với điều kiện (2) : Do
cos 1 sin 0x x
= ⇒ =
thoả (2).
Vậy
4
x k
π
π
−
= +
;
2x k
π
=
với
k ∈Z

Phép biến đổi này hoàn toàn sai vì nếu
0a =
thì
<0b∀
ta vẫn có hệ
0
0
a
ab
≥


≥

được thoả
mãn. Do đó ta cần phải thật cẩn thận trong phương trình dạng này.
EF$< (66II.2-Bộ đề thi tuyển sinh). Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
1 2cos 1 2sinx x m+ + + =
A9)
Hàm số y =
1 2cos 1 2sinx x m+ + + =
là hàm tuần hoàn với chu kì
2
π
nên ta chỉ cần tìm m
để phương trình có nghiệm
[ ]
,x
π π
∈ −

6 3
x
π π
−
⇒ ≤ ≤
.
Xét biểu thức:
( )
2
2
1 2cos 1 2sinf y x x= = + + +
( ) ( )
2 2 sin cos 2 1 2 sin cos 4sin cosf x x x x x x⇔ = + + + + + +
Đặt
3 1 2
sin cos , 2 ,
2 6 3
t x x x
π π
 
− −
 
= + ∈ ∀ ∈
 
 
 
 
Khi đó
2
2 2 2 2 2 1f t t t= + + + −

 ÷
 ÷
 
và
Max
( ) ( )
2 4 1 2f f= = +
Phương trình có nghiệm
Min Maxy 1+ 3 2 1 2y m m⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ +
BCD$Phương pháp này có thể gọi là phương pháp miền giá trị. Bởi vì thật ra tập giá
trị của m chính là miền giá tri của hàm
f
.
Đây là hàm đồng biến trong trong tập xác định của nó nên Max và Min của hàm số cũng
chính là giá trị 2 đầu của miền giá trị.
Q R.$4-///")/$01&'
L ",?C6/
Với điều kiện
f
x D∈
thì phương trình :
( ) ( )
( )
( )
0
. 0
0
f x
f x g x
g x





WWW.ToanCapBa.Net
Trang 22
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
3 ",'HYC6/
Đặt f(x) = t, đưa phương trình về dạng phương trình đại số: f(t) = 0, giải tìm t, sau đó thế t = f(x),
giải tìm x.
!MN Nếu thuận lợi ta cũng nên tìm điều kiện của t, khi đó ta chỉ cần nhận các nghiệm t thích
hợp để giải tìm x V';$*'#0G-Z-#:0H,I)2C6Q. Nếu
điều kiện của t tìm quá khó khăn thì ta không cần phải xác định điều kiện này, nhưng khi đó gần
như ta phải xét hết các nghiệm t tìm được để giải tìm x.
M ",HV.)Q[",>C609;2/
• ",H/ Phương trình
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 1
1 2 1 2
2 2
f x c
f x c
f x c
f x f x c c

( )
( )
1
2
1
0
1 2
0
2
0
0
0
f x
f x
f x
f x f x
f x
≥
≥
=

+ = ¬ →

=



• Đặc biệt :
( ) ( )
( )

=

= ¬ →

=


, các tính chất : f(x) ≥ c và g(x) ≤ c, ta có thể
dùng các bất đẳng thức đại số hay các bất đẳng thức lượng giác để chứng minh.
S !L/$01&'7:/
 ",I-<J'65WC\5C\/
L/",I09U2C6
8?@; Giải phương trình sau
( )
4 4
4 sin cos 3sin 4 2x x x+ + =
.(1)
A9)
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 23
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
( )
2
1
1 4 1 sin 2 3 sin 4 2
2
x x
 
⇔ − + =
 ÷

π π
π
π π
π π
−
 
⇔ − + =
 ÷
 
⇔ + = −
−
   
⇔ + =
 ÷  ÷
   
−

+ = +

⇔ ∈


+ = +


−

= +

⇔ ∈

2 3
x x
x
x k
k
x k
x k
k
x k
π π
π π
π
π π
π
π π
π π
⇔ − = −
−
   
⇔ − =
 ÷  ÷
   
−

− = +

⇔ ∈


− = +

 
 
 
.
A9)
Ta nhận thấy với mọi m thì m + (1 – m) = 1 ≠ 0, vậy với mọi m thì
cos 0
2
x
=
không thể thỏa
mãn (1). Nên đặt
tan
2
x
t=
, thì (1) có dạng :
( )
2
2
2 2
2 1
2 1 4 1 2
1 1
t t
m m f t t t m
t t
−
+ = − ⇔ = − + =
+ +

2
2
6
f(t)
f'(t)
t
1
-1
Vậy hệ (1) và (3) có nghiệm ⇔ min f(t) ≤ 2m ≤ max f(t) với -1 ≤ t ≤ 1
⇔ -2 ≤ 2m ≤ 6 ⇔ -1≤ m ≤ 3
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 25