ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 1
TO
TO
Á
Á
N CAO C
N CAO C
Ấ
Ấ
P C2
P C2
CAO Đ
CAO Đ
Ẳ
Ẳ
NG
NG
PHÂN PH
PHÂN PH
Ố
Ố
I CHƯƠNG TRÌNH
I CHƯƠNG TRÌNH
S
S
ố
ố
ti

ng
ng
To
To
á
á
n
n
C
C
2
2
CĐ
CĐ
t
t
ạ
ạ
i
i
dvntailieu.wordpress.com
dvntailieu.wordpress.com
Biên
Biên
so
so
ạ
ạ
n
n


4. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A3
–NXB
ĐHQG TP. HCM.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế

.
Đặc biệt, mặt phẳng
Oxy
được xem là miền p
hẳng với
biên ở vô cùng.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi

D
được gọi là mi
ề
n liên thông
nếu có 1
đường cong nằm trong
D
nối 2 điểm bất kỳ thuộc
D
.

Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi
là miền đơn liên (hình a)
; có biên là nhiều đường cong
kín rời nhau là miền đa liên (hình b).

b) Lân cận của một điểm

• Khoảng cách giữa 2 điểm
1 1 1
( , )
M x y
,
2 2 2
( , )
M x y
là:


Chương

( , )
S M
ε
mở có tâm
( , )
M x y
, bán kính
0
ε >
được
gọi là một lân cận của điểm
M
.
Nghĩa là:
2 2
0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( ) ( )M x y S M x x y y
∈ ε ⇔ − + − < ε
.
M
ε
•
(
)
(
)
(
)
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2

,
x y
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n

( , )M x y ∈
ℝ
sao cho
( , )
f x y
có nghĩa.
• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự.

1.2.
Giới hạn của hàm số hai biến
s
ố
(
xem giáo trình
)

1.3. Hàm số liên tục (xem giáo trình)
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 2


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à

2
D
⊂
ℝ
chứa điểm
0 0 0
( , )
M x y
. Cố định
0
y
, nếu hàm số
0
( , )
f x y
có đạo hàm tại
0
x
thì ta gọi đạo hàm đó là
đạo hàm riêng
theo biến
x
của hàm số
( , )
f x y
tại
0 0
( , )
x y
.

f x y f x y
f x y
x x
→
−
=
−



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u

−
=
−

Chú ý
• Nếu
( )
f x
là hàm số một biến
x
thì
/
x
f df
f
x dx
∂
= =
∂
.
•
Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa t
ương tự
.

VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
4 3 2 3
( , ) 3 2 3
f x y x x y y xy
= − + −

n
n
s
s
ố
ố
VD 4. Tính các đạo hàm riêng của
2
( , , ) sin
x y
f x y z e z
=
.
b) Đạo hàm riêng cấp cao
• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số
/
( , )
x
f x y
,
/
( , )
y
f x y
được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của
( , )
f x y
.
VD 3. Tính các đạo hàm riêng của
cos

à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Ký hiệu:
( )
2
2
//
2
xx x

y y
y
 
∂ ∂ ∂


= = = =





∂ ∂
 
∂
,
( )
2
//
xy xy x
y
f f
f f f
y x y x
 
∂ ∂ ∂


= = = =


Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn
2 có định nghĩa t
ương tự
.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế

(1; 1) 480
x y
f − = −
;
C.
3 2
(5)
(1; 1) 120
x y
f − =
; D.
3 2
(5)
(1; 1) 120
x y
f − = −
.
VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:
3 2 3 4
( , )
y
f x y x e x y y
= + −
tại
( 1; 1)
−
.
• Định lý Schwarz
Nếu hàm số
( , )

m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
2.2. Vi phân

2.2.1. Vi phân cấp 1
a) Số gia của hàm số
• Cho hàm số
( , )
f x y
xác định trong lân cận

( )
( 2)
m n
m n
x y x
z m
−
+
≥
của
2
x y
z e
−
=
là:

A.
2
( 1) 2
n m n x y
e
+ −
−
; B.
2
( 1) 2
m m n x y
e
+ −

à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
b) Định nghĩa

• Nếu trong lân cận
0
( , )
S M
ε

,
x y
∆ ∆
thì đại lượng
. .
A x B y
∆ + ∆
được gọi là vi phân
của hàm
số
( , )
f x y
tại điểm
0 0 0
( , )
M x y
. Khi đó,
( , )
f x y
được
gọi là khả vi tại điểm
0 0 0
( , )
M x y
.
Ký hiệu
. . .
df A x B y
= ∆ + ∆


ố
ố
Nhận xét

• Xét những điểm
0 0
( , )
M x x y y
+ ∆ + ∆
dịch chuyển
trên đường đi qua
0
M
song song
Ox
. Khi đó
0
y
∆ =
:
0 0 0 0
( , ) ( , ) . ( )
f f x x y f x y A x O x
∆ = + ∆ − = ∆ + ∆

/
0 0
0
lim ( , )
x

.
• Xét
( , ) ( , )
f x y x df x y x dx x
= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆
.
Tương tự,
dy y
= ∆
. Vậy:
/ /
( , ) ( , ) ( , ) .
x y
df x y f x y dx f x y dy
= +



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s

tại
0 0
( , )
x y
thì
( , )
f x y
khả vi tại
0 0
( , )
x y
.
VD 8. Cho hàm
2 5
( , )
x y
f x y x e y
−
= −
. Tính
(1; 1)
df
−
.
VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm
2
2
sin( )
x y
z e xy

n
s
s
ố
ố
Ký hiệu và công thức:
(
)
2 2
// //
2 2 // 2
2 .
xy
x y
d f d df f dx f dxdy f dy
= = + +

Chú ý
• Nếu
,
x y
là các biến không độc lập (biến trung gian)
( , )
x x
= ϕ ψ
,
( , )
y y
= ϕ ψ
thì công



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s

thỏa
phương trình
( , , ( , )) 0, ( , )
z
F x y z x y x y D D
= ∀ ∈ ⊂
(*) được gọi là
hàm số ẩn
hai biến xác định bởi (*)
.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề

x y z
z z
F
F
z z F
F F
= − = − ≠

VD 12. Cho hàm ẩn
( , )
z x y
thỏa phương trình:
cos( )
xyz x y z
= + +
. Tính
/ /
,
x y
z z
.
VD 13. Cho hàm ẩn
( , )
z x y
thỏa phương trình mặt cầu:
2 2 2
2 4 6 2 0
x y z x y z
+ + − + − − =
. Tính

bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
3.1. Định nghĩa
• Hàm số
( , )
z f x y
=
đạt cực trị thực sự tại
0 0 0
( , )
M x y
nếu với mọi điểm
( , )
M x y
khá gần nhưng khác
0
M
thì
hiệu
0 0
( , ) ( , )

M
là
điểm cực đại của
( , )
z f x y
=
.
VD 1. Hàm số
2
2
2 2
3
( , )
2 4
y y
f x y x y xy x
 


= + − = − +





 

2
( , ) 0, ( , )f x y x y⇒ ≥ ∀ ∈
ℝ

ế
n
n
s
s
ố
ố
3.2. Định lý
a) Điều kiện cần
• Nếu hàm số
( , )
z f x y
=
đạt cực trị tại
0 0 0
( , )
M x y
và
tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì:
/ /
0 0 0 0
( , ) ( , ) 0.
x y
f x y f x y
= =

Điểm
0 0 0
( , )
M x y

( ), ( ), ( )
xy
x y
A f M B f M C f M
= = =
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi

.
• Nếu
2
0
( , )
0
AC B
f x y
A


− >

⇒


<


đạt cực đại tại
0
M
.
• Nếu
2
0 ( , )
AC B f x y
− < ⇒
không đạt cực trị tại
0

và đường cong phẳng
( ) : ( , ) 0
x y
γ ϕ =
(xem hình vẽ).



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi

γ
).
Tương
tự, điểm
2
( )
P C
∈
là điểm cao nhất (hay thấp nhất)
so
với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu
2
( )
M
∈ γ
là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc
bởi
( ) : ( , ) 0
x y
γ ϕ =
của hàm
( , )
f x y
.


Chương
Chương
1.
1.

xác định trên
D
. Để tìm cực trị (
tự
do) của
( , )
f x y
, ta thực hiện các bước sau:
• Bước 1. Tìm điểm dừng
0 0 0
( , )
M x y
bằng cách giải hệ:
/
0 0
/
0 0
( , ) 0
( , ) 0.
x
y
f x y
f x y


=





(1 )
z xy x y
= − −
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế

.
Khẳng định đúng là:
A.
z
đạt cực tiểu tại
(2; 5)
M
và giá trị cực tiểu
39
z
=
.
B.
z
đạt cực tiểu tại
(5; 2)
M
và giá trị cực tiểu
30
z
=
.
C.
z
đạt cực đại tại
(2; 5)
M
và giá trị cực đại
39
z

ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số
( , )
f x y
ta dùng
phương pháp khử
hoặc
nhân tử Lagrange
.

a) Phương pháp khử
• Từ phương trình
( , ) 0

f x y
đạt cực trị thì ta nói
0
M
là
điểm cực trị có điều kiện của
( , )
f x y
với điều kiện
( , ) 0
x y
ϕ =
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi

f
, gọi
/
/
/ /
y
x
x y
f
f
λ = − = −
ϕ ϕ
là
nhân tử Lagrange
.

Đ
ể

t
ìm

c
ự
c

t
r
ị


x y
L L L
λ
= = =

⇒
điểm dừng
0 0 0
( , )
M x y
ứng với
0
λ
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố

x y
d L M L dx L dxdy L dy
= + +

Các vi phân
,
dx dy
phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc:
/ /
0 0 0 0 0 0
2 2
( , ) ( , ) ( , ) 0 (1)
( ) ( ) 0 (2).
x y
d x y x y dx x y dy
dx dy


ϕ = ϕ + ϕ =




+ >




• Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:
 Nếu

=
thì
0
M
không là điểm cực trị.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
nhi
nhi
ề
ề
u
u
bi
bi
ế



Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
§1. Phương trình vi phân cấp 1
§2. Phương trình vi phân cấp 2
……………………………

§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1
• Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng
tổng quát
( , , ) 0
F x y y
′
=

của (*).



Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 1. Cho phương trình vi phân
0
y x
′
− =
(*).
Xét hàm số
2
2
x

x
C y
= − ⇒ = −
là nghiệm riêng của (*) ứng với
điều kiện đầu
(2) 1
y
=
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 6


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân

2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 4. Giải ptvp
2 3
( 1) ( 1)( 1) 0
x y dx x y dy
+ + − − =
.
VD 5. Giải ptvp
2
xy y y
′
+ =
thỏa điều kiện
1
(1)
2
y
=

x y
−
=
+
là đẳng cấp bậc 0,
2
4 3
( , )
5
x xy
f x y
x y
+
=
−
là đẳng cấp bậc 1,
2
( , ) 3 2
f x y x xy
= −
là đẳng cấp bậc 2.
1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

a) Hàm đẳng cấp hai biến số
• Hàm hai biến
( , )
f x y
được gọi là đẳng cấp bậc
n
nếu

• Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng:
( , ) (2).
y f x y
′
=
Trong đó,
( , )
f x y
là hàm số đẳng cấp bậc 0.
Phương pháp giải
Bước
1. Biến đổi
(2)
y
y
x
 


′
⇔ = ϕ





 

Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 6. Giải phương trình vi phân
2 2
x xy y
y
xy
− +
′
=
.
VD 7. Giải phương trình vi phân
x y
y
x y
+

=
.
N
hận xét
/ /
( , ) ( , ), ( , ) ( , )
x y
u x y P x y u x y Q x y
= =
.
1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần
• Cho hai hàm số
( , ), ( , )
P x y Q x y
và các đạo hàm riêng
của chúng liên tục trong miền mở
D
, thỏa điều kiện
/ /
, ( , )
x y
Q P x y D
= ∀ ∈
. Nếu tồn tại hàm
( , )
u x y
sao cho

( , ) ( , ) ( , )
du x y P x y dx Q x y dy

vi
vi
phân
phân
Bước
2. Lấy tích phân (3a) theo biến
x
ta được:

( , ) ( , ) ( , ) ( )
u x y P x y dx x y C y
= = ϕ +
∫
(3c).
Trong đó,
( )
C y
là hàm theo biến
y
.
Phương pháp giải
Bước
1. Từ (3) ta có
/
x
u P
=
(3a) và
/
y

2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 8. Cho phương trình vi phân:
2 2
(3 2 2 ) ( 6 3) 0
y xy x dx x xy dy
+ + + + + =
(*).
1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần.
2
)
Giải p
hương trình
(*).

VD 9. Giải ptvp
( 1) ( ) 0
y

−
∫
=
.
Bước
2. Tìm biểu thức
( )
( ) ( ).
p x dx
B x q x e dx
∫
=
∫
.
Bước
3. Nghiệm tổng quát là
( ) ( )
y A x B x C
 
= +
 
 
.
1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
( ) ( ) (4).
y p x y q x
′
+ =


• Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm
tổng quát của (4) dưới dạng:
( )
( ) .
p x dx
y C x e
−
∫
=

Nhận xét
.
( )
( )
( ) ( ). .
( )
p x dx
q x
B x q x e dx dx
A x
∫
= =
∫ ∫

VD 10. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi
tìm
nghiệm tổng quát của
2 4 ln
y
y x x

x
= −
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
VD 11. Giải phương trình vi phân
2
0
y x y
′
− =

thỏa điều kiện
9

vi
phân
phân
• Khi
0
α =
hoặc
1
α =
thì (5) là tuyến tính cấp 1.
• Khi
( ) ( ) 1
p x q x
= =
thì (5) là pt có biến phân ly.
Phương pháp giải (với α khác 0 và 1)
Bước
1. Với
0
y
≠
, ta chia hai vế cho
y
α
:
(5) ( ) ( )
y y
p x q x
y y
α α

Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Bước
2. Đặt
1
(1 )
z y z y y
−α −α
′ ′
= ⇒ = − α
, ta được:
(5) (1 ) ( ) (1 ) ( )
z p x z q x
′
⇒ + −α = − α

(
đây là
p
hương trình
tuyến tính cấp

tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Phương pháp giải

• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần:
1
( ) ( ) ( )
y f x y f x dx x C
′′ ′
= ⇒ = = ϕ +
∫1 1 2
( ) ( )
y x dx C x x C x C
⇒ = ϕ + = ψ + +
∫
.
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II
2.1.1. Phương trình khuyết y và y’
• Phương trình vi phân khuyết

VD 2. Giải ptvp
2
x
y e
′′
=
với
7 3
(0) , (0)
4 2
y y
′
= − =
.
VD 1. Giải phương trình vi phân
2
y x
′′
=
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr

=

VD 4. Giải pt vi phân
( 1) 0
1
y
y x x
x
′
′′
− − − =
−

với điều kiện
(2) 1, (2) 1
y y
′
= = −
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì

có dạng:
( , ) (3).
y f y y
′′ ′
=

VD 6. Giải phương trình vi phân
2 (1 2 ) 0
y y y
′′ ′
+ − =

với điều kiện
1
(0) 0, (0)
2
y y
′
= =
.
VD 5. Giải phương trình vi phân
2
(1 ) 2( ) 0
y y y
′′ ′
− + =
.





và nghiệm tổng quát là
1 2
1 2
.
k x k x
y C e C e
= +

Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4):

2
1 2
0 (5).
k a k a
+ + =

2.2. Ph
ươ
ng trình vi phân c
ấ
p 2 tuy
ế
n tính
v
ớ
i h
ệ
s
ố

nh
nh
vi
vi
phân
phân
 Trường hợp 2
Phương trình (5) có nghiệm kép thực
k
.
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng
1 2
,
kx kx
y e y xe
= =

và nghiệm tổng quát là
1 2
.
kx kx
y C e C xe
= +

 Trường hợp 3
Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp
k i
= α ± β
.
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:

nh
vi
vi
phân
phân
VD 7. Giải phương trình vi phân
2 3 0
y y y
′′ ′
+ − =
.
VD 8. Giải phương trình vi phân
6 9 0
y y y
′′ ′
− + =
.
VD 9. Giải phương trình vi phân
16 0
y y
′′
+ =
.
VD 10. Giải phương trình vi phân
2 7 0
y y y
′′ ′
+ + =
.
VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

C x
, ta giải hệ Wronsky:
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
C x y x C x y x
C x y x C x y x f x

′ ′

+ =


′ ′ ′ ′
 + =



2.2.2. Phương trình không thuần nhất
• Phương trình không thuần nhất có dạng:
(
)
1 2 1 2
( ), , (6).
y a y a y f x a a
′′ ′
+ + = ∈
ℝ


vi
phân
phân
VD 12. Giải phương trình vi phân
1
cos
y y
x
′′
+ =
(a).
Giải. Xét phương trình thuần nhất
0
y y
′′
+ =
(b) ta có:
2
1 0 0, 1
k k i
+ = ⇒ = ± ⇒ α = β =

1 2
cos , sin
y x y x
⇒ = =
là 2 nghiệm riêng của (b).
Nghiệm tổng quát của (a) có dạng:
1 2
( ).cos ( ).sin

Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
2
1 2
2
1 2
sin cos . ( ) sin . ( ) 0
sin cos . ( ) cos . ( ) 1
x x C x x C x
x x C x x C x


′ ′
+ =


⇒

1 1
2 2
( ) ln cos
( ) .
C x x C
C x x C


= +

⇒


= +


Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là:

(
)
(
)
1 2
ln cos cos sin
y x C x x C x
= + + +
.


Chương

) Tìm nghiệm tổng quát của
(*).

b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT
 Phương pháp cộng nghiệm
• Định lý
Nghiệm tổng quát của
phương trình không thuần nhất
(6) bằng tổng nghiệm tổng quát của
phương trình thuần
nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6).
VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
2 sin 2 4 cos 2
y y x x
′′ ′
+ = +
,
biết 1 nghiệm riêng là
cos 2
y x
= −
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 10


Chương
Chương

′′ ′
− =
lần lượt có
nghiệm riêng
1
y x
= −
,
2
2 1
cos 2 sin 2
10 10
y x x
= − −
.
 Phương pháp chồng chất nghiệm
• Định lý
Cho phương trình vi phân:
1 2 1 2
( ) ( ) (7)
y a y a y f x f x
′′ ′
+ + = +
.
Nếu
1
( )
y x
và
2

tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
 Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình
vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

Xét phương trình
1 2
( ) (6)
y a y a y f x
′′ ′
+ + =

và
1 2
0 (4).
y a y a y
′′ ′
+ + =

• Trường hợp 1: f(x) có dạng e
αx
P
n

n
).


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân

Bước 2.
Xác định
m
:

1) Nếu
α
không là nghiệm
của phương trình đặc trưng

α
=
vào (6) và đồng nhất thức
ta được nghiệm riêng cần tìm.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
V
D 16.
Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân:
3 2
2 3 ( 1)
x
y y y e x
′′ ′

k k
− − =
nên
1
m
=
.
Suy ra nghiệm riêng có dạng
3 2
( )
x
y xe Ax Bx C
= + +
.



Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi



 
.
VD 1
7
.
Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:

2 2
x x
y y y xe e
−
′′ ′
+ + = +
.


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh

1) Nếu
i
α β
±
không là
nghiệm của phương trình đặc
trưng của (4) thì
0
s
=
.
2) Nếu
i
α β
±
là nghiệm của phương trình đặc trưng
của (4) thì
1
s
=
.
Bước 1.
N
ghiệm riêng
có
dạng
:

[ ( )cos ( )sin ]
s x

ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Bước 3. Thế
[ ( )cos ( )sin ]
s x
k k
y x e R x x H x x
α
β β
= +

vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng.
VD 1
8
.
Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:

2 3 cos 3 sin
x x
y y y e x xe x
′′ ′
+ − = +
.
V

là:


Chương
Chương
2.
2.
Phương
Phương
tr
tr
ì
ì
nh
nh
vi
vi
phân
phân
Mặt khác:
0, 1 1, 0
s k
α β
= = ⇒ = =
.
Dạng nghiệm riêng của (*) là
( cos sin )
y x A x B x
= +
.

Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ
1.1. Định nghĩa
• Cho dãy số có vô hạn các số hạng
1 2
, , , ,
n
u u uBiểu thức
§1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số
§2. Chuỗi số dương
§3. Chuỗi số có dấu tùy ý
……………………………
• Tổng
n
số hạng đầu tiên
1 2

n n
S u u u
= + + +
được gọi là
tổng riêng thứ
n
của chuỗi số.



Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy

=
∑
.

Ngược lại, ta nói chuỗi số
phân kỳ
.

VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân
1
1
n
n
aq
∞
−
=
∑
với
0
a
≠
.
Giải
•
1
q
=
:
n

Vậy
1
1
n
n
aq
∞
−
=
∑
hội tụ
1
q
⇔ <
.
VD 2.
Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i s
ố

1

thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
ln 1
n
n
∞
=
 


+





 

n
n
u
→∞
≠
thì
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kỳ.
VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
4
4
1
3 2
n
n
n n
∞
=
+ +
∑
.


Chương

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 12
1.3. Tính chất
• Nếu
1 1
,
n n
n n
u v
∞ ∞
= =
∑ ∑
hội tụ thì:
1 1 1
( )
n n n n
n n n
u v u v
∞ ∞ ∞
= = =
+ = +
∑ ∑ ∑
.
• Nếu
1
n
n
u

t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
§2. CHUỖI SỐ DƯƠNG
2.1. Định nghĩa
•
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là chuỗi số dương nếu
0,
n
u n
≥ ∀
.
Khi
0,
n
u n
> ∀
thì chuỗi số là dương thực sự.

u
∞
=
∑
hội tụ.
• Nếu
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kỳ thì
1
n
n
v
∞
=
∑
phân kỳ.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý

∑
bằng cách
so sánh với
1
1
ln 1
n
n
∞
=
 


+





 
∑
.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý

v
>
với
n
đủ lớn và
lim
n
n
n
u
k
v
→∞
=
.
• Nếu
0
k
=
thì
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kỳ
1
n

k
< < +∞
thì
1 1
,
n n
n n
u v
∞ ∞
= =
∑ ∑
cùng tính chất.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ






 
∑
.
Chú ý
Chuỗi
1
1
n
n
∞
α
=
∑
hội tụ khi
1
α >
và phân kỳ khi
1
α ≤
.
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số
5
1
1
2 3

2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert
Cho chuỗi số dương
1
n
n
u
∞
=
∑
và
1
lim
n
n
n
u
D
u
+
→∞
=
.
• Nếu
1
D
<
thì chuỗi hội tụ.
• Nếu
1
D

.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
VD 6.
Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
5 ( !)
(2 )!
n
n
n

<
thì chuỗi hội tụ.
• Nếu
1
C
>
thì chuỗi phân kỳ.
• Nếu
1
C
=
thì chưa thể kết luận.

VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1
2
n
n
∞
=
 








ỗ
ỗ
i
i
2.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy
Cho hàm số
( )
f x
liên tục, không âm và giảm trên n
ửa
khoảng
[ ; ),
k k
+∞ ∈
ℕ
. Khi đó:
( ) ( )
n k
k
f n f x dx
+∞
∞
=
⇔
∑
∫
hoäi tuï hoäi tuï.

VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số
3

ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
§3. CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý
VD 1.
1
( 1)
n
n
n
∞
=
−
∑
,
1
1
1
2 1
( 1)
2
n
n

b) Định lý Leibnitz
Nếu dãy
{ }
n n
u
∈
ℕ
giảm nghiêm ngặt và
0
n
u
→
thì chuỗi1
( 1)
n
n
n
u
∞
=
−
∑
hội tụ. Khi đó, ta gọi là chuỗi Leibnitz.


Chương
Chương

2 1
( 1)
2
n
n
n
n
∞
+
=
+
−
∑
.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu

ℝ
được gọi là chuỗi có dấu tùy ý.
•
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là
hội tụ tuyệt đối
nếu
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ.
•
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là

∑
là bán hội tụ.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
b) Định lý
Nếu
1
n
n
u
∞
=

+
∞
=
− + −
∑
.


Chương
Chương
3.
3.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 14

ệ hàm với
nhau:
( )
H H V
=
.

Tỉ số
( )
H V
V
được gọi là hàm trung bình của
H
.

Ký hiệu là
( )
AH V
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t

Q
sản phẩm là:
3 2
1
10 1000 70
3
C Q Q Q
= − + +
(đơn vị tiền tệ).

Biên tế của hàm
( )
H V
theo biến
V
tại
0
V
là đại lượng

0
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
V V
H V H V
H V
V V

MR Q R Q
′
=
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á

Doanh thu (Revenue)
Π

Lợi nhuận (Profit)
C

Chi phí (Cost)
D

Cầu (Demand)
S

Cung (Supply)
T

Thuế (Tax)



Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s

khoảng bằng nhau thì lãi suất mỗi khoảng là
(%)
s
n
.
• Giả sử một người gửi số tiền
0
P
vào một ngân hàng với lãi suất
(%)
s
trong thời gian
t
. Sau thời gian
t
thì người đó có tổng số tiền là:
(
)
0 0 0
1 .
P P sP P s

ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
•
Người đó lại gửi tiếp số tiền có được
vào ngân hàng

t

1 .
n
s
P
n
 


+





 

• Nếu tăng số lần rút và gửi lên vô h
ạn lần thì sau khoảng thời gian
t
, tổng số tiền người đó có, được
tính theo
công thức lãi kép liên tục là:
0
.
s
P P e
=

Kinh
t
t
ế
ế
VD 1. Đầu tháng 1 năm 2010, một người gửi 100 triệu
đồng ở 1 ngân hàng với lãi suất 8% trên một năm và
cuối năm 2010 tới nhận. Tính tổng số tiền cả vốn lẫn lãi
người đó nhận được trong các trường hợp sau:
1) Đầu năm gửi đến cuối năm đến nhận;
2) Mỗi tháng đến rút tiền và gửi lại;
3) Mỗi ngày đến rút tiền và gửi lại;
4
) Lãi kép liên tục.

Giải

1) Lãi suất tiền gửi là
8%
s
=
nên tổng số tiền người đó
nhận được vào cuối năm là:
(
)
0
1 100(1 8%) 108
P P s
= + = + =
(triệu đồng).

t
t
ế
ế
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cấp C2 Cao đẳng 15

1.2. Bài toán đánh thuế doanh thu

Giả một doanh nghiệp sản xuất độc quyền
1 loại sản
phẩm. Gọi
Q
là sản lượng và
P
là giá bán 1 đơn vị sản
phẩm. Biết hàm cầu
của thị trường về loại sản phẩm
trên trong 1 đơn vị thời gian là
( ) ( )
D
Q P D P
=
,
tổng chi
phí là
( )
C C Q

4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
• Bài toán 2

T Qt
=
,

doanh thu của doanh nghiệp là
( )
R R Q PQ
= =
.
•
Lợi nhuận của doanh nghiệp thu được là:
R C T
Π = − −
(doanh thu “–” chi phí “–” thuế).


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố

lớn nhất (Bài toán 1).
•
Từ
0
( )
Q t
tìm được, ta tìm
t
để hàm
T
đạt giá trị lớn
nhất (Bài toán 2).
• Giải

0
( )
Q t Q
≥
hay
0
( )
Q t Q
≤
với
Q
là mức sản lượng
tối thiểu hay tối đa (Bài toán 3).


Chương

ế

VD 2.
Một doanh nghiệp (DN) sản xuất độc quyền 1 loại
sản phẩm. Biết hàm cầu của loại sản phẩm này và
và
hàm tổng chi phí sản xuất lần lượt là
( ) 800
D
Q P P
= −

và
2
200 100
C Q Q
= + +
.
1) Nếu biết
mức thuế doanh thu
định trên một đơn vị sản
phẩm là
t
thì DN
sẽ ấn định sản lượng như thế nào để
lợi nhuận sau thuế là lớn nhất ?
2) Khi
DN đạt lợi nhuận sau thuế lớn nhất, hãy tìm
mức
thuế doanh thu

i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế
§2. BÀI TOÁN TÌM MỨC SẢN LƯỢNG ĐỂ

DOANH NGHIỆP ĐẠT LỢI NHUẬN TỐI ĐA
(Cực đại hóa lợi nhuận theo sản lượng)

2.1. Sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo
a) Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm Trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo thì
giá bán do thị
trường quyết định
và không phụ thuộc vào mức sản
lượng của DN. Khi đó, tổng doanh thu là
R PQ
=

à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

VD 1
.
Một DN sản xuất một loại sản phẩm trong điều
kiện cạnh tranh hoàn hảo. Biết giá của sản phẩm trên thị
trường là
130
P
=

(đơn vị tiền) và tổng chi phí để sản
xuất ra
Q

( 1)

là
1 2
( , )
C C Q Q
=
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to

= +
và
R C
Π = −
.

Bước 2. Tìm mức sản lượng dương
*
1
Q
,
*
2
Q
để hàm
lợi
nhuận
Π
đạt cực đại.

VD
2
.
Một DN sản xuất hai loại sản phẩm
trong điều
kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá bán hai sản phẩm này trên
thị trường là
1
450
P

ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

Hãy tìm mức sản lượng của mỗi sản phẩm mà
DN cần
sản xuất để có lợi nhuận tối đa ?

2.2. Sản xuất trong điều kiện độc quyền

a) Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm
•
Trong điều kiện sản xuất độc quyền thì giá
P



Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh

D
Q P
= −
và
hàm tổng chi phí để đạt mức sản lượng
Q
là:
3 2
0,25 30,625 1528,5 20000
C Q Q Q
= − + +
.

Tìm mức sản lượng và giá bán để DN có
Π
cực đại ?


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s

Q
. Biết hàm cầu của thị trường về hai
loại
sản phẩm này là
1
1 1 2
( , )
D
Q D P P
=
,
2
2 1 2
( , )
D
Q D P P
=

và
hàm tổng chi phí là
1 2
( , )
C C Q Q
=
.

Tìm mức sản lượng của hai loại sản phẩm trên mà
DN
cần sản xuất để có lợi nhuận tối đa ?
 Cách giải

2 2 1 2
( , )
P P Q Q
=
.



Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to

R C
Π = −
, ta tìm các giá trị dương
*
1
Q

và
*
2
Q
để
Π
đạt cực đại.

VD
4
.
M
ột doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản
phẩm. Biết hàm cầu về hai loại sản phẩm này là:
1
1 2
1200 2
D
Q P P
= − +
,
2
1 2

ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

Chú ý

Trường hợp DN sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm
nhưng được tiêu thụ ở 2 thị trường tách biệt
. Biết hàm
cầu của từng thị trường là
1
1 1
( )

= −
,
2
2
350
D
Q P
= −và hàm tổng chi phí là
2
( ) 20 30
C C Q Q Q
= = + +
.
Tìm mức
sản lượng
và giá bán tương ứng trên mỗi thị
trường để DN có lợi nhuận tối đa ?


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
3.1. Bài toán người tiêu dùng
• Giả sử một người tiêu dùng dự định dùng số tiền là
B

để mua sắm 2 loại hàng có giá là
1 2
,
P P
với
số lượng
hàng sẽ mua lần lượt là
x
và
y
.
•
Người tiêu dùng sẽ nhận được lợi ích từ số hàng đã
mua. Lợi ích này là một hà
m phụ thuộc vào lượng hàng
người đó mua và được gọi là hàm lợi ích
hay hữu dụng
(utility function), ký hiệu là
( , )
U U x y
=
.
•
T

à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

VD 1.
Một người tiêu dùng dùng số tiền là
178
B
=
để
mua sắm 2 loại hàng có giá là
1 2
4, 6
P P
= =
.

Hàm lợi ích cho 2 loại hàng là

L x y
λ
 
 
′
= + + λ = =
 
 
 
′
= + + λ = ⇔ =
 
 
 
′
= + − = λ = −
 
 
 
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ

x y
L L L d L dxdy
′′ ′′ ′′
= = = ⇒ =
.
Điều kiện:
( , ) 4 6
d x y dx dy
ϕ = +

(22; 15) 0
d
⇒ ϕ =

4 6 0
dx dy
⇔ + =2 3 0
dx dy
⇔ = − ≠2 2
(22; 15) 3 0
d L dy
⇒ = − <
à
à
i
i
to
to
á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế

3.2. Bà
i toán tìm đầu vào
để
chi phí sản xuất
nhỏ
nhất

• Giả sử một DN sản xuất
một loại sản phẩm
cần 2 đầu
vào với đơn giá tương ứng là
1 2
,

tìm điểm cực tiểu của
hàm
1 2
( , )
C x y P x P y
= +
với điều kiện
( , )
Q x y Q
=
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à

P
=
.
Biết
hàm sản xuất
( , ) 10
Q x y xy
=
. Tìm số lượng đầu vào
để DN sản xuất 200 sản phẩm với tổng chi phí bé nhất ?Giải. Hàm sản xuất:
10 200
xy
=

400 ( , ) 400
xy x y xy
⇒ = ⇒ ϕ = −
.
Hàm chi phí:
1 2
( , ) 10 40
C x y P x P y x y
= + = +
.
10 40 ( 400)
L x y xy
⇒ = + + λ −

= − = λ = −
 
 
 
.


Chương
Chương
4.
4.
M
M
ộ
ộ
t
t
s
s
ố
ố
b
b
à
à
i
i
to
to
á

ϕ = +

(
)
40; 10 0
d
⇒ ϕ =

4 0
dx dy
⇔ = − ≠(
)
2 2
40; 10 8 0
d L dy
⇒ = >(
)
40; 10
⇒
là điểm cực tiểu.
Vậy
40
x
=

á
á
n
n
Kinh
Kinh
t
t
ế
ế