CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1.Công thức cộng:
( )
1 .
tga tgb
tg a b
tga tgb
+
+ =
−
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
cos(a-b) = cosacosb +
sinasinb
sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa
sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa
( )
1 .
tga tgb
tg a b
tga tgb
−
− =
+
Nhớ :
cos thời cos cos, sin sin
sin thời sin cos, cos sin là cùng
tg tổng thì tổng tg ta
phép chia của một trừ thừa tg ra
Cụ thể : VT và VP ngược dấu
VT và VP cùng dấu
( )

P
Q
sin
K
α
N
E
F
β
Vận dụng kiến thức đã học :
( )
. . .cos ;u v u v u v=
r r r r r r
. .u p i q j= +
r r r
1i j= =
r r
( )
; 2ON OM k
α β π
= − +
uuur uuuur
j
r
i
r
0
1
x
y

( )
. . .cos ;OM ON OM ON OM ON=
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
( )
cos cos sin sin 1. 1.cos 2k
α β α β α β π
+ = − +
 
 
cos cos sin sin
α β α β
+ =
2 2 2 2
cos sin . cos sin .
α α β β
+ +
( )
cos 2k
α β π
− +
( )
cos cos sin sin cos
α β α β α β
+ = −
( )
cos
α β
+ =
( )
cos

α β β α
α β α β
α β α β
α β α β
+
=
−
sin sin
cos cos
sin sin
1 .
cos cos
α β
α β
α β
α β
+
=
−
1
tg tg
tg tg
α β
α β
+
=
−
( )
1
tg tg

Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng
nghịch đảo của tg
Ví dụ : Tính cos15
0
và cotg
2
15
0
0
cos15 =
( )
0 0
cos 45 30− =
0 0 0 0
cos45 cos30 sin 45 sin 30+
2 0 2 0
sin 15 1 cos 15= −
( )
2
4 2 2
6 2 8 4 2 2 2
1 1 1
4 16 4 4
− +
 
+ + +
= − = − = − =
 ÷
 ÷
 

sin
8
π
2 2
cos cos sin
4 8 8
π π π
= −
2 2
1 sin sin
8 8
π π
 
= − −
 ÷
 
2
cos 1 2sin
4 8
π π
= −
2
1 cos
2 2
4
sin
8 2 4
π
π
−

2
α
= 2cos
2
α – 1
= 1 – 2sin
2
α
2
2
2
1
tg
tg
tg
α
α
α
=
−
Nhớ :
sin cặp thì cặp sin cô
cos hai lấy hiệu bình cô sin bình
thêm hai cos bình trừ duy nhất
duy nhất trừ đi hai sin bình
tg nhị là nhị tg anh
phép chia của một trừ bình tg thôi
Chứng minh : Vận dụng các công thức sin(α+β), cos(α+β)
và tg(α+β). Cụ thể :
cos 2

α α α
α
α α α
+
= =
− −
a. Hệ quả 1:
2
2
2
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
1 cos2
tg
α
α
α
α
α
α
α
+
=
−
=

t
α
α
α
=
+
−
=
+
=
−
Chứng minh :
Chứng minh :
Vận dụng các công thức nhân
đôi ta được hệ qủa một.
b. Hệ quả 2:
cos bình không biết bằng chi ?
mẫu hai, tử tổng một và cos hai
Nhớ :
sin 2sin cos
2 2
α α
α
= =
2 2
2sin cos
2 2
sin cos
2 2
α α

2
sin
1
2
tg
tg
α
α
α
=
+
2
2
sin
1
t
t
α
=
+
2
2
1
2
cos
1
2
tg
tg
α

+
2
2
1
cos
1
t
t
α
−
=
+
Ta có :
Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau :
2
5 cos
2 7sin
x
M
x
−
=
+
1
2 2
x
tg =
( )
2
2

 
2
4
4
58
5
4
95
2 7.
5
M
 
+
 ÷
 
= =
+
Giải
Áp dụng hệ qủa 2 : đặt
1
2 2
x
t tg= =
3. Công thức biến đổi :
a. Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác
thành tổng :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1

=
1 2 2
cos cos
2 5 5 5 5
M
π π π π
 
   
= + + −
 ÷  ÷
 
   
 
1 3 1 3
cos cos cos cos
2 5 5 2 5 5
M
π π π π
 
   
= + − = +
 ÷
 
 
   
 
3
2sin cos cos
1
5 5 5

 
 
 
1 4 2 2
sin sin sin
5 5 5
4sin
5
M
π π π
π
 
= − +
 ÷
 
4
sin
sin
5
5
4sin 4sin
5 5
π
π
π
π π
 
−
 ÷
 

+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
( )
( )
sin
cos cos
sin
cos cos
tg tg
tg tg
α β
α β
α β
α β
α β
α β
+
+ =
−
− =
Nhớ :
cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos
cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin
sin ‘+’ sin bằng 2 sin cos

   
+ + − =
 ÷  ÷
   
sin sin 2sin cos
2 2
α β α β
α β
+ −
+ =
Áp dụng tương tự với các hàm khác
Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau
M = sinx – sin2x + sin3x
M = sin3x + sinx – sin2x – sin2x
3 3
2sin cos
2 2
x x x x+ −
=
Giải
2 2
2cos 2cos sin
2 2
x x x x
M x
+ −
 
=
 ÷
 

   
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
i.
ii.
iii.
sin3α = 3sinα – 4sin
3
α
iv. cos3α = 4cos
3
α – 3cosα
Vận dụng công thức :
( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
α β α β α β
= + + −
 
 
Với α = 75
0
, β = 15

α + sinα(1 – 2sin
2
α)
= 2sinα(1 – sin
2
α) + sinα(1 – 2sin
2
α)
= 2sinα – 2sin
3
α + sinα – 2sin
3
α
sin3α = 3sinα – 4sin
3
α
Tương tự cho cos3α
VT =
2. 2
2
( )
sin cos
α α
+
2=
2 2
sin cos
2 2
α α
 

2 cos
4
π
α
 
= −
 ÷
 
Tương tự cho sinα - cosα
i.
ii.
iii.
[
iv.
Bài tập củng cố :
1. Tính: A = sin10
0
sin30
0
sin50
0
sin70
0
A.cos10
0
= cos10
0
sin10
0
cos20

0
0 0 0
1
.cos10 sin 40 cos40
4
A =
0 0
1
.cos10 sin80
8
A =
0 0 0
1
.cos10 sin(90 80 )
8
A = −
0 0
1
.cos10 cos10
8
A =
1
8
A =
Giải :
2. Tính : B = cos20
0
+ cos40
0
+ … + cos160

)] + [cos40
0
+ cos(180
0
- 40
0
)] + [cos60
0
+
cos(180
0
- 60
0
)] + [cos80
0
+ cos(180
0
- 80
0
)] +cos180
0

B = (cos20
0
– cos20
0
) + (cos40
0
– cos40
0

. .tgA tgB tgC tgC tgAtgB+ = − +
. .tgA tgB tgC tgAtgB tgC+ + =
1 .
tgA tgB
tgC
tgAtgB
+
= −
−
(đpcm)
4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi:
sin
2cos
sin
B
A
C
=
sin 2sin .cosB C A=
( ) ( )
1
2. sin sin
2
C A C A= + + −
 
 
Mà : A + B + C = π
C + A = π – B
( ) ( )
sin sin sinC A B B