SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌC CHUYÊN VĨNH PHÚC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG TƯ DUY GIẢI TOÁN
CHO HỌC SINH THÔNG QUA
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Người thực hiện : Đào Chí Thanh
Tổ : Toán Tin
Mã : 55
Số điện thoại : 0985 852 684
Email : thanhtoan@vinhphuc,edu.vn Năm 2012- 2013

ebooktoan.com
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
2MỤC LỤC

Trang Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
3MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong giai đoạn hiện nay, việc cấp bách để tránh đất nước có nguy cơ tụt hậu
về kinh tế, khoa học kỹ thuật là phải nâng cao chất lượng giáo dục, thay đổi căn
bản phương pháp dạy học.Học sinh phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động tư
duy sáng tạo, bồi dưỡng phương pháp tự học học sinh.
Bên cạnh đó, hàm số lượng giác và phương trình lương giác là khái niệm
khó, trừu tượng đối với học sinh THPT, phân phối thời gian giảng dạy và học tập
chiếm thời gian rất ít vì vậy để giải các bài tập lượng giác đối với nhiều học sinh là
khá khó khăn.
Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy và học của học sinh đối với môn toán,
giúp các em thấy được các mối liên quan giữa các phần được học trong bộ môn
toán với nhau tôi đã tổng hợp , phân loại một số bài toán đại số có thể giải bằng các
kiến thức lượng giác nhằm giúp các em có cách nhìn mới , phướng pháp mới để
giải một số bài tập đại số. Mặt khác nhằm giúp các em ôn luyện các kiến thức đã
học ở chương hàm số và phương trình lượng giác
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của bản sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu một số bài toán đại
số được giải bằng phương pháp khác nhằm góp phần rèn luyện yếu tố tư duy sáng
tạo cho học sinh .
3. Giả thuyết khoa học

Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
5SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
Dạng 1: Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản
Ta đã biết một số hệ thức lượng cơ bản học sinh đã dược học từ lớp 9, song
vận dụng các kiến thức này còn hạn chế. Để thấy được vai trò của các hệ thức cơ
bản của lương giác trong toán học tôi đã phân loại ra một số bài tập sau.
Các hệ thức cơ bản và hệ quả:
1/
2 2
sin cos 1   

2/
sin
tg
cos

 


Sau đây là một số bài tập minh họa
Bài 1 :
Cho a
2
+ b
2
= c
2
+d
2
= 1 Chúng minh rằng :
1
ac bd
 

Bài giải :
Do a
2
+ b
2
= 1 nên đặt sin

= a; cos

= b;
Do c
2
+ d
2



2 2
3 3 3
x x y y
    
(1).Tính x + y
Bài giải
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
6

Từ (1) chia hai vế cho 3 ta có

2 2
3 3
1
3
3 3 3
x x y y
  
 
  
  
  
  
Từ biểu thức đã cho ta thấy x>0,y>0
Với a
0;
2

2 2
2
1 tan 2 tan
3 3
3
1 cot 2 cot
3 3
3
x x x
a a
y y y
a a
   
   

Hay
2
2
2
2
tan 1
1 tan 2 tan 2 tan cot (4)
tan
3 3
cot 1
1 cot 2 cot 2 cot tan (5)
cot
3 3
x x a
a a a a

72 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
4 tan cot 4
(tan cot ) tan cot tan cot 2
a a
a a a a a a
      
  

2 2
2 2
1
tan cot 2 2 (2)
tan cot 2
a a
a a
    
 

Ta thấy (2) đúng theo bất đẳng thức Cauchy.
Bài 4: Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) (1)
Chứng minh rằng :
2 2 2
3
4
x y z

x
a b x x a b x
x
a b
y
a b y y a b y
y
a b
z
b z z b z
z b

     


     


     


Vậy Bất đẳng thức (2) tương đương:
2
2 2
1 1 1 3
(1 tan ) 4
(1 tan . cot ) (1 cot . cot )
b
a b a b
  


Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
8

Ta chứng minh :
2
2 2 2
2
cot cot 1 3
4(cot cot 1) 3(1 cot ) (1 cot ) 0
(1 cot ) 4
b b
b b b b
b
 
        

Đúng
Bài 5 : Cho : a
2
+ b
2
– 2a – 4b+ 4 = 0 (*)
Chứng minh rằng :

2 2
2 3 2(1 2 3) (4 2 3) 4 3 3 2
A a b ab a b
         

 
 
Thay vào :
2 2 2
0
1 cos2 1
3 1 3sin sin .cos 3 sin 2
2 2
3 1 3
( 3cos2 sin 2 ) cos(30 2 )
2 2 2
a
x x x a a a a
a a a

     
     

Ta có - 1

cos(30
0
+ 2a )

1 nên
2 2
3 2 3 2
3 1
2 2
x x x

(đpcm) Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
9

Bài 8: Chứng minh rằng :

2
1 3
2 ( ; 1)
a
A a a
a
 
   

Bài giải : Đặt
1
cos
a
x

(
0 ;
2
x x



x
   



Bài giải : Đặt x = tan a (
2 2
a
 
  
) Khi đó
3
3 3
2 2 3
3
3tan tan
4 3tan .cos 4.tan .cos
1 tan (1 tan )
3sin 4sin sin3 1
a a
S a a a a
a a
a a a
   
 
   

Bài10 : Chứng minh rằng :
2 2
( )(1 ) 1

a b ab x y x y
a b x y
x y x y
x y
x y
x y x y x y x y
   

   
 

      
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
10

Một số bài tập tự luyện
Bài 1/Chứng minh rằng :

2 2
1 1
) 1 ( , 1; 1)
.
) ( )( ) ( ; ; ; 0)
a b
a a b a b
a b

   
   

Bài 4 :Chứng minh rằng:
2 2
3 2 3 2
3x x 1 x
2 2
 
   
( 1

x

-1)
Bài 5:
Chứng minh rằng:
   
 
3 3
2 2
1 1 a 1 a 1 a 2 2 2 2a
       
(1

a

-1
Bài 6 : Chứng minh rằng:
2

Bài 10 Cho x;y thỏa mãn




2 2
4 4 4
x x y y
    
.Tính x + y
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
11

Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung
Một số bài toán sử dụng các công thức cộng cung và các công thức biến đổi khác.
Ta nêu lại các công thức đã học sau :
1 Công thức cộng - trừ:
1/
 
sin a b sin a.cos b sin b.cos a  

2/
 

cot g a b
cotga cot gb

 


 
cot ga cot gb 1
8 / cot g a b
cot ga cot gb

 


2. Công thức góc nhân đôi:
1/
   
2 2
sin 2a 2 sin a.cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a
      

2/
2 2 2 2
cos 2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a     

3/
2
2tga
tg2a
1 tg a

cot g a 3 cot ga
cot g3a
3 cot g a 1




4. Công thức hạ bậc hai:
1/
2
2
2
1 cos 2a tg a
sin a
2
1 tg a

 

2/
2
2
2
1 cos2a cotg a
cos a
2
1 cot g a

 


cos a 3 cos a cos 3a
4
 

6. Công thức biểu diễn
sin x, cos x, tgx
qua
x
t tan
2

:
1/
2
2t
sin x
1 t


2/
2
2
1 t
cos x
1 t




3/

 
   
 
 

3/
   
1
sin a.cos b sin a b sin a b
2
 
   
 
 

8. Công thức biến đổi tổng thành tích:
1/
a b a b
cos a cos b 2 cos .cos
2 2
 
 

2/
a b a b
cos a cos b 2 sin .sin
2 2
 
  


Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
13

Bài giải :Từ giả thiết x+ y + z = xyz và biểu thức
3
2
3
1 3
x x
x


ta thấy nó tương
tự như công thức nhân ba, nên ta đặt x = tan a, y = tan b; z = tan c
với a; b;c
; \
2 2 6
  
   
  
 
 
   
thay vao giả thiết ta có
tana. + tan b + tan c =tan a.tan b.tan c
Theo kết quả đã biết thì a + b + c = k

(k nguyên)
Lại có :
3 3

z z c c
c
z c
 
 
 

Vì :3a +3 b +3 c = 3k

nên tan 3a+ tan 3b +tan 3c = tan3a.tan3b.tan3c
Bài 2 : Chứng minh rằng :
 
2 2
1 ( )(1 ) 1
: ,
2 (1 )(1 ) 2
x y xy
x y
x y
 
   
 

Bài giải : Đặt x=tan a;y= tanb (
;
2 2
a b
 
  
) Ta có

 

Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
14

Bài3: Cho a,b > 0 Chứng minh rằng :
2 2
1
1
1 1
ab
a b


 

Bài giải : Đặt a=tan x;b= tany (
;
2 2
x y
 
  
) Ta có

xy zy xz xy zy xz
     
  
     

Bài 2 : Cho x+ y + z = xyz . Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4
x y z y x z z y x xyz
        

Bài 3 : Cho xy +yz + xz = 1 Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2
4
1 1 1 (1 )(1 )(1 )
x y z xyz
x y z x y z
  
     

Bài 4 : Cho x; y; z là ba số thực bất kỳ .Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y y z z x
x y z y x z
  
 

0 ;
2 2 2
A B

 
sao cho a =
tan
2
A
; b =
tan
2
B

Từ giả thiết:Đặt
0 ( )
2 2 2 2 2
C A B
 
    
thì 0< A,B.C < 180
0
và A+ B +C = 180
0

Nên tồn tại ∆ ABC có các góc thỏa mãn a =
tan
2
A
; b =

2
B
; c =
tan
2
C
. Ta c/m ∆ ABC nhọn hay cosA.cosB.cosC > 0
Ta có

 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
. . 0 (1 )(1 )(1 ) 0
1 1 1
1 ( ) ( ) 0
2 : 1
a b c
a b c
a b c
a b c ab bc ca abc
abc a b c do ab bc ca
  
      
  
        
       

Kết quả 3 : Trong ∆ ABC có a =
tan

tan
2
B
;
1
c
=
tan
2
C

C/m: Từ ab + bc + ca = abc ta có
1 1 1
1
ab bc ca
  
theo kết quả 1 ta có đpcm
Kết quả 5 : Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc;
1 +ab+bc +ca < 2abc. Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn
1
a
=
tan
2
A
;
1
b
=
tan


   
 
 

Nhờ các kết quả này ta có một số đẳng thức; bất đẳng thức đại số được giải bởi các
bất đẳng thức; đẳng thức lượng giác.
Bài1: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 :
Chứng minh rằng:

2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 4
1
1 1 1
(1 ).(1 ).(1 )
a b c abc
a b c
a b c
  
   
  
  

Theo đẳng thức :
cos cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
A B C   

1 1 1
y z x z y x
S x y z
x y z
     
  
  

Bài giải :
Từ giả thiết xy +yz + zx = 1 ;x, y, z > 0 ta thấy biểu thức trên tương tự như
đẳng thức trong ∆ ABC :
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
  

Vì vậy đặt
tan ; tan ; tan
2 2 2
A B C
x y z  
thì ta có

2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
1
1 1 1
y z x z y x
S x y z

  

Ta cần chứng minh :
3 3
sin sin sin
2
A B C  

Với
; 0 ; )A B A B   
Ta có :
sin sin 2sin .cos 2sin . ( 0 cos 1)
2 2 2 2
A B A B A B A B
A B Do
   
    

Vậy
2
3 3
sin sin sin sin 2sin 2sin 4sin 4sin
3 2 2 2 3
C A B C
A B
A B C
 
   
  
      

 


Bài 6: Cho a;b c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 .Cmr :

2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a b c a b c
a b c
a b c
  
    
  
  

Bài giải :
Với a;b c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 thì tồn tại ∆ ABC có

1
a
=
tan
2
A
;
1

Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
3 3
1 1 1
a b c
a b b
  
  

Bài giải :
Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1; abc +a+b +c < 2
Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn a =
tan
2
A
; b =
tan
2
B
;
c =
tan
2
C
Nên tan A =
2
2
1
a

a b c
a b c
     
     

     
     
  
     

Bài 2:

2 2 2
2 2 2
1/ , , 0 1.
2 3. . . 1 ( _1999)
2/ , , 0 1 4 .
1 1 1
3
1 1 1
3/ , , 1 2.
1 1 1
Cho a b c sao cho a b c Cmr
a b c abc Poland
Cho a b c sao cho a b c abcCmr
ab cb ac
Cho x y z sao cho Cmr
x y z
x y z x y z
   

3 2
4 3 1 : 1
x x x Dk x
   

Bài giải : Đặt
 
cos 0;
x t t

 
Ta có phương trình : 4.cos
3
t – cost = sin t
hay
8
3 2
3
2
cos3 cos
2 4
3 2
5
2
8
t
t t k
t t t
t t k
t


Vậy phương trình có nghiệm:
5 3
cos ;cos ;cos
8 8 4
  
 
 
 

Bài 2 : Giải phương trình :


2 2
1 1 1 2 1
x x x
    

Bài giải
Ta có : Đk
1
x

theo đó ta đặt :
sin ;
2 2
x t t
 
 
  

 









Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1; x = ½
Bài3 : Giải hệ sau :
2
2
1
1 1
:
1
1 3
x
x y
DK
y
y x

 
  
 
 


ta có hệ:
2sin .cos 1
sin sin 1
2 2
cos cos 3
2cos .cos 3
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
 



 

 

 
 
 







Ta thấy

;
2 2
3
cos
6 2
x
y



 

 


 

 
 

 



Vậy (x;y )=
1 3
;
2 2
 
 


 


khi đó từ hệ ta có phương trình sau:
  
6 6
sin cos 1 2sin 2 sin cos 2sin 2 .sin 2sin 2 .cos
2 2
13
2
6 5
6 3
sin 3 cos3 cos 3 cos
7 2
2 4 6
36 3
k
k
        
 

 
  
 

       

  



) với
7 31 55 11 35 59
; ; ; ; ;
6 6 6 6 6 6
     

 


 

 

Bài 5 :
Giải hệ phương trình sau :
2
3 2
2 (1 )
3 (1 3 )
y x y
x x y x

 


  


(HSG _ Quảng Bình)




Khi đó ta đặt
tan ( ; )
2 2
y
 
 
 
  
 
 

Từ phương trình (1) ta có :
2
2 tan
tan 2
1 tan
x x



  


Từ phương trình (2) ta có :
3
2
3tan 2 tan 2

      
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
23

Một số bài tập tự luyện
Bài 1: Giải phương trình sau :

2 4 2
2
2
1/ 8 (2 1)(8 8 1) 1
2 / 2 2
1
2
3 / 1 1
3
x x x x
x
x
x

x
c x
x
x x
d x
x
e x
f x x x
  
   
 

 
 

 
   

Bài3: Giải hệ sau :

3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x

    



 

Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
24

PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT
1.Kết luận:
Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tôi rút
ra được một số kết quả sau:
Đã hình thành phương pháp tư duy,suy luận toán học cho học sinh THPH.Bên
cạnh đó sáng kiến này cũng giúp cho giáo viên, học sinh luyện tập kỹ năng giải các
bài toán đại số và các phép biến đổi lượng giác, thúc đẩy quá trình giảng dạy và học
tập môn Toán được tốt hơn.
 Giáo viên:
Tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích
cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn học.
Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn và
người học thấy được ý nghĩa của môn học.
Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri của HS,
giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong tình
huống đa dạng
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng
giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính