Phần 1: GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM.
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC:
1).Sự đơn điệu của hàm số:
* Định nghĩa:
 
   =

( ) ( ) ( )
     
           ⇔ ∀ ∈ < ⇒ <
 
   =

( ) ( ) ( )
     
           ⇔ ∀ ∈ < ⇒ >
* Định lí:
 
   =

⇔

′
≥

∀ ∈

 
   =


I J1=KL87%L
•
   + → −
$

5)<+
•
   − → +
$

5)<) 
→
A67%C4D1%05 6<;

b) Dấu hiệu 2 
•


 

  
 
 
′
=


⇒
 
′′


′

>./8)


+@+1M1N0G$8
>.:

′′

>.:
 

 
′′
DO 3 )05 6


5)<+&<) 
Chú ý: $

5)<;
   =
⇒

   
′
=



    
    
∀ ∈ ≥


⇔

∃ ∈ =


4).Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) Tiệm cận đứng:


5
 
  
±
→
= ±∞ ⇒ =
5364;
./8)


53;^ =0G53;_

 ⇒ =
5364;
b) Tiệm cận ngang:

  ≤
6
( )
 
@36
 V 6
( )
  >
6
( )
 
0G@36
5 ). Khảo sát hàm số:
 ./67$8;
 .:+1&b/3;7=2/&b":8;+83
DL/=[
 ./8K++DG<8K+DG<D/36 @
 A67%
 ./)N3D:$4;
 cd
Chú ý:
  !"@a$453;7=2/

′′
=
N3 
@<+D<) /a$45 );)<+<) 
  !#$6e 5e$4
 %&61)=f365a$4
II. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:


⇔

∆ ≤

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của một hàm số:OH &h1NH &h
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị tại


:
X=2787
>./?
>.:
( )

  
′ ′
⇒

>A675 6+<<+
( )
 
  
′
⇒ =
→%/
>cKL8DL/=[OH &h1NH &h0)5+$J@i
F 03F0G

Dạng 4: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu:
X=2787
>./?
>.:

′

>.:

′
∆

>B4


′
∆ >
DI 5-08 0H 3@
⇒

5 G5 G@B9B.
GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ
   =
TRÊN D :
Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của một hàm số trên khoảng
( )
 
:<3= 
 A67%
 V %@< &5

0G$8
 .:
     

     
với
  

  ∈

→
1888
→
05 6
Cách 2:
 A67%kl
→
05 6
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị:
a)Bài toán 1:./1);=f
( )



( )
  =
D
( )


  
       
′
− = −
a)Tại
  
    

b)n3@k;7 &_e

 )  
′
=
/$

→
/&


Chú ý:
q q
* 
*  ) )⇔ =
 
* 
*  ) )⊥ ⇔ = −
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:./801%23 ;8



( ) ( )
  −

( )
 +
( )
+ +∞

( )

( ) ( )
  −∞ +∞

( ) ( )
  −∞ +∞
( ) ( )
  
Bài 2:B4&"

s −
01%
( )
m
D
01%
( )
m−

Bài 3:9)


=
−
pJ8Javw01x$Oyp ,&-.
r
m
 ≤ −
Bài 4:9)
m  
m       = − + − +
+<) +
 =

,&-.
 =
Bài 5: 9)
m 
m m m r    = − + + +

PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPrPPPPPPP
,G@< ,&-.≥
B@<+D<)  ,&-.z
Bài 6:9)

r

  


− +
=

 m   = + −
Ja1+



 
−
 
 
,&-.

k l

 r  
−
= =


k l

   
−
= = −


t r  = − + −
,&-.
k l
    t  
−

= = =

r


 

= − + −
+
1+
[ ]
−

J
5 


=
1+

+
 
 
,&-.
( )

k l

+
   +

−



m
r
 


+
=
−


m
r m


 
−
=
− +
J


m



+

m
m      = − −
 ,%18<DDdB;
 c7=2/7 &;B+
( )
 r
2
 − −
 ,&-.
s r = +

m c  7=2  /  7   &  ;  B    7   &  1  1  DK  =f  ~
r s    *= +
 ,&  -.
r t r tu   = + = −

r c  7=2  /  7   &  ;  B    7   &  D G  @  DK  =f  ~

s  •
m
  *= −
 ,&-.
m  = − −

t c7=2/7 &;B+1);DKe 
u ?<D1B35 6J13;7=2/
m
m u m   − + − =

Bài 12: B1


r.:3:/7~K+'Be•$D=f~
  = =

,&-.
m
r

3 =

Bài 13B1
m
m     = − −
,%18<DDdB;
9)Bh=f~
  − − =
+)7a3
,&-.
m > −

m.:3:/7~K+'Be•$D=f~
  = =

,&-.
s
r

3 =

r?<D1B35 6J103;7=2/

,&-.
 )− < <

mc7=2/7 &;B
.+)@1(M

 ,&-.
r  € = −

.+)@ (Mm ,&-.

m = ± ⇒

n7 &11DK

&"r$>s ,&-.
r r = −

r.:3:/7~K+'BDwe1
Bài 16B1





+
=
−
,%18<DdB;
B4iM=f~&"$>05 G5 GhB+) (808

Bài 17B1
( )
( )
r r

 
 
 
− +
=
−
,%18<DdB;DK
r =

]\
( )
)
*
5=f~H 
( )
4
D@3@0n35 6J101);
BD
( )
)
*

m]\5/7~K+'Be•$D=f~
  = =
.:3





 
 
 
=
 ÷
 


 




−
=

( )


 
  =
* Quy tắc so sánh:
>cK{/
 
   > ⇔ >
>cKzz/

α
α
= ⇔ =
* Tính chất:
51
51   51  51 


  
   
α
α
= = = =
* Quy tắc so sánh:
>cK{/
51 51
 
   > ⇔ >
>cKzz/
51 51
 
   > ⇔ <
>
51 51
 
   = ⇔ =
* Quy tắc tính:
( )
   
51  51 51






=
&
51 51 51
  
  =

51
51




=
 &
51 51 
 
  =

* Chú ý AG677a20:3 551$1N5$
AG2J0:3 55$
4) Bảng đạo hàm cần nhớ:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp thường gặp Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x)
( )

•  





=
( )
•
•




=
( )
•
 1 =
( )
•
 •1  =
( )
•
1  = −
( )
•
1 •  = −
( )
•






= −
( )
•
 
+ +=
( )
•
•
 
+  +=
( )
•
5
 
  =
( )
•
• 5
 
   =
( )
•

5 

=
( )
•

=

α
O&g

 =

 < ≠

Chú ý:
 

  > > ∀
51

 =

 < ≠

Điều kiện
của x để hs
có nghĩa:
>
„
5
α
+
∈
@…
DK\$

 >
 < <


 +∞


 +∞

?

?

?

?
Đồ thị
A GH )
( )


VM117:
e1D5 G
H )
4

D
 6 

VM117:7%

X@


51

 =
Chú ý`E
X5 G@



 =
Cách giải
các dạng
pt đơn
giản.
>9=DFO287e
   
   
   
     = ⇔ =

 < ≠

>9N†7e
( )
( )

 
  = >

LUỸ THỪA
Dạng 1: Thu gọn một biểu thức
Bài 1: .:88) 4 

|t

t
m

| t
u
4
−
 
= + −
 ÷
 
KQ:
4 =

( )
( )
  r



m m m
€  ur € s6
− −
−

  m

 r t
t t 
r m r

−
−
 
     
= +
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 KQ:
rs

 =
J
t m m r


m
  t t
€ t
7
− − −
+
=

9 =
Bài 2:nI+5ƒ&LDKƒ* j

( )
m
€
r
 4   = >

t
m
r
  6   = >
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

t
m
   =

m
m
 m 
m  m
 =
J
m
m s | m7 =
KQ:
t
€

m
r
m 
−
−
q


π
−
 
 ÷
 
D
m

π
 
 ÷
 

q
r

m
−
 
 ÷
 
D

r
51 €7 =
m

m
51 s8 =
m

t

r
51
 €
9
 
=
 ÷
 

m
|
m m
51
m

 
=
 ÷
 
m

9 =
|
€
 = −

m
: =
; =

m
, =
u
t
< = −
Bài 5 : Tính luỹ thừa của logarit của một số

51 m
r4 =
s
51 m
|6 =
m
51 
s =
m

51 t
m



m m
51  m51 t
|;
−
=
s4 =
m m6 =
u =
t =
 7 =
r8 =
m
€
m m
9 =
 =
ut

r: =
€
stmt
; =
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Bài 6:ˆ‡\) 4
r
m
51 €51 €4 =

t

= +
 ÷
 
4 =
€6 = −


 = −

m
 =
u

51 |
m
7 =
8 =
m
u 51 |9 = − +
s =
HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bài 7:./67$8;8 

( )
m

u €  
−
= − +


51 m   = + +


m
51



=
−

( )

m
51  = −



51




−
=
+
‰
t
 m


( ) ( )
 m −∞ − ∪ +∞

( ) ( )
 ∪ +∞
J
( )
u−
}
( ) ( )
  −∞ − ∪ − +∞

( )
−∞

{ }
Š '

( )
−
‰
( ) { }
 Š m+∞
0
( )
t−
5
[
)

m
 

 +
+ −
= +
}


r



−
=
KQ:

m m 1m
 
+  + +

( )

 | 

  ++ −

1
 
+ +

−
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
Bài 9:./+1;8 

5  =



5


  = −

( )

5   = + +

( )

m
51  = −
J
( )

5   = −
}

5 



Dạng 3: Chứng minh một đẳng thức có chứa đạo hàm
Bài 10: B4 i34

 

  += +
i

  +
′
− =


5



=
+
i


 +
′
+ =

r

 
 + +


€  m
 r
  − + −
=
J
   
t mt 
 + −
− =
}
t |
| m

m €
r
 
 
+ +
− −
=

   
   m m m
     − − − −
+ + = − +
t
‹$
"
 

 
− ±
 
 

{ }
 m− −
J
{ }

}
st
m
 
 
 

{ }


{ }
t

{ }
m
‰
{ }
−
Bài 12]%87=2/ 



t  €
 
 t t
 +
   
− + =
 ÷  ÷
   

m
t t 
 −
− =

( ) ( )
r t r t 
 
− + + =
‰
(
)
(
)
t  u t  u 
 
+ + − =
0
s mtu €r 
  

{ }


{ }
−

{ }
r

{ }

‰
{ }
±
0
{ }
−
5
{ }

Bài 13]%87=2/ 

( )
 
51 51   + + =

( ) ( )
 
51 m 51  m − + − =



 
51  51  | − + − =
‰
( ) ( )
 
 
51 s |  51 m 
 − −
+ − = +
0
 

r 5  5 
+ =
− +
5

 


51 m51 51   + + =

m m
m 51 51 m  − =
51
m
m
$
‹€"‹$

{ }
m

{ }
u t+



u
 
 
 

|
r

m 

 
 
 
+
 
 ÷
 
 
 
‰
{ }
m

>

 t

s
m
+
 
<
 ÷
 

u

s m

+
≤


u


r
 − −
 
>
 ÷
 
J



 
− +∞
 ÷
 

(
]
(
]
 m −∞ − ∪ −

( )
m−
J
( )

}
( )
r−∞
Bài 15]%87=2/ 


t  mt
 
+ ≥

 m 
t t m

r  m
 
− −
≥ +

( )
  
t m  t m
   + − −
− > −
‰

  

 
 

−
− +
≤
−

(
] [
)
5
;0 log 2;−∞ ∪ +∞

( )
+∞

+∞
Bài 16]%87=2/ 

( ) ( )
r r
51 | 51  + > −

( )


51 r t r − − ≤

( ) ( )
 
51 t 51 m  r + < − −

( )
 m

51 51  ≤
J
( ) ( )
€ €

51  51 m
m
 − − − >
}

m

 

m m
 
÷

 
Bài 17]%87=2/ 


 
m m
51 m51  + >

 

 51 51 
+ >
−


 
51 51 r r  + − ≥


51 m51 m

51 
 


∪ +∞


 

( )

J
( )
+∞
}
( )
−∞
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPtPPPPPPP
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPuPPPPPPP
CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC :
A.Nguyên hàm
+ 9…B1}$$8,Œ$5 &;}$,
 Œ
b
$"}$
 ,∀ ∈
>95:
     * 8  = +
∫
>.:

•
     *   = +

1

 


* 
*  
)* ) 

 * 
*   

+ * + 

 *  

*  
*  
*  

*  

α
α
α
α
+
=
= +
= +

( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )






 
5




5

1 

 1
 

1
 
1


+
= ± +
±
= +
= +
± = ± +
± = − ± +
= ± +
±
= − ± +
±
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
B. Tích phân:
+ 9…
       




  * 8  8  8 = = −
∫
>.:


Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Th1:.:R"
k  l •      *
∫

>9N" $
• *   *⇒ =
>R"
k  l •        *   *
∫ ∫
=
Th2.:R"
   *
∫
V 0G:=[J1=1:7a@4(
18) 4 /@)I= 

 

 
 
 
−
−
/N$"

 

π π
−

>?+@5$D4N "5$DD"a_p5+$
>?+@ƒq5=[8D4N "4DD"a_p5+$
>?+@ƒD5=[8NO&g
Dạng 4 Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
.
n./\ &;o1
n.&F 03o1D1\ &/=[B&D1\ &
⇒
 &
-/
*Tích phân:
Dạng 1 Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.
.
.=f=:7ao1DF:7a;ID3  @D6e% &
=fO
⇒
0H %
Dạng 2
+ Tính tích phân


 }$$
∫
bằng phương pháp đổi biến dạng 1:
.
n9N$" F 031)$+&L
⇒
$"

′


 
 
 
−
−
/N$"

 

π π
−
 
∈
 
 


 

 
 
 
+
+
/N$"

 

π π



 
 *=  = = *= −
∫ ∫
Chú ý:
>?+@5$D4N "5$DD"a_p5+$
>?+@ƒq5=[8D4N "4DD"a_p5+$
>?+@ƒD5=[8NO&g
Dạng 4 Tính tích phân hàm phân thức hữu tỉ
 
 


 
*
 
∫
>V 64_
≥
64=K^ /4
>V 64_z64=K^ 
• ?+^ @3O7=278731N=DF+:7a
*

α
∫
• ?+^ DG30)+1^ @M3_&0G•
>V @>?@AB>C&1
>V 0G/87eI+


  *

∫

PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPsPPPPPPP
>./3;}$"
>V }$"DG31N@3=0G@31 (kl
1N@(3$"1N$"83p5+0G (kl/

 

  *

∫
"
 

  *

∫
>V }$"@3$"∈/
 

  *

∫
"
   
 

k    l


3     *= −
∫
TH2V 7=2/1(1)@35$

∈
,@3:/
7~-/5


    k    l k    l

 
  
3     *     *     *
= − = − + −
∫ ∫ ∫
TH3V 71(1)@835$

$

∈
$

z$

,@3:/
7~-/5

E   *= Π
∫

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
( )

   *+
∫
( )
m
 s *−
∫

 
m

 *

 
−
 ÷
 
∫
( )
( )

r m    *− +
∫
5)


$5$
*
∫
11)
1$1u$*
∫
12)
$1$*
∫
9áp s:
1)
m

m

 + +
2)
r
s
r

 − +
3)
m
 
m
 

+ +

9)
m
 
5 m




+
+
c
10)
5 5  +
11)
 
€  r
u €
  + +
12)-

1r
€
 +
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng phương pháp đổi biến số
1)
u |
t 

 + *
+

+
∫
m
€
 m

*
−
∫

 
s


*
 
+
+ +
∫
10)
 5 
*

+
∫

 

 


 − − +
4)
m t
 
   
m t
  − − + − +
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
5)
r

5 
r
 + +
6)
t m
1 1
t m
 
− +
7)
r

5 m
€
 + +
8)
 t
m m
 

∫
 1 m  *−
∫
m 5 *
∫
r $$*
∫
t $5$*
∫

u 

+ *
∫
m
| 5 *
∫
8)
$ 

+ +
∫
9áp s:
1) e
x
(x-1) + c
2)
 
 m 1 m
 r

=
.
9s:

  1m
m u
8   
π
= − −
b/ Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trò của nguyên hàm bằng
m
€
−
khi x=
m
π
9s:
m
1  m m
  
m r

8 
−
= − +
c/ Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e
1-2x
, biết F(

 

  u

8  

= + + −
+
Bài 5.:8:7a 

m
m

  *
−
+
∫
 
r
r

r
 m 
1
 *

π
π
−
−
∫
m

m   *+
∫
|



 

*
 −
∫
 €
m


m 

 
*

−
+ +
−
∫
s
( )



t 




 *
π
∫
r

m

1 *
π
∫
t

m 

1  *
π
∫
987
r € mt
r
r
π
t5m u

€ m m
m
−

m
t

t
Bài 6: .:8:7a 


 m r

   *
−
−
∫



m  *+
∫
m



  1  *
π
+
∫
r




 5
+

*

+
∫
€

m



 + *
−
∫
s

t

  *−
∫


m

 1 *
π
∫


5
m
t

m
u5 |

  
m
−
€
s
 
 
 +
−
s
€
m


r
JP 
m

 r 

−
Bài 7.:8:7a 
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPmPPPPPPP


 5 *−
∫
u



1:  *
π
=
∫
|

 *
π
∫
€

5
+
*
∫
s



+ *
∫



5 

−
u


r
π
−
|
π
€ s

 t+
+
−
Bài 8:.:3:/7~K+';&"$1+k
π
lDe
1 9r
Bài 9:.:3:/7~K+'X

&"$

‹$DX

&"$

>D8=f
~$"P$" 9

0@H &$ H e•$$"‹$"&"&"$

‹$ 9
€
t
π

Bài 14: .:):;D6)’p$1&'“/7~K+'8=f
0@H &$ H e•$
q&"1$&"$"$"

π
 9

r
π
q&"5$&"$" 9

 5  5  
π
− +
q&"

+
&"$"  9
r
t 
r
+
π