PTC_1011QĐ_01
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN
Năm học 2010- 2011
Môn thi: TOÁN- Vòng I
Câu I
1) Giải hệ phương trình





=+
=++
.2
231283
22
22
yx
xyyx
2) Giải phương trình
.183124312
32
++=+−++ xxxx
Câu II
1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức
( )( )
( )( )
.2512411
22

30=ACB
. Gọi H là giao điểm thứ hai
của đường thăng BC với đường tròn (O).
1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC
theo R.
2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại
điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một
đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi
M thay đổi trên đoạn thẳng AC.
Câu IV
Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức
4
9
)1)(1( =++ ba
, hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
44
11 baP +++=
.
Hết
HD gi¶i ®Ò MÔN TOÁN (Vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
3) Giải hệ phương trình





=+


=+
=+
2
532
22
yx
yx
Giai ra ta đợc PT có 4 nghiệm 1,-1;
13
7
;
13
7

2) ĐKXĐ
2
1
x
Đặt
)0(124);0(12
2
>=+=+ bbxxaax
Ta có (1-b)(a-3) =0
b=1 thì
2
1
;0
21
== xx


3.2
7
2.1
3
2
H ớng dẫn
1)Phá ngoặc
( )( )
( )( ) ( )( )
25)1)(1(25)1(
25)(12)1(.2512411
22
2222
=++=+++
=++++++=++++++
yxyxxy
yxxyyxxyxyyxxyyx
vì x,y không âm nên (x+1)(y+1)=5 ta có (x;y)=(0;4);(4;0)
2) xét
)(
1
1
1
1
1
)1()1(
1
)1()1(
1

nn
nn
=






+
+=






+
+=






+
++
++
11
1

A
B
M
1)BC=4R;AC=
R32
;AH=
3R
2) Ta có
0
30
==
HABHNA
nên
0
180=+ NHCC
nên tứ giác CMNH nội tiếp
tâm đờng tròn ngoại tiếp thuộc trung trực HC cố định
Cõu IV
Vi a,b l cỏc s thc tho món ng thc
4
9
)1)(1( =++ ba
, hóy tỡm giỏ tr nh
nht ca biu thc
44
11 baP +++=
.
H ớng dẫn
áp dụng BBĐT Bu nhi acópky cho 2 dãy
1;

+
+++
bDau
b
bbb
Từ (1)&(2) ta có
(*)
17
8
22
++

ba
P
Mặt khác Từ GT ta có
4
5
=++
abba
Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 ta có
2
1
":";
2
1
4
5
)(
2
1

aa

Thay Vµo (*) ta cã
2
17
17
8
2
1
=
+
≥P
V©y
2
1
2
17
)(
==⇔=
baPMin
PTC_1011QĐ_02
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN
Năm học 2010- 2011
Môn thi: TOÁN- Vòng II
Câu I
1) Giải phương trình
4133 =+++ xx
2) Giải hệ phương trình

Câu III
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là
hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường
thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng.
1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.
Câu IV
Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự
201021
, ,, aaa
, ta
đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay
sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thì các số được đánh
dấu là
2,1,4,4
5432
=−==−=
aaaa
).
Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất
cả các số được đánh dấu là một số dương.
Hết

HD giải đề thi MễN TON (Vũng 2)
Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian phỏt )
Cõu I
5) Gii phng trỡnh
4133 =+++ xx
6) Gii h phng trỡnh
( )( )




=++
=++
)2(222246
)1(26225
1123
26225
.1123
26225
22
22
22
22
22
yxyxx
xyyx
yxyxx
xyyx
yxyxx
xyyx
Cộng (1) và (2) ta có PT
0)2)(83(01623
2
=+=+
xxxx
Với
3
8

là số chính phơng nên
22
391 kn =+

)( Nk
391))((391
22
=+=+
knknkn
mà 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23)
Ta có n-k<n+k nên
n-k -391 -1 -23 -17
n+k 1 391 17 23
n -195( loại) 195 -3(loai) 3
Vậy n =3 hoặc n=195
2)
xyyxzxy
xy
yxzxy
++++
+
+++
122.1
1
22
22
22
áp dngj BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy x ; y và 1; 1 ta có
yxyxyxyx
++++

Q
E
F
M
H
B
C
A
1)Vì t giác BEPH nội tiếp nên
EPBEHB
=
(1) vì E;P;Q thẳng hàng nên
EPBMPQ
=
(2). Vì t giác MQHP nội tiếp nên
MHQMPQ
=
(3) Ta có
MHC
vuông tại H có
MCHQ
suy ra
MHQMCH
=
(4) từ (1); (2) ; (3) ;(4) ta có
MCHEHB
=
ở vị trí đồng vị nên HE//CM mà
(*)ABCMABHE


ỏnh du tt c cỏc s õm v tt c cỏc s m tng ca nú vi mt số s liờn tip
lin ngay sau nú l mt s dng. (Vớ d vi dóy s -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005
thỡ cỏc s c ỏnh du l
2,1,4,4
5432
==== aaaa
).
Chng minh rng nu trong dóy s ó cho cú ớt nht mt s dng thỡ tng ca tt
c cỏc s c ỏnh du l mt s dng.
H ớng dẫn

Xét các số đợc đánh dấu a
1
;a
2
;a
3
a
n
(n
)2010; < nN
-Nếu dãy có tất cả các số dơng thì ta có đpcm
-Nếu có số âm đợc đánh dấu thi các liền sau số âm phải là số dơng ( Giá trị tuyệt đối số
số tổng các dơng lớn hơn GTTĐ số âm) vì số âm cộng với số liền sau nó ra kết quả là số
dơng suy ra số liền sau số âm đó cũng đợc đánh dấu suy ra tổng luôn là só dơng
PTC_1011Q_03
B GIO DC V O TO
TRNG HSP H NI
K THI TUYN SINH LP 10- THPT CHUYấN
Nm hc 2010- 2011

2. Khi m thay i, hóy chng minh im I luụn thuc ng thng c nh.
Cõu 3 :

Gi s cho b ba s thc (x;y;z) tho món h



=++
+=+
)2(0107
)1(1
2
zzxy
zyx
1. Chng minh x
2
+ y
2
= -z
2
+ 12z 19
2. Tỡm tt c b s x,y,z sao cho x
2
+ y
2
= 17
Cõu 4 :
Cho hỡnh vuụng ABCD cú di bng cnh a. Trong hỡnh vuụng o ly im K
sao cho tam giỏc ABK u. Cỏc ng thng BK v AD ct nhau P.
1. Tớnh di KC theo a

A x
x x x x x x


+ + +
= ữ

ữ ữ ữ
+ + +


1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
H ớng dẫn
1.
)3(2
)2(3
)26)(3(
)6)(2(3
.
)6(2
26
)26)(3(
)6)(2(3
.
)6(2
82183
)26)(3(
)6)(2(3
.

2
2
6
2
2
6
23
2
446
+

=
++
+
+
+
=
++
+
+
++
=
++
+
+
++
=
++
+




+
+








+

=








+
+++






x
xx
A
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
x
A
xx
xx
xx
xx
x
x
A
xxx
xxx
xxx
xxx
x
xxx
A
2.
)3(2
)2(3
+

x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15
x -18 -8 -6 -4 -2 0 2 12
2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2
A 2 3 4 9 -6 -1 0 1
Vậy
}{
12;2;0;2;4;6;8;18

x
thì A nguyên
Câu 2:
Cho hai đờng thẳng
(d1 ): y = (2m
2
+ 1 )x + 2m 1
(d2): y = m
2
x + m - 2 Với m là tham số

1. Tìm toạ độ giao điểm I của d
1
và d
2
theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định.
H ớng dẫn
1.Giải hệ






+
+
+
=
+
+
=






+=
+=+






+=
=+++






2
2
2
2
22
2
2
m
mm
y
m
m
x
m
mmmmm
y
m
m
x
m
m
mm
y
m
m
x
mxmy
mxm
mxmy
mxmmxm

x
m
mm
y =
+
+++
= 3
1
)1()1(3
2
2
Vởy I thuộc đờng thẳng y=-x-3 cố định
Câu 3 :

Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ



=++
+=+
)2(0107
)1(1
2
zzxy
zyx
1. Chứng minh x
2
+ y
2
= -z

+ y
2
=2(=-z
2
+7z-10 )+z
2
-2z -+1

x
2
+ y
2
= -z
2
+ 12z -19 (đpcm)
2. ta có -z
2
+ 12z 19=17

z
2
-12z+36=0
0)6(
2
=
z

z=6 thay vào ta có hệ
Hệ có 2
nghiệm

=++
+=




=++
+=




=+
=
1
4
4
1
0)1)(4(
5
08102
5
017)5(
5
17
5
22222
y
x
y

P
K
C
B
A
D
H ớng dẫn
1.Kẻ KQ

BC trong tam gíac vuông BQK có BK=a;

KBQ=30
0
nên
2
a
KQ =
áp dụng
Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta có
2
3
4
2
222
aa
aKQBKBQ ===
nên
2
)32(
2

3
==
DC
DI
DCITg
nên

DCI=30
0
theo GT ta có

KBC=30
0
suy ra

DPH=30
0
(So le)
Vởy

DPH=

DCH =30
0
nên theo QT cung chứa góc 2 điểm P ; C thuộc cung chứa
góc 30
0
dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội tiếp
3. Kẻ KE


H ớng dẫn
Đặt x
2
-5x + 1-=a; x
2
- 4=b thì a-b=-5(x-1) suy ra
25
)(
)1(
2
2
ba
x

=



=
=
==+
=++=

=
ab
ba
bababababa
babababaab
ba
ab

xxxxxxx
Nếu b=6a ta có PT




=
+=
=+=+=+
73
73
02601030546306
2222
x
x
xxxxxxx
PT(*) có 4 nghiệm
73;73;
2
211
;
2
211
43211
=+=

=
+
= xxxx


2
=
baxx
cú 2 nghiờm c v d
Chng minh rng:
1. a c = c b = d - a
2. a + b + c + d = 30
Cõu 3 Gi s m v n l nhng s nguyờn dng vi n>1 .t
nmnmS 44
22
+=
Chng minh rng:
1. Nu m>n thỡ
( )
422
2
2
2 nmSnmn
<<
2. Nu S l s chớnh phng thỡ m=n
Cõu 4 Cho tam gớac ABC vi AB>AC ,AB >BC.Trờn cnh AB ca tam giỏc ly
cỏc im M v N sao cho BC=BM v AC=AN
1.Chng minh im N thuc on thng BM
2.Qua M v N ta k ng thng MP song song vi BC v NQ song song
vi CA
);( CBQCAP

.Chng minh CP=CQ.
3.Cho gúc ACB = 90
0

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Câu 1:
1.Giả sử a và b là hai số dơng khác nhau và thoả mãn
22
11 abba =
Chứng minh rằng
1
22
=+
ba
2.Chứng minh rằng số
2222
20102010.20092009
++
là số nguyên dơng
H ớng dẫn
1. từ GT
)(;
11
))((
11
11
2222
22
22
ba
ab
baba
ab
ba







=
+=+
ba
ab
ba
abba
abba
2 Đặt a= 2009 ta có
2222
20102010.20092009
++
=
Zaaaaaaaaaaaa
++=++=++++=++++
1)1(1)1(2)1.()1()1.(
222222222
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau
iii) Phơng trình
052
2
=
dcxx
có 2 nghiêm a và b

Từ (1) ta có a-c=c-b từ (3) ta có c-a=a-d nên a-c=c-b=d-a
2.nhân (2) và (4) ta có abcd=25bd suy ra ac=25
Mặt khác a là nghiệm PT(1) nên
)5(505052
22
==
dadcaa
c là nghiệm PT(1) nên
)6(505052
22
==
bcbcac
từ (5) và (6) ta có
)(30:;15
0150)(5)(100)(52)(100)(5
2222
dpcmdcbadacamaca
cacacaaccadbca
=++++=+=+
=++=++=++
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dơng với n>1 .Đặt
nmnmS 44
22
+=
Chứng minh rằng:
1.Nếu m>n thì
( )
422
2
2

2.Ta chứng minh
( ) ( )
22
22
+<<
mnSmn

xét S=(mn-1)
2
thì
12441244
2222
=+=+
mnmnmnnmnmnm

không tồn tại m,n vì vế phải chẵn
Xét S=(mn+1)
2
thì
12441244
2222
=+++=+
mnmnmnnmnmnm
không tồn tại m,n vì vế phải chẵn
Từ đó ta có S=m
2
n
2
thì
04444

2. Ta có
)1(
.
AB
MBAC
PC
MB
AB
PC
AC
==

)2(
.
AB
NABC
QC
NA
AB
QC
BC
==
Mà MB=BC; NA=AC kết hợp với (1) và (2) ta có CP=CQ (đpcm)
3.Nếu ACB=90
0
, góc CAB=30
0
và AB= a .thì
2
3

4
3
.
2
)13(
.
2
1
.
2
1
2
aaa
CHMNS
CMN

=

==
( đvdt)
Câu 5 Trên bảng đen viết ba số
2
1
;2;2
.Ta bắt đầu thực hiện trò chơi nh sau :
Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị
trí vừa xoá hai số mới
2
ba
+







+






+
Nh vậy sau khi xoá 2 số a; b thay bởi hai số mới
2
ba
+
và
2
ba
thì tổng bình phơng hai
số mới không đổi nên tổng bình phơng của ba số trên bảng không đổi bằng
2
13
2
1
42
=++
mà tổng bình phơng ba số


+


1) Tỡm iu kin ca x P cú ngha v rỳt gn P.
2) Tỡm giỏ tr ca x P
4
3
=
Cõu 2 ( 2,0 im )
1) Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha món x
2
+ 4x + 1 = y
4
.
2) Gii h phng trỡnh:
2 2
3
x xy y 3
x 3(y x) 1

+ + =


+ =


.
Cõu 3 ( 2,0 im )
Cho phng trỡnh n x: (m-10)x

a b c
3
b c a
+ + + + a b c
Ht
Hớng dẫn giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2010
Câu 1: (2điểm)
Cho biểu thức





















+

x
55
)3(
.
)3)(3(
)3(
)3(
)3(2)1(
:
)3)(3(
2)3(

=


+
+
=














=



=
40)103)(2(
020106302043
3
4
5
3
4
Câu 2 : ( 2 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x
2
+ 4x +1 =y
4
2) Giải hệ phơng trình :





=+
=++
1)(3
3
2
22

==
=



==
=













=++
=+





=++
=+




=
=



=
=




=+
=




=+
=






=++
=


1
3
1
1
3
1))((
3
1)(3
3
2
22
3
333
22
223
22
3
22
y
x
y
x
xx
y
xx
y
yxyx
y
xyx
yxyx



>

0
10
/
m
( )



<
>

<>>>
===
10
12
1)11(:;1)11(01)11(0
1)11(1)110(102)10(
2/
222/
m
m
mHoacmm
mmmm
2) với ĐK trên theo Viét ta có



10
888
4
10
888
10
8
8)(2)(
)()(3)(
2121
3
21
21212121
3
21
2
212
2
1
3
2
3
1
><<


<+


<

M , N
1) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn.
2) Chứng minh gócBDM = gócCDN .
3) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I .Đờng thẳng AI cắt BC tại
K .Chứng minh K là trung điểm cạnh BC
P
Q
K
I
N
M
O
D
B
A
C
1) ta có

AMO=

ADO=

ANO=90
0
nên 5 điểm A, M.D, O, N thuộc đờng tròn
Tâm O
/
đờng kính AO
2) Ta có


Ta có
)(dpcmCKBK
IQ
CK
OI
OA
IP
BK
===

Câu 5: ( 1 điểm)
Cho a , b , c là các số dơng thoả mãn điều kiện : a + b+c +ab +bc+ ca=6
Chứng minh rằng:
3
222
333
++++
cba
a
c
c
b
b
a
Hớng dẫn
áp dụng BBĐT
xyyx 2
22
+
dấu = xảy ra khi x=y

222
333
cbacabcab
a
c
c
b
b
a
+++++








++
PTC_1011Q_06
S GIO DC V O TO
THNH PH H NI
K THI TUYN SINH LP 10- THPT CHUYấN
Nm hc 2010- 2011
Mụn thi: TON
Bi 1 (2,0 im)
1) Cho n l s nguyờn, chng minh
nnA 11
3
+=

1) Cho a l s bt kỡ,chng minh rng:
2
2009
2010
2010
2010
>
+
+
a
a
2) Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha món phng trỡnh
0)22)(2(
22
=+ xxxxy
Bi 4 (3,0 im)
Cho ng trũn (O;R) v mt im M nm ngoi ng trũn.ng trũn ng
kớnh OM ct ng trũn (O;R) ti hai im E , F.
1) Chng minh giao im I ca on thng OM vi ng trũn (O;R) l tõm
ng trũn ni tip tam giỏc MEF.
2) Cho A l mt im bt kỡ ca thuc cung EF cha im M ca ng trũn
ng kớnh OM (A khỏc E,F). on thng OA ct on thng EF ti im B. Chng
minh

2
ROBOA =
3) Cho bit OM=2R v N l mt im bt kỡ thuc cung EF cha im I ca
ng trũn (O;R) ( N khỏc E,F). Gi d l ng thng qua F v vuụng gúc vi ng
thng EN ti im P, d ct ng trũn ng kớnh OM ti im K (K khỏc F). Hai ng
thng FN v KE ct nhau ti im Q. chng minh rng:

n 1 < n
2
+ n 1. để B là số nguyên tố thì n
2
n 1= 1
suy ra n = - 1(loại), n = 2 thoả mãn

Bài II. (2 điểm)
Cho phơng trình: (m
2
+ 2m + 2)x
2
(m
2
2m + 2)x 1 = 0
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình đã cho.
1) Tìm các giá trị của m để : x
1
2
+ x
2
2
= 2x
1
x
2

21
2
2
21
mm
xx
mm
mm
xx
thay vào , tìm đợc m
2) S =
22
22
2
2
++
+
mm
mm
.
Sau đó xét hiệu S (
223
) và hiệu S (
223 +
) ta tìm đợc max, min.
Hoặc dùng phơng pháp đenta
Bài III. (2 điểm)
1) Cho a bất kì, chứng minh rằng:
2010
2010

1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đờng tròn (O;R) là tâm của đ-
ờng tròn nội tiếp tam giác MEF.
2) Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đờng tròn đờng kính
OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh
OA. OB = R
2
.
3) Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đờng tròn
(O; R) (N khác E và F). Gọi d là đờng thẳng qua F và vuông góc với đờng thẳng
EN tại điểm P, d cắt đờng tròn đờng kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đờng
thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng:
PN . PK + QN . QK
2
3
2
R
Gợi ý : (các bạn tự vẽ hình nhé)
1) Ta dễ có ME, MF là tiếp tuyến của đờng tròn (O), từ đó dễ chứng minh đợc cung
EI = cung FI của đờng tròn (O). Dễ dàng chứng minh đợc EI, FI, MI là các đờng
phân giác của tam giác MEF.
2) Gọi EF cắt OM tại H. Dễ chứng minh đợc : OA.OB = OH.OM = OE
2
.
3) Ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp MEF và MEF đều có cạnh bằng
3R
.
Sử dụng góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây để chứng minh FQ EK.

Ta có PN. PK + QN.QK = 2.S
KPNQ

8
x
7
) + (x
5
x
4
) + (x
3
x) + 1 1 không có nghiệm
Nếu 1> x > 0Thì VT = (x
5
x
7
) + (x
3
x
4
) + (1 x) + x
8
> 0 không có nghiệm
Nếu x 0 thì VT > 1 không có nghiệm
Vậy pt vô nghiệm
PTC_1011Q_07
S GIO DC V O TO
THNH PH H CH MINH
K THI TUYN SINH LP 10- THPT CHUYấN
Nm hc 2010- 2011
Mụn thi: TON
Cõu 1 : (4 im)

Cho phng trỡnh x
2
2(2m + 1)x + 4m
2
+ 4m 3 = 0 (x l n s)
Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) tha |x
1
| = 2|x
2
|
Cõu 3 : (2 im)
Thu gn biu thc:
7 5 7 5
3 2 2
7 2 11
A
+ +
=
+
Cõu 4 : (4 im)
Cho tam giỏc ABC cõn ti A ni tip ng trũn (O). Gi P l im chớnh gia
ca cung nh AC. Hai ng thng AP v BC ct nhau ti M. Chng minh rng:

+ b
2010

Câu 6 : (2 điểm)
Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = 2a. Gọi (O) là đường tròn tâm
O bán kính a. Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 7 : (2 điểm)
Cho a, b là các số dương thoả a
2
+ 2b
2
≤ 3c
2
. Chứng minh
1 2 3
a b c
+ ≥
.
-
Hết