TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
Bài 1: Lớp học 80 sinh viên trong đó có 50 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên. Tính
xác suất để:
a. Cả hai sinh viên đều là nữ
b. Cả hai sinh viên đều là nam
c. Hai sinh viên khác giới nhau
Giải:
a. Gọi A là biến cố cả hai sinh viên được chọn là nữ
Trong đó:
A
1
là biến cố sinh viên thứ nhất được chọn là nữ:
A
2
là biến cố sinh viên thứ hai được chọn là nữ:
Vì A
1
, A
2
độc lập. Vậy:
b. Gọi B là biến cố cả hai sinh viên được chọn là nam
Tương tự, ta có:
; Kết luận:
c. Gọi C là biến cố hai sinh viên được chọn khác giới nhau:
C là biến cố nghịch với biến có A và B
Kết luận:
Bài 2: Bộ đề thi môn triết học gồm 25 phiếu thi, mỗi phiếu thi ghi một câu hỏi. Mỗi
sinh viên dự thi chỉ nắm vững 20 câu. Giảm khảo yêu cầu anh ngẫu nhiên bắt 2 phiếu thi.
Tính xác suất để:

1
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ

c. Gọi C là biến cố sinh viên đó không trả lời được câu nào
C là biến cố nghịch với biến cố A và B
Kết luận:
Bài 3: Gieo đồng thời 3 đồng tiền. Tính xác suất để:
a. Cả ba đồng tiền đều sấp.
b. Có hai đồng tiền sấp.
c. Chỉ có một đồng sấp.
Giải:
a. Gọi A là biến cố cả ba đồng tiền đều sấp
Trong đó:
A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là biến cố đồng tiền 1 sấp, đồng tiền 2 sấp và đồng tiền 3 sấp. Ta
có: .
Vì A
1
, A
2
, A
3
độc lập, kết luận:
b. Gọi B là biến cố có hai đồng tiền sấp
Các trường hợp có thể xảy ra: (S

, B
4
lần lượt là biến cố xảy ra (S
1
,S
2
,N
3
); (S
1
,N
2
,S
3
); (N
1
,S
2
,S
3
),
(S
1
,S
2
,S
3
) ta có: .
Vì B
1

b. Gọi B là biến cố tổng số nút trên hai con xúc xắc bằng 8
Các khả năng có thể xảy ra: {(2:6); (6:2); (3:5); (5:3);(4:4)}
2
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Gọi B1 là biến cố xảy ra trường hợp (2:6) (ở trường hợp này có 2 khả năng: Có thể là
xúc xắc 1 có số chấm là 2, có thể xúc xắc 2 có số chấm là 6 và ngược lại. Nên

Gọi B
2
là biến cố xảy ra trường hợp (3:5). Tương tự, suy ra:

Gọi B
3
là biến cố xảy ra trường hợp (4:4). Suy ra:
Vì B
1
, B
2
, B
3
xung khắc nhau, kết luận:
c. Gọi C là biến cố tổng số nút trên hai con xúc xắc là lẻ
Các khả năng có thể xảy ra, tổng số nút là: (3;5;7;9;11)
Gọi C
1
là biến cố khi tổng số nút là 3, trường hợp xảy ra là {(1:2); (2:1)}
Suy ra:
Gọi C
2
là biến cố khi tổng số nút là 5, các trường hợp xảy ra là: {(1:4); (4:1); (2:3);

lần lượt là biến cố xảy ra các khả năng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1,3 , 3,1 , 2,4 , 4,2 , 3,5 , 5,3 , 6, 4 , 4,6D =
. Vì chúng xung khắc nhau
Kết luận:
Bài 5: Lớp học gồm 100 học sinh, trong đó có 60 em biết Anh văn, 70 em biết Pháp
văn và 40 em đồng thời biết cả hai ngôn ngữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Tính
xác suất để:
3
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
a. Học sinh đó biết ít nhất một sinh ngữ
b. Học sinh đó không biết sinh ngữ nào.
Giải:
a. Gọi A là biến cố học sinh đó biết ít nhất một sinh ngữ
Ta có số học sinh biết Anh văn là 60, biết Pháp văn là 70, biết cả hai ngôn ngữ là 40.
(trong 40 em học biết 2 sinh ngữ là số học sinh vừa biết Anh văn và vừa biết Pháp văn).
Kết luận: =0,9
b. Gọi B là biến cố học sinh đó không biết sinh ngữ nào
B là biến cố nghịch của biến cố A
Kết luận:
Bài 6: Hai xạ thủ cùng bắn một xe tăng địch. Xác suất bắn trúng của họ lần lượt là
90% và 95%. Tính xác suất để xe tăng trúng đạn khi cả hai cùng nổ súng.
Giải:
Gọi A là biến cố xe tăng trúng đạn, trong đó:
A
1
là biến cố xe tăng trúng đạn của xạ thủ thứ 1:
A
2

4
Suy ra: P(B) = 0,5 x 0,5
4
= 0,03125
c. Gọi C là biến cố không ai thích du lịch
C
1
,…., C
5
lần lượt là biến cố người thứ nhất đến người thứ năm không thích du lịch,
suy ra:
Vì C1,…, C5 độc lập, do đó:

Bài 8: Có hai hộp thẻ nhân viên của một công ti du lịch. Hộp I chứa 20 thẻ nam và
25 thẻ nữ. Hộp II chứa 15 thẻ nam và 30 thẻ nữ. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ. Tính xác
suất để
a. Cả hai thẻ đều nữ.
b. Chỉ có một thẻ nữ.
c. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp I, bỏ vào hộp II. Sau đó trộn đều, lấy ngẫu nhiên một thẻ từ
hộp II. Tính xác suất để thẻ lấy được là nữ.
Giải:
a. Gọi A là biến cố cả hai thẻ đều là nữ
Gọi A
1
là biến cố thẻ lấy từ hộp I là nữ:
Gọi A
2
là biến cố thẻ lấy từ hộp II là nữ:
Vì A
1

5
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Bài 9: Có ba hộp kẹo như nhau. Hộp thứ nhất có 15 kẹo sữa, 15 kẹo cà phê. Hộp II
có 20 kẹo sữa, 10 kẹo cà phê. Hộp III có 25 kẹo sữa, 5 kẹo cà phê. Lấy ngẫu nhiên một hộp,
từ đó lấy ra một kẹo. Tính xác suất để kẹo đó là kẹo sữa.
Giải:
Gọi A là biến cố lấy được kẹo sữa
Lấy ngẫu nhiên một hộp trong 3 hộp, vậy xác suất lấy mỗi hộp là 1/3
Gọi A
1
là biến cố lấy được kẹo sữa khi bốc ngẫu nhiên hộp thứ I

Gọi A
2
là biến cố lấy được kẹo sữa khi bốc ngẫu nhiên hộp thứ II

Gọi A
3
là biến cố lấy được kẹo sữa khi bốc ngẫu nhiên hộp thứ III

Vì A
1
, A
2
, A
3
xung khắc từng đôi, suy ra:

Bài 10: Gieo đồng thời hai đồng tiền cân đối, đồng chất. Gọi X là số mặt sấp xuất
hiện. Lập bảng phân phối xác suất của X.

Suy ra:
X = 4 là biến cố số nút trên 2 mặt con XX chênh lệch 4:
Các trường hợp có thể xảy ra: (1:5); (2:6); (5:1); (6:2).
Suy ra:
X=5 là biến cố số nút trên 2 mặt con XX chênh lệch 5:
Các trường hợp có thể xảy ra: (1:6); (6:2) suy ra:
Bảng phân phối xác suất:
X 0 1 2 3 4 5
P
Bài 12: Cho biến ngẫu nhiên
X
có hàm mật độ
( )
( )
2
1
1
f x
x
π
=
+
. Hãy xác định hàm
phân phối của
X
. Từ đó tính xác suất của biến cố
0 1X< <
.
Giải:
Hàm phân phối của X:

( )
( )
[ ]
2
2,2
4
0 2;2
a
khi x
f x
x
khi x

∈ −

=
−


∉ −

Xác định
a
và tính kỳ vọng
( )
M X
;phương sai
( )
D X
Giải:

2
4
a x
f x a a
x
π
+∞ +
−∞ −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
−
∫ ∫
Kỳ vọng:
( ) ( )
2
2
2
1
0
4
x
M X xf x
x
π
+∞ +
−∞ −
= = =
−
∫ ∫
Phương sai:
( ) ( ) ( )

 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bài 14: Cho hàm ngẫu nhiên
X
có hàm mật độ là
Giải:
Vì: là hàm mật độ nên
( )
1
2
1
3
1 1
2
f x dx ax dx a
+∞
−∞ −
= ⇔ = ⇔ =
∫ ∫
8
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Bài 15: Trọng lượng xoài Hòa Lộc có phân phối chuẩn
400g
µ
=
và
2
2.500
σ

. Tính tỉ lệ khách du lịch Nhật có chỉ tiêu trong khoảng 4.500
USD đến 5.500 USD.
Giải:
9
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Gọi X là chi tiêu khách du lịch Nhật Bản đến với Việt Nam, khi đó X có phân phối
chuẩn với
2
5.000 , 360.000USD
µ σ
= =
;
Tính tỉ lệ khách du lịch Nhật có chỉ tiêu trong khoảng 4.500 USD đến 5.500 USD là
xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 4500 đến 5500 USD:

⟺
Bài 18: Khảo sát chiều cao nhân viên nữ ngành du lịch Việt Nam, theo phân phối
chuẩn với
2
170 , 100cm
µ σ
= =
. Hãy ước lượng tỉ lệ nhân viên nữ
a. Chiều cao trên 175 cm.
b. Chiều cao từ 165 đến 170 cm.
c. Tính xác suất để chọn hai nhân viên nữ thì cả hai đều có chiều cao dưới 175cm
d. Tính xác suất để chọn hai nhân viên nữ thì có ít nhất một người có chiều cao trong khoảng
165 - 170 cm
Giải:
Gọi X là chiều cao của nữ nhân viên ngành du lịch Việt Nam, X có phân phối chuẩn


d. Gọi B là xác suất khi chọn 2 nhân viên nữ thì có ít nhất một người có chiều cao trong
khoảng 165-170cm
Các trường hợp có thể xảy ra:
Nhân viên thứ 1 Nhân viên thứ 2
Chiều cao 165 – 170cm Chiều cao 165 – 170cm
Trong khoảng 165 – 170cm Ngoài khoảng 165 – 170cm
Ngoài khoảng 165 – 170cm Trong khoảng 165 – 170cm
Gọi B
1
là biến cố cả 2 nhân viên nữ đều có chiều cao từ 165 – 170cm
Tương tự câu c, ta có:
Gọi B
2
là biến cố khi chọn 2 nhân viên, có 1 nhân viên có chiều cao trong khoảng
165 – 170cm, ta có

Vì B
1
và B
2
xung khắc nên:

11
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
PHẦN II: THỐNG KÊ
Bài 1: Khảo sát ngẫu nhiên 100 du khách Nhật tới TP HCM thấy rằng có 40 du khác
có nguyện vọng nối tour tới nước khác. Với độ tin cậy 95%. Hãy ước lượng tỉ lệ khách Nhật
muốn nối tour?
Giải:

Giải:
Bước 1: Xác định các đại lượng n = 1000, ;
Bước 2: Gía trị thỏa mãn ;
Bước 3: Bán kính ước lượng:
Bước 4: Khoảng ước lượng: 
Bài 5: Để biết tỉ lệ p các nhà nghỉ đạt chuẩn tại một vùng du lịch sinh thái, người ta
điều tra ngẫu nhiên 50 nhà nghỉ thấy có 30 nhà nghỉ đạt chuẩn.
a. Xác định khoảng ước lượng tỉ lệ p với độ tin cậy 95%.
b. Nếu muốn bán kính ước lượng giảm đi một nữa, thì độ tin cậy còn bao nhiêu?
c. Nếu muốn bán kính ước lượng giảm đi một nửa, nhưng vẫn giữ nguyên độ tin cậy 95% thì
cần khảo sát thêm bao nhiêu nhà nghỉ nữa?
Giải:
a. Xác định khoảng ước lượng tỉ lệ p với độ tin cậy 95%
Bước 1: Xác định các đại lượng n = 50; ;
Bước 2: Gía trị thỏa mãn;
Bước 3: Bán kính ước lượng:
Bước 4: Khoảng ước lượng: 
b. Nếu muốn bán kính ước lượng giảm đi một nửa thì độ tin cậy còn bao nhiêu %
Ta có ;
⟺⟺;

13
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
c. Nếu muốn bán kính ước lượng giảm đi một nửa, nhưng vẫn giữ nguyên độ tin cậy 95%
thì cần khảo sát thêm bao nhiêu nhà nghỉ nữa?
Ta có; ;
 
Kết luận: Số nhà nghỉ cân khảo sát thêm 203 – 50 = 153
Bài 6: Cân thử 100 trái chanh Đà Lạt, ta biết rằng:
Khối lượng (gr) 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Bước 3: Bán kính ước lượng:
Bước 4: Khoảng ước lượng: 
c. Nếu muốn giữ nguyên khoảng cách ước lượng nhưng với độ tin cậy 99% thì cần thêm
bao nhiêu trái nữa?
Ta có: ; ; ;

Kết luận: Số trái cam cần khảo sát thêm: 174 – 100 = 74
d. Chanh có khối lượng là chanh loại I, ước lượng tỉ lệ chanh loại I với độ tin cậy 99%
Ta có:
Khối lượng (gr) 65 70 75 80 85 90
Số quả 28 30 8 5 5 4
+ Đổi biến:
-2 28 -28 28
-1 30 -30 30
0 8 0 0
1 5 5 5
2 5 30 60
3 4 12 36
80 -11 159
;
; ;
Bước 1: Xác định các đại lượng n = 80; ; ;
Bước 2: Giá trị thỏa mãn 
Bước 3: Bán kính ước lượng
Bước 4: Khoảng ước lượng ; 
15
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Bài 7: Điều tra hàm lượng đường của một loại trái cây sử dụng trong khu vực sinh
thái sông Cửu Long, ta được:
Hàm lượng % 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20

Giải:
a. Đổi biến
16
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
-3 5 -15 45
-2 10 -20 40
-1 20 -20 20
0 25 0 0
1 25 25 25
2 15 30 60
100 0 190
; 
; ;
Bước 1: Xác định các đại lượng n = 100, ; ;
Bước 2: Gía trị thỏa mãn ;
Bước 3: Bán kính ước lượng
Bước 4: Khoảng ước lượng 
b. Nếu muốn giảm bán kính ước lượng xuống 3 lần thì độ tin cậy ước lượng còn bao
nhiêu?
; ; 
=89,04%
Bài 9: Khảo sát độ dài lưu trú của du khách Pháp tại một khu resort, ta được bảng:
Số ngày 2 3 4 5 6 7 8
Số khách 5 10 10 10 8 5 2
a. Hãy ước lượng độ dài lưu trú trung bình của du khách với độ tin cậy 95%
b. Hãy kiểm định giả thuyết cho rằng độ dài lưu trú trung bình của du khách là
5
µ
=
với mức ý

=
Bước 1: Xác định các đại lượng n= 50, ; ; ;
Bước 2: Giá trị thỏa mãn ;
Bước 3: Giá trị kiểm định
Bước 4: So sánh, ta có chấp nhận giả thuyết, độ dài lưu trú trung bình của du khách
là 5 ngày.
Bài 10: Giám đốc một công ty công bố 90% sản phẩm của công ty đạt chuẩn. Thanh
tra 200 sản phẩm của công ti cho thấy 168 sản phẩm đạt yêu cầu. Với mức ý nghĩa
5%
α
=
,
ta có thể kết luận gì về tuyên bố trên?
Giải:
Bước 1: Xác định các đại lượng n = 200, sản phẩm đạt yêu cầu là 168 
;
Bước 2: Giá trị thỏa mãn 
Bước 3: Giá trị kiểm định
Bước 4: So sánh 
Kết luận: Tuyên bố của công ty không chính xác với
Bài 11: Tỉ lệ phế phẩm một nhà máy trước đây là 5%. Sau khi thực hiện cải tiến kỉ
thuật, kiểm tra 800 sản phẩm thấy có 24 phế phẩm.
a. Với mức ý nghĩa
5%
α
=
, hãy cho biết kết luận về cải tiến đó.
b. Nếu nhà máy báo cáo rằng tỉ lệ phế phẩm chỉ còn 2% thì có thể chấp nhận được với mức ý
nghĩa
5%

Khối lượng (g) 95-97 97-99 99-101 101-103 103-105 105-107
Số gói 9 31 40 15 3 2
Với mức ý nghĩa
5%
α
=
, hãy có kết luận gì về nghi ngờ trên.
Giải:
Đổi biến: Đổi biến
-3 9 -27 81
-2 31 -61 124
-1 40 -40 40
0 15 0 0
1 3 3 3
2 2 4 8
100 -122 258
; 
; ;
Bước 1: Xác định các đại lượng n = 100; ; ; ;
Bước 2: Giá trị thỏa mãn ;
Bước 3: Giá trị kiểm định
Bước 4: So sánh, ta có 
19
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Kết luận: Máy bị trục trặc, không đảm bảo giá trị đóng gói trung bình,
Bài 13: Kiểm tra các sản phẩm do hai phân xưởng sản xuất, ta có bảng số liệu:
Phân xưởng Số sp
Trọng lượng
TB
Phương sai

=
, có kết luận gì về tỉ lệ phế phẩm của hai phân xưởng?
Bước 1: Xác định các đại lượng ;

Bước 2: Gía trị thỏa mãn ;
Bước 3: Gía trị kiểm định
Bước 4: So sánh, ta có ; tỉ lệ phế phẩm của 2 phân xưởng là như nhau.
Hết
20