Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
37Chương 4 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
ROOTS OF NONLINEAR EQUATIONS

4.1 Giải gần đúng phương trình
Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0, ta phải tách nghiệm.
Giả sử trong khoảng [a,b] hàm f(x) liên tục cùng với các đạo hàm f’(x), f”(x),
của nó. Các giá trị f(a), f(b) là giá trị của hàm tại các điểm mút của đoạn này f(a).f(b)
< 0 và f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a , b].
Đôi khi để cho thuận lợi, viết lại: f(x) = 0 

(x) = (x).
Nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 là giao điểm của đồ thị các hàm y =

(x) và y = (x).

4.1.1 Phương pháp dây cung
Thay cung AB của y = f(x) bởi dây cung AB, lấy x
1
tại giao điểm P của dây
cung với trục hoành làm giá trị gần đúng của nghiệm chính xác . Phương trình dây
cung AB:

ab
aX







Sau khi tính được x
1
ta xét được khoảng phân li nghiệm mới là [a,x
1
] hay
[x
1
,b] rồi tiếp tục áp dụng phương pháp dây cung vào khoảng phân li mới, tiếp tục ta
được x
2
, x
3
, x
4
 ngày càng gần đến nghiệm chính xác .
Sai số ước lượng:
3
1
)]x('f[
)x("f
max
2
)b(f).a(f
x 

Giải:
x
1
= x
0
-
)4,1()(
)4,1)((
0
fxf
xxf
oo


=1,1-
)4,1()1,1(
)4,11,1)(1,1(
ff
f


=1,1-
18254,1
872,0331,0
)3,0)(331,0(






:
f(x) = f(x
0
) + (x - x
0
) f’(x
0
) +
)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)("
!2
)(
1
1
0
0
0
0
2
0
Cf
n
xx
xf
n

0
) = 0 (4.1)
Gọi x
1
là nghiệm của (4.1), ta có: x
1
= x
0
-
)x('f
)x(f
0
0

Tương tự: x
2
= x
1
-
)x('f
)x(f
1
1
,…, x
n + 1
= x
n
-
)x('f
)x(f


Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
39

Hội tụ và sai số
Người ta sẽ áp dụng phương
pháp lặp Newton nếu nghiệm
x
n
  khi n  
Định lý:
Giả sử [a,b] là khoảng phân ly nghiệm 
của phương trình:f(x) = 0, f có đạo hàm f’,


f” với f’ liên tục trên [a,b], f’ và f” không
đổi dấu trên (a, b). Xấp xỉ đầu x
0
chọn là a
hay b sao cho f(x
0
) cùng dấu với f”.
Khi đó x
n
  khi n  .
Cụ thể hơn x
n
đơn điệu tăng tới  nếu f’.f” < 0, và x
n
đơn điệu giảm tới  nếu


Ví dụ:
Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
f(x)= 2
x
-4x
Bằng phương pháp Newton – Raphson với 3 lần lặp (cho x
0
= 0,3)

x
o

x
1

f(x)
f(x)
x
2
x
0
x
1

a

b
p

O
M
A
B
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
40

4.2 Giải hệ phương trình phi tuyến
Ở đây ta đi giải hệ phương trình phi tuyến theo phương pháp lặp Newton-Raphson
Từ khai triển Taylor cho bài toán một biến:
f(x
i + 1
) = f(x
i
) + f’(x
i
)(x
i + 1
- x
i
) +
2
i1i





i
i
i1i
i
i
i1ii1i
i
i
i1i
i
i
i1ii1i
y
v
).yy(
x
v
).xx(vv
y
u
).yy(
x
u
).xx(uu

)2.4(





















x
v
.
y
u
y
v
.
x
u

iiii
i
i
i
i
i1i

)3.4(
)3.4(
b
a

Mẫu số của (4.3a) và (4.3b) gọi là định thức Jacobien (detJ), của hệ thống:

y
v
x
v
y
u
x
u
detJdet
ii
ii






-1
(x
(k)
).f(x
(k)
)
Với ma trận Jacobi F
x
như sau:
F
x
=



















n
1
2
1
1
1
x
f

x
f
x
f
x
f

x
f
x
f
x
f

x
f
x
f

)x('f
)x(f

i
x





Ta lập được bảng tính:
i x
i
(%)
0 0 100
1 0, 5 0 0 0 0 0 0 0 0 11,8
2 0, 5 6 6 3 1 1 0 0 3 0,147
3 0, 5 6 7 1 4 2 1 6 3 0,0000220
4 0, 5 6 7 1 4 3 2 7 0 < 10
-8
2. Cho







057xy3y)y,x(v
010xyx)y,x(u
2
2
cho biết nghiệm (x = 2, y = 3)

Từ đó có:













84387
,2
125,156
)75,36)(5,3()5,6(625,1
5,3y
03603,2
125,156
)5,3(625,1)5,32(5,2
5,1x

Tiếp tục các phần xấp xỉ bị dư  (x = 2 , y = 3)
3. Cho hàm: f(x) = - 0,9x
2
+ 1,7x + 2,5, điểm ban đầu x
0
= 5, chọn 

2. Trình bày cách giải hệ phương trình phi tuyến theo công thức lặp Newton-
Raphson?
3. Tại sao phương pháp lặp Newton – Raphson còn được gọi là phương pháp tiếp
tuyến ?
4. Ưu nhược điểm của các phương pháp lặp để giải phương trình phi tuyến ?
Bài tập:
1) Dùng phương pháp dây cung, tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 10
-2

của:
a) x
3
+ 3x + 5=0
b) x
4
-3x +1=0
2) Áp dụng hai lần phương pháp đây cung, tìm nghiệm thực gần đúng của
phương trình x
3
-10x+5 trong khoảng phân ly(0;0,6). Đánh giá sai số của
nghệm gần đúng x
2
.
3) Cho phương trình x=sin3x, có khoảng phân ly nghiệm là(
3
,
6


). Tìm

85,0cos
32,1
yx
ySinx

Với xấp xỉ đầu(x
0,
y
0
)=(1,80; -0,33).
Đáp số: 2)

51,0


3) x
3
75649,0


4)


)087387,1;704402,0(, 


5)


)34,0;79,1(, 

http://www.info.sciencedirect.com/books
http://db.vista.gov.vn
http://dspace.mit.edu
http://ecourses.ou.edu
http://www.dbebooks.com

The end