Chương 5
TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. Tính gần đúng các giá trị đạo hàm.
1. Áp dụng đa thức nội suy.
-
Hàm f(x) được cho dưới
dạng bảng;
-
Biểu thức giải tích của hàm
quá phức tạp;
-
Thay f(x) bằng đa thức nội
suy P
n
(x).
-
Coi P’
n
(x)là giá trị gần đúng
của f’(x).
);()( xP
dx
d
xf
dx
d
n
≅
( 1 )
a/ Đa thức xấp xỉ trực tiếp:

2
+ 6a
3
x + . . .
( 4 )

b. Đa thức nội suy Niutơn.
P
n
(x) = P
n
(t) với
;
0
h
xx
t
−
=
;
1
hdx
dt
=
);(
1
)()()()('
'
tP
dt

−
+∆+==
⋅⋅⋅+∆
−+−
+
+∆
+−
+∆
−
+∆+=
0
4
234
3
23
2
!4
6116
!3
23
!2
)1(
)(
y
tttt
y
ttt
y
tt
ytytP

)('
y
ttt
y
tt
y
t
y
h
tP
dt
d
h
xf
n
Với công thức nội suy tiến:








⋅⋅⋅+∆
+−
+∆−+∆=⋅=
0
4
2

+
+∆=
−−− 3
3
2
2
2
1
6
263
2
121
)('
nnn
y
tt
y
t
y
h
xf
Chú ý: Tính đạo hàm theo đa
thức nội suy thường chứa sai
số lớn.
(xem hình vẽ).
Nếu sai số của hàm là
r(x) = f(x) – P
n
(x)
sai số của đạo hàm

xfhxf
h
xf −+
=
∆
( 7b )
h
xf )(∆
-
Để tìm h thích hợp tính theo một chuỗi các giá
trị giảm dần của h.
- Coi
khi h đủ nhỏ độ chính xác tới d số
sau dấu phẩy;
)('
)(
xf
h
xf
≈
∆
-
Việc tính dừng lại khi sai số tiệm cận
có giá trị đủ nhỏ.
h
xf
xfhE
)(
)(')(
∆

xf
hD
∆
=
+ Tính ΔD(h).
+ Lặp lại cho đến khi .
d
D
−
<∆ 10
Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại x = 0.
- Đã biết:
;1)0cos()(sin)('
0
===
=x
x
dx
d
xf
- Tính theo ph/pháp gần đúng:
+ Chọn tuỳ ý h ban đầu, ví dụ h = 1; tỷ lệ rút gọn r = 4.
+ Độ chính xác tới 4 con số sau dấu phẩy.
;
)0sin()0sin()()()(
)(
h
h
h
xfhxf





≈=






−






64
1
000038,0
64
1
256
1
EDD
Có thể dùng để đánh giá xấp xỉ sai lệch ở bước tính h
trước
.
Quá trình tính có thể dừng khi ΔD(h) < 10

a
n
b
a
dxxPdxxfI

1. Đa thức xấp xỉ trực tiếp:
⋅⋅⋅+++=
2
210
)( xaxaaxP
n
)
32
(
3
2
2
1
0
⋅⋅⋅+++= x
a
x
a
xaI
a
b
2. Đa thức Niutơn thứ nhất:
;)()()(
)(

:
;
110
bxxxxxa
nni
=<<⋅⋅⋅⋅⋅⋅<<=
−
x
i
= a + ih ;
;
n
ab
h
−
=

Bậc của đa thức được chọn công thức tính tương ứng.
n = 0 công thức hình chữ nhật;
n = 1 công thức hình thang;
n = 2 công thức Simsơn 1/3;
n = 3 công thức Simsơn 3/8;
a/ Công thức hình thang.
;)()()()(
1
2
1
1
0
∫∫∫∫

0
t = 0; x = x
1
t = 1
)
2
()()(
0
2
0
1
0
001
1
0
y
t
tyhdtytyhdxxP
x
x
∆+=∆+=
∫ ∫
t=0
t=1
;
2
)
2
1
()(

ii
x
x
ii
yy
hdtytyhdxxf
i
i
x
0
x
1
M
0
M
1
[ ]
;)()()(
2
12110 nn
yyyyyy
h
I ++⋅⋅⋅++++=
−
);222(
2
121
0
nn
yyyyy

=+=
- Cho hàm f(x):
;)()()()(
2
22
4
2
2
0
∫∫∫∫
=
=
−
+⋅⋅⋅++=
n
n
xb
x
x
x
x
xa
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxf
- f(x) đa thức nội suy Niutơn bậc 2:
;
!2
)1(
!1

2
t = 2;

;)
!2
)1(
()(
0
2
2
0
0
02
2
0
dty
tt
ytyhdxxP
x
x
∆
−
+∆+=
∫ ∫
;2;
0120
2
010
yyyyyyy +−=∆−=∆


2






∆








−+∆+=
0
2
00
2
4
3
8
2
1
22 yyyh
);4(
3
21

)(
212
22
43
2
21
0
nn
n
b
a
yyyyyyyyy
h
dxxf +++⋅⋅⋅++++++=
−
−
∫
);(
12
2
abh
M
R −=
n
ab
h
2
−
=
với