lý thuyết tập mờ và ứng dụng của nó
trong việc giải bài toán lập luận xấp xỉ
ThS. nguyễn văn long
Bộ môn Toán - ĐH GTVT
Tóm tắt: Trong bi báo ny, chúng tôi nêu lên một vi khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập
mờ v trình by ứng dụng của nó trong bi toán lập luận xấp xỉ thông qua việc tích hợp mờ đồng
thời nêu lên những nét chính thu đợc khi xây dựng hm ngữ nghĩa định lợng lm tiền đề cho
việc xây dựng phơng pháp lập luận xấp xỉ dựa trên đại số gia tử. Các kết quả đó có tác dụng
rất lớn trong quá trình điều khiển tự động hoá đáp ứng sự phát triển của công nghệ thông tin
hiện nay.
Summary: The article introduces several basic concepts of Fuzzy theory and its
application to approximating by means of fuzzy integration. The output is of great use in
automatic control for humal life.
I. Mở đầu
Các hệ lôgíc cổ điển đã cung cấp cho toán học phơng pháp lập luận dựa trên các giả thiết
là chính xác (nghĩa là có trị chân lý đúng hoặc sai mà thôi). Song các tri thức mà hàng ngày
chúng ta có đợc hầu hết là không có đợc tính chất đó. Sở dĩ nh vậy là vì ngôn ngữ mà con
ngời dùng là tập hữu hạn, trong khi thế giới quanh ta thì lại muôn hình muôn vẻ. Chúng ta dùng
cái hữu hạn để mô tả, thể hiện, t duy những cái vô hạn thì ắt hẳn sẽ không tuyệt đối chính xác
đợc. Vì vậy, nếu chỉ dừng lại ở 2 trị chân lý đúng và sai của lôgíc cổ điển thì cha mô phỏng
hết đợc tính chất thực của thực tế. Đó là lý do mà lý thuyết tập mờ, lôgíc mờ đợc xuất hiện vào
năm 1965 mà ngời khởi xớng là L. Zadeh. Nó đã cố gắng mô tả một cách toán học những
khái niệm mơ hồ mà ta thờng gặp trong đời sống (chẳng hạn: "cao", "thấp", "đúng", "sai" )
bằng một tập mờ. Nhờ việc xây dựng lý thuyết tập mờ mà ngời ta có thể suy diễn từ khái niệm
mơ hồ này đến đến khái niệm mơ hồ khác mà bản thân lôgíc kinh điển không làm đợc. Trên cơ
sở cái gần chính xác thu đợc ngời ta có thể đa ra những quyết định chính xác cho từng tình
huống của bài toán.
II. Tập mờ - quan hệ mờ

Cũng giống nh tập hợp thông thờng ta có các phép toán trên các tập mờ, chẳng hạn cho
F, G là 2 tập mờ trên cùng một không gian tham chiếu V, ta có:
a) Phép đồng nhất: F = G nếu u V:
F
(u) =
G
(u).
b) Phép bao hàm: F G nếu u V:
F
(u)
G
(u).
c) Phép hợp: H = F G là tập mờ có hàm thuộc là
F

G
xác định x V:
F

G
(x) =
max{
F
(x),
G
(x)}
d) Phép giao: H = F G là tập mờ có hàm thuộc
F

G

các mệnh đề lôgíc mờ nh sau: "x là A" đợc biểu thị bằng hàm thuộc là
A
(x); "x không là A"
đợc biểu thị bằng hàm thuộc là 1 -
A
(x) (hay chính là: "x là
A
"). "x là A hay B"; "x là A và B"
đợc xác định tơng ứng bởi các tập mờ A B; A B với các hàm thuộc là
A

B
,



nói ở
phần trên. Trong trờng hợp A và B là các tập mờ trên các không gian tham chiếu khác nhau U,
V, ta định nghĩa mệnh đề phức hợp "x là a hay y là B" "x là A và y là B"; tơng ứng với các tập
mờ: A B; A B trên tập tham chiếu U x V với các hàm thuộc tơng ứng là:
A

B
,
A

B
,:
U x V [0,1] nh sau:


Trong lôgíc kinh điển ta có suy diễn modus ponens:

B
BA,A
nghĩa là biết A đúng, A B đúng thì kết luận đợc B (B đúng) (A,
B là các tập rõ), chuyển sang lôgíc mờ ta có suy diễn modus ponens mở rộng:
B
BA,A
hiểu là

"n
ế
u x là A"; "nếu x là A thì
y
là B ";
"y là B"

(A, B là các tập mờ). Song cách hiểu ở đây không áp đặt hoàn toàn nh hiểu kinh điển
đợc, vì nếu nh vậy thì nội dung thu đợc không giúp gì trong việc lập luận dựa trên các tri thức
mờ. Tuy nhiên nó "gợi ý" cho ta cách nhìn tơng tự. Giả sử ta có tri thức mờ "x là A thì y là B" và
một sự kiện mờ "x là A*". Liệu có thể xác định đợc tập mờ B* để từ các giả thiết trên ta có "y là
B*" hay không? Quy tắc sau đây sẽ giải quyết đợc vấn đề đó trong suy diễn mờ.
Giả thiết: "nếu x là A thì y là B", "nếu x là A*"
Kết luận: "y là B*"
Vậy B* tìm bằng cách nào, đó là vấn đề mà chúng ta cần phải giải quyết bằng lập luận xấp
xỉ.
IV. Lập luận xấp xỉ
1. Mô hình
a) Mô hình lập luận mờ đơn điều kiện
Giả thiết: Nếu quả ớt = đỏ thì quả ớt = chín

A. Phơng pháp xấp xỉ dựa trên tích hợp mờ
Để giải quyết vấn đề trên ta làm các bớc sau:
* Mỗi một mô tả đợc gắn 1 tập mờ:
Ai
: V [0,1],
Bi
: V [0,1] (do các chuyên gia cung
cấp).
* Mỗi mệnh đề "nếu - thì" đợc biểu thị thông qua quan hệ mờ nh sau: Mệnh đề nếu X = A
i

thì Y = B
i
đợc hiểu là "nếu X =
Ai
(x) thì Y =
Bi
(v)" và mệnh đề mờ này đợc biểu thị bằng quan
hệ mờ: R
i
(u, v) = max {1-
Ai
(u),
Bi
(v)}
* Tích hợp các quan hệ mờ thu đợc (theo max hoặc min) chẳng hạn theo max thì kết quả
tích hợp của R
i
(u,v) là: R(u,v) = {R
i

0
ta
thu đợc giá trị số của đầu ra.
B. Phơng pháp nội suy
Theo mô hình đa điều kiện thì mỗi một điều kiện ta thu đợc cặp (A
i
, B
i
), n,1i= giả sử biết
đầu vào là A
o
, khi đó xác định đầu ra B
o
thế nào để hệ điều kiện trên là tơng thích một cách tối
u đối với B
o
. Bởi vậy nguyên tắc chung của nội suy là nếu A
o
"gần" nào đó hơn các A
0
i
A
i
còn
lại thì B
o
cũng "gần" tơng ứng hơn các B
0
i
B

tơng ứng với A
o
bằng cách sử dụng phơng pháp tích hợp mờ.
b) Phơng pháp nội suy dựa trên đại số gia tử
Nh nói ở trên, vấn đề là phải đa ra định lợng để xấp xỉ B
o
. Khác với cách tiếp cận ở
phần a/, trong phần này chúng tôi đa ra định lợng dựa trên đại số gia tử bằng cách xây dựng
một cơ sở chặt chẽ cho hàm ngữ nghĩa định lợng. Dựa vào hàm ngữ nghĩa định lợng này ta sẽ
có phơng pháp lập luận xấp xỉ bằng nội suy dựa trên đại số gia tử
b1. Xây dựng hàm độ mờ - hàm ngữ nghĩa định lợng
Giả sử ta có đại số gia tử mở rộng đầy đủ
AX* = (X*, H, G, , , ) trong [2].
Định nghĩa 1: Một ánh xạ f đợc gọi là ánh xạ ngữ nghĩa định lợng (hay còn gọi làm hàm
ngữ nghĩa định lợng) của X* nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
Q1) f là song ánh;
Q2) f bảo toàn thứ tự trên X*, tức là x < y kéo theo f(x) < f(y), và f(0) = 0, f(1) = 1;
Q3) x X*, f(x) = infimum f(H(x)) và f(x) = supremum f(H(x)).
Q4)
()()()
()()()
xHfd
hxHfd
=
()()()
()()(
)
yHfd
HyHfd
với h H, x, y bất kỳ DOM (X*)

m
(1) = 0;
F3) x, y
X*, h H, ta có
)x(f
)hx(f
m
m
=
(
)
()
yf
hyf
m
m
, nghĩa là tỷ số này không phụ thuộc vào
một phần tử cụ thể nào và do đó ta có thể ký hiệu nó bằng (h) và đợc gọi là độ đo tính mờ
của gia tử h.
Từ định nghĩa 2 ta thấy f
m
có các tính chất sau:
Mệnh đề: Mỗi một độ đo tính mờ f
m
của các khái niệm và (h) của các gia tử thoả mãn các
tính chất sau:
1) f
m
(hx) = (h) f
m

0i,qi
m
(h
i
x) = f
m
(x);
5) Độ đo tính mờ của gia từ phải thoả mãn các đẳng thức: (h


=
q
1i
i
) = và

(h
=
P
1i
i
) = ,
với , > 0 và + = 1.
Định nghĩa 3: (Hàm sign). Hàm dấu sign: X
*
{-1, 0, 1} là ánh xạ đợc định nghĩa đệ quy
nh sau, trong đó h và h' là các gia tử bất kỳ và c {c
_
, c
+

); v(c
-
) = - .f
m
(c
-
); v(c
+
) = + . f
m
(c
+
)
ii) v(h
j
x) = v(x) + sign(h
j
x) {

f
=
j
1i
m
(h
i
x) - (h
j
x). f
m

p
h
j
x) ( - )] {, }
Định lý 1: i) Hàm v: DOM(X*) [0,1] là hàm ngữ nghĩa định lợng
ii) Hàm độ mờ f
m
(x) của AX* thoả mãn: f
m
(x) = d[v(H(x))]
Hệ quả: Với mọi hàm f
m
(x) là độ đo mờ của AX*, luôn tồn tại hàm ngữ nghĩa định lợng
f: DOM(X*) [0,1] sao cho d f[H(x))] = f
m
(x).

Định lý 2: Giả sử AX* = (X*, H, G, , , ) là đại số gia tử mở rộng đầy đủ, sinh tự do, (nghĩa
là mọi x X*, mọi h H
*
thì hx x). ánh xạ f : X
*
[0,1] là hàm ngữ nghĩa định lợng. Khi đó
f
m
(x) = d[f(H(x))] là hàm độ đo tính mờ của AX
*
.
Dựa trên hàm ngữ nghĩa định lợng v trong định nghĩa 4 ta sẽ đa ra phơng pháp nội suy
sau đây

,X
~
()
ii
y
~
,x
~
Y
~
xX
~
()()()
ii
y
~
f,x
~
f
C
~
b3. So sánh hai phơng pháp
(+) Phơng pháp nội suy dựa trên đại số gia tử cho ta một cách trực quan, rõ ràng về cách
thức giải bài toán. Phơng pháp này cho sai số nhỏ.
(+) Phơng pháp nội suy bằng lý thuyết mờ: có nhiều yếu tố gây sai số nh: xây dựng hàm
thuộc, chọn giải nghĩa mệnh đề "nếu thì" bằng quan hệ mờ, chọn toán tử kết nhập các quan
hệ, chọn phép tính hợp để có output, chọn phơng pháp khử mờ.
V. Kết luận
Các phơng pháp lập luận xấp xỉ đối với mô hình đa điều kiện mờ cho phép chúng ta xác
định đợc giá trị của biến cần tìm một cách xấp xỉ dựa trên một loạt các dữ kiện không chính xác