Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 125
Bài toán SH1b
Cho các miền D = 3
+
, H = D ì 3
+
và hàm p C(3
+
, 3)
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng

2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


với (x, t) H
0
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0,
t

u


= a
2
2
2
x
u


+ f(x, t) với (x, t) H
0
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = h(x)
và điều kiện biên
u(0, t) = p(t)

Tìm nghiệm của bài toán SH1 dới dạng u(x, t) = u
a
(x, t) + u
b
(x, t)
trong đó u


atx
1
d)t,(fdd)(hd)(g
ta2
1

+ (t -
a
x
)p(t -
a
x
) (7.6.3)

Định lý
Cho các hàm f C(H, 3), g C
2
(D, 3), h C
1
(D, 3) và p C
2
(3
+
, 3) thoả
g(0) = 0, h(0) = 0 và f(0, t) = 0
Bài toán SH1 có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức (7.6.3) với f
1
, g
1
và

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w

x
u


+ 2xt với (x, t)


3
+
ì3
+

u(x, 0) = sinx,
t
u


(x, 0) = 2x
u(0, t) = sint
Do các hàm f, g và h là hàm lẻ nên các hàm kéo dài lẻ f
1
= f, g
1
= g và h
1
= h. Thay vào
công thức (7.6.3) chúng ta có
u(x, t) =



)sin(t -
2
x
)
= sinxcos2t + 2xt +
6
1
xt
3
+

(t -
2
x
)sin(t -
2
x
) với (x, t)


3
+
ì

3
+Nhận xét Phơng pháp trên có thể sử dụng để giải các bài toán giả Cauchy khác.


u


với (x, t)

H
0
(7.7.1)
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = h(x) (7.7.2)
và điều kiện biên
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (7.7.3)

Bài toán HH1a đợc giải bằng phơng pháp tách biến mà nội dung của nó nh sau
Tìm nghiệm của bài toán HH1a dạng tách biến
u(x, t) = X(x)T(t)
Đạo hàm u(x, t) hai lần theo x, theo t sau đó thế vào phơng trình (7.7.1)
X(x)T(t) = a
2
X(x)T(t) suy ra
)x(X
)x(X


=

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i


Phơng trình vi phân (7.7.4) có phơng trình đặc trng
k
2
+ = 0
Nếu = -
2
thì phơng trình (7.7.4) có nghiệm tổng quát X(x) = C
1
e
-

x
+ C
2
e

x

Thế vào điều kiện (7.7.6) giải ra đợc C
1
= C
2
= 0. Hệ chỉ có nghiệm tầm thờng.
Nếu = 0 thì phơng trình (7.7.4) có nghiệm tổng quát X(x) = C
1
+ C
2
x
Trờng hợp này hệ cũng chỉ có nghiệm tầm thờng.

2
l
k







, k
*

Thế các
k
vào phơng trình (7.7.5) giải ra đợc
T
k
(t) = B
k
cos t
l
ak

+ C
k
sin t
l
ak


= A
k
B
k
, b
k
= A
k
C
k
, k
* Tìm nghiệm tổng quát của bài toán HH1a dạng chuỗi hàm
u(x, t) =

+
=1k
k
)t,x(u
=

+
=






= g(x) và
t
u


(x, 0) =

+
=

1k
k
x
l
k
sinb
l
ak
= h(x)
Nếu các hàm g và h có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, l] thì
a
k
=


l
0
xdx
l
k

tính theo công thức (7.7.8) là nghiệm duy nhất và
ổn định của bài toán HH1a.

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u

w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 128 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Chứng minh
Các hàm g và h theo giả thiết thoả mn điều kiện Dirichlet do đó khai triển đợc thành
chuỗi Fourier hội tụ đều và có các chuỗi đạo hàm hội tụ đều trên đoạn [0, l].
Suy ra chuỗi hàm (7.7.7) với các hệ số a
k
và b
k
tính theo công thức (7.7.8) là hội tụ đều
và các chuỗi đạo hàm riêng đến cấp hai của nó cũng hội tụ đều trên miền H. Do vậy có
thể đạo hàm từng từ hai lần theo x, theo t trên miền H. Kiểm tra trực tiếp thấy rằng chuỗi
(7.7.7) và các chuỗi đạo hàm riêng của nó thoả mn phơng trình (7.7.1) và các điều

=
12n k
)1n2(
8l
2n k 0
22
2
và b
k
= 0 với k
*
Suy ra nghiệm của bài toán
u(x, t) =

+
=
++
+
0n
33
2
x
l
)1n2(
sint
l
a)1n2(
cos
)1n2(
1l8



(x, 0) = 0
và điều kiện biên
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0
Tìm nghiệm bài toán HH1b dới dạng chuỗi hàm
u(x, t) =

+
=

1k
k
x
l
k
sin)t(T
(7.8.1)
Khai triển Fourier hàm f(x, t) trên đoạn [0, l]
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

Sau đó thế vào bài toán HH1b

+
=
















+

1k
k
2
k
x
l
k
sin)t(T

1k
k
x
l
k
sin)0(T
= 0
Chúng ta nhận đợc họ phơng trình vi phân hệ số hằng
)t(T
k


+
2
l
ak







T
k
(t) = f
k
(t)
T
k

u


= a
2
2
2
x
u


+ f(x, t) với (x, t) H
0
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = h(x)
và điều kiện biên
u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t)

Tìm nghiệm bài toán HH1 dới dạng
u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + p(t) +
l
x
(q(t) - p(t)) (7.8.3)
Trong đó hàm v(x, t) là nghiệm của bài toán HH1a
Click to buy NOW!

c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d