Bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
trờng đại học khoa học

nguyễn gia định
giáo trình

CƠ Sở TOáN HọC {a}
{a,b,c}
{a,b}

{c}
{b}

ib˘a
´
td¯ˆa
`
u nghiˆen c´u
.
u to´an ho
.
cthu
.
`o
.
ng ca
’
m thˆa
´
y kh´o xˆay
du
.
.
ng th´oi quen ph´at biˆe
’
umˆo
.
t c´ach ch˘a
.
t ch˜e nh˜u
.
ng ´y kiˆe
´

ncu
’
a to´an ho
.
c. Nh˜u
.
ng kh´o kh˘an n`ay du
.
`o
.
ng nhu
.
b˘a
´
t nguˆo
`
nt`u
.
chˆo
˜
:mˆo
.
tl`a
khˆong d¯u
.
o
.
.
c luyˆe
.

´
u c´ac kh´ai
niˆe
.
mco
.
ba
’
n v`a c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap d`ung trong l´y thuyˆe
´
ttˆa
.
pho
.
.
p m`a ng`ay nay
thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c ´ap du

.
, ...); ba
l`a do khˆong n˘a
´
md¯u
.
o
.
.
cnh˜u
.
ng kh´ai niˆe
.
mco
.
ba
’
ncu
’
ad¯a
.
isˆo
´
tr`u
.
utu
.
o
.
.

.
isˆo
´
cu
’
a c´ac tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
quen thuˆo
.
c (nhu
.
tˆa
.
p c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen, tˆa
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen, tˆa
.
p c´ac sˆo

.
ng viˆen ma
.
nh m˜e cu
’
a c´ac d¯ˆo
`
ng nghiˆe
.
p trong c´ac Khoa To´an-
Co
.
-Tin ho
.
c, Cˆong nghˆe
.
Thˆong tin v`a Vˆa
.
tl´y(Tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Khoa ho
.

.
cHuˆe
´
)v`a
d¯ ˘a
.
cbiˆe
.
t do nhu cˆa
`
uho
.
ctˆa
.
pcu
’
a c´ac sinh viˆen trong D
-
a
.
iho
.
cHuˆe
´
o
.
’
c´ac Khoa
n´oi trˆen, ch´ung tˆoi ma
.

.
o
.
.
c tr`ınh
b`ay ta
’
nma
.
nv`ar`o
.
ira
.
c). D
-
iˆe
`
u m`a ch´ung tˆoi mong muˆo
´
n l`a c´ac kiˆe
´
nth´u
.
ccu
’
a
ho
.
c phˆa
`

.
tsˆo
´
ng`anh k˜y thuˆa
.
t kh´ac cu
’
a c´ac tru
.
`o
.
ng d¯a
.
iho
.
c v`a cao d¯˘a
’
ng. V´o
.
isu
.
.
nˆo
’
lu
.
.
chˆe
´
t m`ınh cu

so
.
’
To´an ho
.
c
Nˆo
.
i dung cu
’
a t`ai liˆe
.
u n`ay d¯u
.
o
.
.
cbˆo
´
tr´ı trong 6 chu
.
o
.
ng. Trong c´ac phˆa
`
ncu
’
a
mˆo
˜

icu
’
amˆo
˜
ichu
.
o
.
ng l`a nh˜u
.
ng b`ai tˆa
.
pd¯u
.
o
.
.
ccho
.
nlo
.
c
t`u
.
dˆe
˜
d¯ ˆe
´
n kh´o b´am theo nˆo
.

Anh xa
.
, Quan hˆe
.
,Sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen v`a sˆo
´
nguyˆen, Sˆo
´
h˜u
.
utı
’
,sˆo
´
thu
.
.
c v`a sˆo
´
ph´u
.
c, D
-
ath´u
.

d`anh cho Khoa To´an-Co
.
-Tin ho
.
c (Tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Khoa ho
.
c-D
-
a
.
iho
.
cHuˆe
´
)vˆe
`
su
.
.
gi´up d¯˜o

o
.
.
csu
.
.
chı
’
gi´ao cu
’
a c´ac d¯ˆo
`
ng nghiˆe
.
p v`a d¯ˆo
.
c gia
’
vˆe
`
nh˜u
.
ng thiˆe
´
u s´ot kh´o tr´anh kho
’
icu
’
a cuˆo
´

NG I:
L
ˆ
OGIC TO
´
AN V
`
AT
ˆ
A
.
PHO
.
.
P
1.1. L
ˆ
OGIC TO
´
AN.
1.1.1. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
v`a c´ac ph´ep to´an lˆogic:
1.1.1.1. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
: Mˆe

.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung.
2) M˘a
.
t tr`o
.
i quay quanh tr´ai d¯ˆa
´
t: mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sai.
3) Tam gi´ac ABC c´o 3 g´oc vuˆong: mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sai.
4) 2 < 5: mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung.
C´ac cˆau ho
’
i, cˆau ca
’
m th´an, cˆau mˆe

n h d¯ ˆe
`
, ta khˆong quan tˆam d¯ˆe
´
ncˆa
´
u tr´uc ng˜u
.
ph´ap c˜ung nhu
.
´y ngh˜ıa nˆo
.
i dung cu
’
amˆe
.
n h d¯ ˆe
`
m`a chı
’
quan tˆam d¯ˆe
´
n t´ınh d¯´ung sai cu
’
amˆo
˜
imˆe
.
nh
d¯ ˆe

.
cviˆe
´
t p = 1 khi p l`a mˆe
.
nh d¯ˆe
`
d¯ ´ung v`a
p = 0 khi p l`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sai. C´ac gi´a tri
.
0 v`a 1 go
.
i l`a c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a c´ac
mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
.
George Boole d¯˜a nghiˆen c´u
.
uphu
.

d¯˜a c´o. C´ac mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
m´o
.
id¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`a
c´ac mˆe
.
nh d¯ˆe
`
ph´u
.
cho
.
.
p, ch´ung d¯u
.
o
.
.
cta
.

.
c l`a “khˆong
p”, l`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sai khi p d¯ ´ung v`a d¯´ung khi p sai.
Ph´ep phu
’
d¯ i
.
nh trong lˆogic mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
ph`uho
.
.
pv´o
.
i ph´ep phu
’
d¯ i
.
nh trong ngˆon
ng˜u
.
thˆong thu
.
`o

” (S).
2) p: “v´o
.
imo
.
isˆo
´
thu
.
.
c x, y, (x + y)
2
< 0” (S), p: “tˆo
`
nta
.
isˆo
´
thu
.
.
c
x, y, (x + y)
2
≥ 0” (D
-
).
1.1.1.3. Ph´ep hˆo
.
i: Hˆo

la
.
i.
Ph´ep hˆo
.
i ph`u ho
.
.
pv´o
.
i ´y ngh˜ıa cu
’
a liˆen t`u
.
“v`a” cu
’
a ngˆon ng˜u
.
thˆong thu
.
`o
.
ng.
Th´ıdu
.
:1)p: “2 l`a sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
”(D

utı
’
” (S) l`a hˆo
.
icu
’
a hai mˆe
.
nh d¯ˆe
`
“Sˆo
´
π l´o
.
nho
.
n 3” (D
-
) v`a “Sˆo
´
π l`a mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
utı
’
” (S).
1.1.1.4. Ph´ep tuyˆe

i tru
.
`o
.
ng
ho
.
.
p c`on la
.
i.
Ph´ep tuyˆe
’
n´u
.
ng v´o
.
i liˆen t`u
.
“ho˘a
.
c” trong ngˆon ng˜u
.
thˆong thu
.
`o
.
ng theo ngh˜ıa
khˆong loa
.

ng 5” (S) th`ı p ∨ q: “3 nho
’
ho
.
n
ho˘a
.
cb˘a
`
ng 5” (D
-
).
2) p: “Paris l`a thu
’
d¯ ˆo n u
.
´o
.
c Anh” (S) v`a q: “6 l´o
.
nho
.
n 8” (S) th`ı p ∨ q:
“Paris l`a thu
’
d¯ ˆo n u
.
´o
.
c Anh ho˘a

’
hai)”, l`a mˆo
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung khi chı
’
c´o mˆo
.
t trong
hai mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
p v`a q l`a d¯´ung v`a sai trong mo
.
i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c`on la
.
i.
Ph´ep tuyˆe
’

h˜u
.
utı
’
” (S) v`a q:“
√
2l`amˆo
.
tsˆo
´
vˆo tı
’
”(D
-
)th`ı p ⊕ q:
“
√
2l`amˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
utı
’
ho˘a
.
c l`a mˆo
.
tsˆo

.
i.
Trong ph´ep k´eo theo n´oi trˆen, p d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a gia
’
thiˆe
´
t, c`on q d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
il`akˆe
´
t
luˆa
.
n.
V`ı ph´ep k´eo theo xuˆa
´
thiˆe
.

.
n h d¯ ˆe
`
p ⇒ q.Du
.
´o
.
i d¯ˆay l`a mˆo
.
tsˆo
´
th´ı
du
.
thu
.
`o
.
ng g˘a
.
p nhˆa
´
t.
–“Nˆe
´
u p th`ı q”,
–“p k´eo theo q”,
–“T`u
.
p suy ra q”,

tmˆe
.
nh
d¯ ˆe
`
k´eo theo v`a d¯u
.
o
.
.
c xem l`a d¯´ung tr`u
.
phi hˆom nay tr`o
.
i thu
.
.
csu
.
.
n˘a
´
ng, nhu
.
ng
ch´ung tˆoi khˆong d¯i ra b˜ai biˆe
’
n.
2) “Nˆe
´

.
n trong ngˆon ng˜u
.
thˆong thu
.
`o
.
ng. Kh´ai niˆe
.
m to´an ho
.
cvˆe
`
ph´ep k´eo theo
d¯ ˆo
.
clˆa
.
pv´o
.
imˆo
´
i quan hˆe
.
nhˆan - qua
’
gi˜u
.
a gia
’

u tr´uc d¯u
.
o
.
.
c d`ung trong lˆogic to´an. D
-
asˆo
´
c´ac ngˆon ng˜u
.
lˆa
.
p tr`ınh
ch´u
.
anh˜u
.
ng cˆau lˆe
.
nh nhu
.
nˆe
´
u p th`ı S (if p then S), trong d¯´o p l`a mˆo
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`

.
chiˆe
.
nmˆo
.
t chu
.
o
.
ng tr`ınh g˘a
.
pnh˜u
.
ng cˆa
´
utr´uc nhu
.
vˆa
.
y, S s ˜e d¯ u
.
o
.
.
c thu
.
.
c
hiˆe
.

.
ng d¯u
.
o
.
ng q”, k´y hiˆe
.
ul`ap ⇔ q,
l`a mˆo
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung khi p v`a q c´o c`ung gi´a tri
.
chˆan l´y v`a sai trong c´ac tru
.
`o
.
ng
ho
.
.
p c`on la
.
i.
D
-
i

´
u” cu
’
a ngˆon ng˜u
.
thˆong thu
.
`o
.
ng. Trong to´an ho
.
c,
mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
“p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng q”c´othˆe
’
diˆe
˜
nd¯a
.

’
ABC cˆan l`a hai g´oc o
.
’
d¯´ay cu
’
a n´o b˘a
`
ng
nhau.
2) Dˆa
´
ub˘a
`
ng xa
’
y ra trong bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c Cauchy
n
√
a
1
a
2
...a

1.1.1.8. C´ac ph´ep to´an lˆogic v`a c´ac ph´ep to´an bit: C´ac m´ay t´ınh d`ung
c´ac bit d¯ˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n thˆong tin. Mˆo
.
t bit c´o hai gi´a tri
.
l`a 0 v`a 1.
´
Y ngh˜ıa cu
’
at`u
.
n`ay b˘a
´
t nguˆo
`
nt`u
.
binary digit (sˆo
´
nhi
.
phˆan). Thuˆa
.
tng˜u

’
udiˆe
˜
n gi´a tri
.
d¯ ´ung v`a bit 0 d¯ˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n gi´a tri
.
sai.
Tas˜ed`ung c´ac k´yhiˆe
.
u NOT, AND, OR, XOR thay cho c´ac ph´ep to´an
−,∧,∨,⊕ nhu
.
thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c l`am trong c´ac ngˆon ng˜u
.

.
.
c d`ung d¯ˆe
’
thao t´ac c´ac thˆong tin d¯´o. Ta c´o thˆe
’
mo
.
’
rˆo
.
ng c´ac ph´ep to´an bit
t´o
.
i c´ac xˆau bit. Ta d¯i
.
nh ngh˜ıa c´ac OR bit, AND bit v`a XOR bit d¯ˆo
´
iv´o
.
i hai xˆau
5
bit c´o c`ung chiˆe
`
u d`ai l`a c´ac xˆau c´o c´ac bit cu
’
ach´ung l`a c´ac OR, AND v`a XOR
cu
’
a c´ac bit tu

.
ng lˆogic cu
’
a c´ac cˆong th´u
.
c:
Trong lˆogic mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
, ngu
.
`o
.
i ta d¯u
.
a ra kh´ai niˆe
.
m cˆong th´u
.
c, tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
kh´ai niˆe

c,
3) Chı
’
chˆa
´
p nhˆa
.
n c´ac cˆong th´u
.
cd¯u
.
o
.
.
c th`anh lˆa
.
pb˘a
`
ng viˆe
.
c ´ap du
.
ng mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
uha
.

c´o cu
’
a c´ac biˆe
´
nmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
c´o m˘a
.
t trong A.
Cˆong th´u
.
c A go
.
i l`a h˘a
`
ng sai nˆe
´
u A nhˆa
.
n gi´a tri
.
0v´o
.
imo
.
ihˆe
.
gi´a tri

ng d¯´ung, c˜ung khˆong pha
’
i l`a mˆau thuˆa
’
n
d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
il`atiˆe
´
p liˆen.
1.1.2.3. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Hai cˆong th´u
.
c A v`a B d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a tu
.

’
ng th´u
.
c.
1.1.2.4. C´ac tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng lˆogic co
.
ba
’
n:
1) Luˆa
.
td¯ˆo
`
ng nhˆa
´
t:
p ∧ 1 ≡ p, p ∨ 0 ≡ p.
2) Luˆa
.
tnuˆo
´
t:

.
t phˆan phˆo
´
i:
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p∧ q) ∨ (p ∧ r),p∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
8) Luˆa
.
t De Morgan:
p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q.
9) Mˆo
.
tsˆo
´
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng tiˆe
.
n ´ıch:
p ∧
p ≡ 0,p∨ p ≡ 1,
p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q)∧ (q ⇒ p),p⇔ q ≡
p ⇔ q,
(p ⇒ q) ≡ (
p ∨ q),

umˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯˜a c´o.
Phˆan t´ıch c´ac suy luˆa
.
n trong ch´u
.
ng minh to´an ho
.
c, ngu
.
`o
.
i ta thˆa
´
ymˆo
˜
ich´u
.
ng
minh bao gˆo
`
mmˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.

.
ng mˆo
.
t quy t˘a
´
c suy luˆa
.
ntˆo
’
ng qu´at d¯ˆe
’
t`u
.
c´ac mˆe
.
nh d¯ˆe
`
d¯ ˜a d¯ u
.
o
.
.
cth`u
.
a nhˆa
.
n l`a d¯´ung (tiˆen d¯ˆe
`
,d¯i
.

.
o
.
.
cth`u
.
a nhˆa
.
n l`a d¯´ung l`a c´ac tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
, c`on mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
m´o
.
id¯u
.
o
.
.
c r´ut ra (nh`o
.
vˆa
.
n
du
.

˜
ndi
.
ch hay go
.
it˘a
´
t l`a suy diˆe
˜
n.
1.1.3.2. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Gia
’
su
.
’
A
1
,A
2
,... ,A
n
,B l`a nh˜u
.
ng cˆong th´u
.
c. Nˆe

.
n gi´a tri
.
1c˜ung d¯ˆo
`
ng th`o
.
i l`am cho B nhˆa
.
n gi´a tri
.
1,
t´u
.
cl`aA
1
∧ A
2
∧ ...∧ A
n
⇒ B l`a mˆo
.
t cˆong th´u
.
ch˘a
`
ng d¯´ung, th`ı ta go
.
i B l`a hˆe
.

n
t´o
.
ihˆe
.
qua
’
lˆogic B cu
’
ach´ung.
7
Quy t˘a
´
c suy luˆa
.
n d¯ ´o d¯ u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
u l`a:
A
1
,A
1
,... ,A
n
B

3)
p, p ⇒ q
q
(Quy t˘a
´
ckˆe
´
t luˆa
.
n - Modus ponens).
4)
p ⇒ q,
q
p
(Quy t˘a
´
ckˆe
´
t luˆa
.
n ngu
.
o
.
.
c - Modus tollens).
5)
p ⇒ q, q ⇒ r
p ⇒ r
(Quy t˘a

n).
8)
p ⇒ r, q ⇒ r
p ∨ q ⇒ r
(Quy t˘a
´
c t´ach tuyˆe
’
n gia
’
thiˆe
´
t).
9)
p ⇒ q, p ⇒ r
p ⇒ q ∧ r
(Quy t˘a
´
chˆo
.
ikˆe
´
t luˆa
.
n).
10)
q ⇒ p
p ⇒ q
(Quy t˘a
´

.
i d¯ang mu
.
a (d¯´ung)
Kˆe
´
t luˆa
.
n: Sˆan u
.
´o
.
t (d¯´ung).
2) Cho: Nˆe
´
u hai g´oc d¯ˆo
´
id¯ı
’
nh (p)th`ıb˘a
`
ng nhau (q) (d¯´ung)

A v`a

B khˆong b˘a
`
ng nhau (d¯´ung)
Kˆe
´

`
u c´o c´ac d¯u
.
`o
.
ng ch´eo vuˆong g´oc (p ⇒ r) (d¯´ung).
8
1.1.3.4. Suy luˆa
.
n nghe c´o l´y: Suy luˆa
.
n nghe c´o l´y l`a suy luˆa
.
n khˆong theo mˆo
.
t
quy t˘a
´
c suy luˆa
.
ntˆo
’
ng qu´at n`ao d¯ˆe
’
t`u
.
nh˜u
.
ng tiˆe
`

cch˘a
´
n
d¯ ´ung, m`a chı
’
c´o t´ınh chˆa
´
tdu
.
.
d¯o´an, gia
’
thuyˆe
´
t.
Trong to´an ho
.
c c´o hai kiˆe
’
u suy luˆa
.
n nghe c´o l´ythu
.
`o
.
ng d`ung, d¯´o l`a
– Ph´ep quy na
.
p khˆong ho`an to`an,
– Ph´ep tu

`o
.
ng th˘a
’
ng th´u
.
ba th`ı song song v´o
.
i nhau”, ch´ung ta nˆeu ra mˆo
.
t
“du
.
.
d¯o´an”: “Hai m˘a
.
t ph˘a
’
ng c`ung vuˆong g´oc v´o
.
imˆo
.
tm˘a
.
t ph˘a
’
ng th´u
.
ba th`ı song
song v´o

+1, 2
2
2
+1, 2
2
3
+1, 2
2
4
+ 1 l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
.
Kˆe
´
t luˆa
.
n: v´o
.
imo
.
isˆo
´
tu
.
.
nhiˆen n,sˆo

.
ng sau d¯´o Euler d¯˜a
chı
’
ra r˘a
`
ng v´o
.
i n = 5, kh˘a
’
ng d¯i
.
nh n`ay khˆong d¯´ung, ngh˜ıa l`a 2
2
5
+ 1 khˆong l`a sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
.
3) 6=3+3, 8=3+5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7,....Kˆe
´
t luˆa
.
n: mo
.
isˆo
´
nguyˆen du
.

d¯ i
.
nh trong to´an ho
.
cchu
.
ad¯u
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh.
4) Phu
.
o
.
ng tr`ınh x
3
+ y
3
= z
3
khˆong c´o nghiˆe
.
m nguyˆen, phu
.
o
.

´
nguyˆen n>2.
Mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
n`ay d¯u
.
o
.
.
c nˆeu ra bo
.
’
i Fermat n˘am 1637, go
.
i l`a “d¯i
.
nh l´y cuˆo
´
ic`ung
cu
’
a Fermat”. M˜ai d¯ˆe
´
n th´ang 5 n˘am 1995, mˆe
.
nh d¯ˆe
`
n`ay m´o

.
ch. Tˆa
´
tca
’
c´ac vˆa
´
n d¯ ˆe
`
trong to´an
ho
.
cchı
’
d¯ u
.
o
.
.
c tr`ınh b`ay b˘a
`
ng c´ac suy luˆa
.
ndiˆe
˜
ndi
.
ch. Tuy nhiˆen, trong qu´a tr`ınh
ph´at minh, s´ang ta
.

thuyˆe
´
t.
Sau d¯´o m´o
.
ich´u
.
ng minh c´ac gia
’
thuyˆe
´
t n`ay b˘a
`
ng diˆe
˜
ndi
.
ch.
1.1.4. C´ac phu
.
o
.
ng ph´ap ch´u
.
ng minh:
1.1.4.1. Ch´u
.
ng minh l`a g`ı? Trong suy luˆa
.
ndiˆe

´
c suy
luˆa
.
ntˆo
’
ng qu´at th`ı ta n´oi B l`a kˆe
´
t luˆa
.
n lˆogic cu
’
a c´ac tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
A
1
,A
2
,... ,A
n
v`a
suy luˆa
.
n d¯´o l`a ho
.
.
p lˆogic. Nˆe
´

.
ng minh v`a go
.
i suy luˆa
.
n d¯´o l`a mˆo
.
t
ch´u
.
ng minh.
9
Phˆan t´ıch c´ac ch´u
.
ng minh to´an ho
.
c ta thˆa
´
ymˆo
˜
ich´u
.
ng minh gˆo
`
mmˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.

.
ntˆo
’
ng qu´at. Nhu
.
vˆa
.
y, mˆo
.
tch´u
.
ng minh to´an ho
.
cgˆo
`
m ba bˆo
.
phˆa
.
n
cˆa
´
u th`anh:
1) Luˆa
.
nd¯ˆe
`
, t´u
.
cl`amˆe

.
nh ngh˜ıa, tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
,
d¯ i
.
nh l´y, gia
’
thiˆe
´
t) d¯u
.
o
.
.
clˆa
´
y l`am tiˆe
`
n d¯ ˆe
`
trong mˆo
˜
i suy luˆa
.
n.
3) Luˆa
.

ncu
’
ach´u
.
ng minh.
1.1.4.2. Phu
.
o
.
ng ph´ap ch´u
.
ng minh tru
.
.
ctiˆe
´
p: Khi ta ch´u
.
ng minh mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
B b˘a
`
ng c´ach va
.
ch r˜o B l`a kˆe
´
t luˆa
.

p
mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
B.
Th´ıdu
.
: H˜ay ch´u
.
ng minh tru
.
.
ctiˆe
´
pmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
:“Nˆe
´
u n l`a mˆo
.
tsˆo
´
le
’
th`ı n
2
c˜ung

le
’
. Khi d¯´o n =2k + 1, v´o
.
i k l`a mˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen. T`u
.
d¯´o suy ra n
2
=4k
2
+4k +1 =
2(2k
2
+2k) + 1. Do d¯´o n
2
l`a mˆo
.
tsˆo
´
le
’
.
1.1.4.3. Phu
.
o
.

`
q, tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd¯˘a
.
cbiˆe
.
tcu
’
a p l`a
sai. Khi d¯´o
q d¯ ´ung v`a p ⇒ q l`a d¯´ung. Do d¯´o theo quy t˘a
´
ckˆe
´
t luˆa
.
n ngu
.
o
.
.
cth`ı
p
l`a d¯´ung. T`u

nd¯a
’
o: Gia
’
su
.
’
ta cˆa
`
nch´u
.
ng minh
p ⇒ q.Nˆe
´
utach´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
c
q ⇒ p th`ı theo quy t˘a
´
c pha
’
nd¯a
’
o, ta c´o p ⇒ q
d¯ ´ung. Nhu

ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u b l`a mˆo
.
tsˆo
´
vˆo
tı
’
th`ı ab c˜ung l`a mˆo
.
tsˆo
´
vˆo tı
’
.
Ta viˆe
´
t a =
m
n
,v´o
.
i m, n l`a hai sˆo
´
nguyˆen kh´ac 0. Nˆe
´
u ab l`a sˆo

h˜u
.
utı
’
.
1.1.4.5. Phu
.
o
.
ng ph´ap ch´u
.
ng minh pha
’
nch´u
.
ng: Co
.
so
.
’
lˆogic cu
’
aphu
.
o
.
ng
ph´ap ch´u
.
ng minh pha

c pha
’
nch´u
.
ng th`ı p l`a d¯´ung. D
-
iˆe
`
u n`ay dˆa
˜
n d¯ ˆe
´
n
mˆau thuˆa
’
n (luˆa
.
t b`ai trung).
10
Th´ıdu
.
: Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng u
.
´o
.
csˆo

’
su
.
’
k l`a u
.
´o
.
ctu
.
.
nhiˆen nho
’
nhˆa
´
t kh´ac 1 cu
’
asˆo
´
tu
.
.
nhiˆen n (n>1) v`a k
khˆong l`a sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
. Do d¯´o tˆo
`
nta

i k l`a u
.
´o
.
ctu
.
.
nhiˆen
nho
’
nhˆa
´
t kh´ac 1 cu
’
a n.
1.1.4.6. Phu
.
o
.
ng ph´ap ch´u
.
ng minh x´et tˆa
´
tca
’
c´ac tru
.
`o
.
ng ho

.
: Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng t´ıch cu
’
a3sˆo
´
nguyˆen liˆen tiˆe
´
pchiahˆe
´
t cho 3.
V´o
.
i n l`a mˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen, ta viˆe
´
t n =3q + r v´o
.
i q l`a mˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen v`a
r =0, 1, 2.

ng ph´ap n`ay s˜e d¯u
.
o
.
.
c
tr`ınh b`ay trong Chu
.
o
.
ng IV vˆe
`
“Sˆo
´
nguyˆen v`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen”.
1.2. T
ˆ
A
.
PHO
.
.
P.
1.2.1. Tˆa
.

.
o
.
.
ctu
.
tˆa
.
p do mˆo
.
tt´ınh chˆa
´
t
chung n`ao d¯´o th`anh lˆa
.
pmˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p. D
-
ˆay khˆong pha
’
i l`a mˆo
.
td¯i
.

pho
.
.
p c´ac d¯ˆo
´
itu
.
o
.
.
ng du
.
.
a trˆen mˆo
.
t kh´ai niˆe
.
m tru
.
.
c quan vˆe
`
mˆo
.
td¯ˆo
´
itu
.
o
.

.
.
c quan d¯´o
cu
’
atˆa
.
pho
.
.
pd¯˜adˆa
˜
n d¯ ˆe
´
nnh˜u
.
ng nghi
.
chl´yho˘a
.
c c´ac mˆau thuˆa
’
n lˆogic nhu
.
nh`a triˆe
´
t
ho
.
c ngu

.
p xuˆa
´
t ph´at t`u
.
nh˜u
.
ng gia
’
thiˆe
´
tco
.
ba
’
n, go
.
i l`a c´ac tiˆen d¯ˆe
`
. Tuy nhiˆen, ch´ung ta s˜e d`ung phiˆen
ba
’
n ban d¯ˆa
`
ucu
’
a Cantor, d¯u
.
o
.

tca
’
c´ac tˆa
.
pho
.
.
pd¯u
.
o
.
.
c
xem x´et trong t`ai liˆe
.
u n`ay c´o thˆe
’
xu
.
’
l´y phi mˆau thuˆa
’
nb˘a
`
ng c´ach d`ung l´y thuyˆe
´
t
ban d¯ˆa
`
ucu

.
p
ho
.
.
p d¯´o.
11
Trong ngˆon ng˜u
.
thˆong thu
.
`o
.
ng, ngu
.
`o
.
i ta d`ung nh˜u
.
ng t`u
.
nhu
.
: nh´om, to`an
thˆe
’
,tˆa
.
pthˆe
’

ck´yhiˆe
.
ubo
.
’
ic´acch˜u
.
c´ai in hoa: A, B, C, D,
E, X, Y , Z, ... Phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
atˆa
.
pho
.
.
pthu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
ck´yhiˆe

pho
.
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen, k´yhiˆe
.
u Z.
3) Tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
,k´yhiˆe
.
u Q.
4) Tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
thu

.
pho
.
.
p c´ac nghiˆe
.
m thu
.
.
ccu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh sin 3x − sin x + sin 2x =0.
8) Tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sinh viˆen n˘am th´u
.
nhˆa
´
t ng`anh tin ho
.
ccu
’
a tru

’
atˆa
.
pho
.
.
p A, ta viˆe
´
t a ∈ A v`a d¯o
.
cl`a“a thuˆo
.
c
A”hay“a l`a phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p A”.
–D
-
ˆe
’

c“b khˆong pha
’
i l`a mˆo
.
t phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
atˆa
.
p
ho
.
.
p A”.
1.2.1.2. Tˆa
.
pho
.
.
prˆo
˜
ng: Tˆa
.
pho
.
.

’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh x
2
+1=0l`atˆa
.
pho
.
.
prˆo
˜
ng.
1.2.1.3. C´ach x´ac d¯i
.
nh mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p
1. Liˆe
.
tkˆetˆa
´
tca

’
tˆa
´
tca
’
c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a n´o.
Th´ıdu
.
:1)Tˆa
.
pho
.
.
p4sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng d¯ˆa
`
u tiˆen d¯u
.

.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen ch˘a
˜
nd¯u
.
o
.
.
cviˆe
´
t l`a:
{0, 2, 4, 6,... ,2n,...}.
Ch´u´yr˘a
`
ng khi liˆe
.
t kˆe c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu

`
ntu
.
’
cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p. Ta
c´o thˆe
’
x´ac d¯i
.
nh mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
pb˘a
`
ng c´ach chı
’
r˜o c´ac t´ınh chˆa
´
t chung cu

td¯ˆo
´
itu
.
o
.
.
ng n`ao d¯´o c´o l`a mˆo
.
t phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p d¯´o hay khˆong. C´ac t´ınh
chˆa
´
tnhu
.
vˆa
.
ygo
.

´o
.
csˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng cu
’
a 24 l`a:
12
A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
v`a d¯u
.
o
.
.
cviˆe
´
tla
.
i l`a:
A = {n ∈ N : n|24}.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.

´
t T} ho˘a
.
c X = {x : x c´o t´ınh chˆa
´
t T}.
1.2.1.4. Gia
’
nd¯ˆo
`
Venn: C´ac tˆa
.
pho
.
.
pc˜ung c´o thˆe
’
d¯ u
.
o
.
.
c minh hoa
.
b˘a
`
ng h`ınh
v˜e nh`o
.
d`ung gia

.
.
pch´u
.
a
tˆa
´
tca
’
c´ac d¯ˆo
´
itu
.
o
.
.
ng d¯ang x´et - d¯u
.
o
.
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
nb˘a
`
ng mˆo
.
th`ınh ch˜u

´
td¯u
.
o
.
.
cd`ung d¯ˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n c´ac tˆa
.
pho
.
.
p. D
-
ˆoi khi c´ac d¯iˆe
’
md¯u
.
o
.
.
c
d`ung d¯ˆe
’
biˆe

’
chı
’
ra mˆo
´
i quan hˆe
.
gi˜u
.
a c´ac tˆa
.
pho
.
.
p.
1.2.1.5. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho A l`a mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p. Nˆe
´
uc´och´ınh x´ac n phˆa
`

’
nsˆo
´
cu
’
a A d¯ u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a|A|.Mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p
d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
il`avˆoha
.
nnˆe

p c´ac sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
l`a mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p vˆo ha
.
n.
1.2.2. Tˆa
.
pho
.
.
p con v`a quan hˆe
.
bao h`am:
1.2.2.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Tˆa
.
pho
.

’
cu
’
a A l`a mˆo
.
t phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a B.Nhu
.
vˆa
.
y,
A ⊂ B khi v`a chı
’
khi v´o
.
imo
.
i x ∈ A k´eo theo x ∈ B.
Khi c´o A ⊂ B, ta c`on n´oi “A l`a mˆo
.
tbˆo
.
phˆa
.

.
cgo
.
i l`a c´ac bao h`am th´u
.
c.
Nˆe
´
u A ⊂ B v`a c´o ´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
t phˆa
`
ntu
.
’
thuˆo
.
c B nhu
.
ng khˆong thuˆo
.
c A th`ı ta
n´oi A l`a mˆo
.
ttˆa
.
p con thu
.

.
nhiˆen l`a tˆa
.
p con thu
.
.
csu
.
.
cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p Z c´ac
sˆo
´
nguyˆen.
2) Tˆa
.
pho
.
.
p c´ac h`ınh vuˆong l`a tˆa
.
p con cu
’
atˆa

1) ∅⊂A,
2) A ⊂ A,
3) nˆe
´
u A ⊂ B v`a B ⊂ C th`ı A ⊂ C.
13
Thˆa
.
tvˆa
.
y, 1) d¯u
.
o
.
.
c suy ra t`u
.
mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
“x ∈∅⇒x ∈ A” l`a luˆon luˆon d¯´ung
(do “x ∈∅” l`a sai). 2) d¯u
.
o
.
.
c suy ra t`u
.
mˆe

ttˆa
.
pho
.
.
p. Tˆa
.
pl˜uy th`u
.
acu
’
a X,k´y
hiˆe
.
u P(X)hay2
X
,l`atˆa
.
pho
.
.
pgˆo
`
mtˆa
´
tca
’
c´ac tˆa
.
p con cu

nˆe
´
u A ⊂ B v`a B ⊂ A.
Th´ıdu
.
: V´o
.
i A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} v`a B = {n ∈ N : n|30} th`ı ta c´o A = B.
1.2.3. C´ac ph´ep to´an tˆa
.
pho
.
.
p:
1.2.3.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Ho
.
.
pcu
’
a hai tˆa
.
pho
.
.
p A v`a B,k´yhiˆe
.

A, B,t´u
.
cl`a
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Th´ıdu
.
:1)V´o
.
i A = {a, b, c, d} v`a B = {c, d, e, f}, ta c´o A∪ B = {a, b, c, d, e, f}.
2) V´o
.
i A = {x ∈ N | x chia hˆe
´
tcho2} v`a B = {x ∈ N | x chia hˆe
´
tcho3},
ta c´o A ∪ B = {x ∈ N | x chia hˆe
´
t cho 2 ho˘a
.
c3}.
1.2.3.2. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Giao cu
’
a hai tˆa
.
pho

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Hai tˆa
.
pho
.
.
pd¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`ar`o
.
i nhau nˆe
´
u giao cu
’
ach´ung l`a tˆa
.
pho
.
.
prˆo
˜
ng.
Th´ıdu
.
:1)V´o

vˆo tı
’
l`a hai tˆa
.
p con r`o
.
i nhau
cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p R c´ac sˆo
´
thu
.
.
c.
1.2.3.3. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Hiˆe
.
ucu
’
a hai tˆa
.

´
u B ⊂ A th`ı ta k´yhiˆe
.
u A \ B = C
A
B hay B khi A d¯ ˜a d¯ u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh r˜o
v`a go
.
i d¯´o l`a phˆa
`
nb`ucu
’
a B trong A.
Hiˆe
.
ud¯ˆo
´
ix´u
.
ng cu
’
a hai tˆa
.

.
i A = {x ∈ R | x<1} =(−∞, 1), ta c´o C
R
A = {x ∈ R | x ≥ 1} =
[1, +∞).
1.2.3.4. C´ac h˘a
`
ng d¯˘a
’
ng th´u
.
ctˆa
.
pho
.
.
pco
.
ba
’
n: Mˆo
˜
itˆa
.
p con cu
’
amˆo
.
ttˆa
.

.
.
pd¯˜a
cho. V´o
.
itu
.
o
.
ng ´u
.
ng n`ay, c´ac ph´ep to´an tˆa
.
pho
.
.
pd¯u
.
o
.
.
c chuyˆe
’
n sang c´ac ph´ep to´an
lˆogic: phu
’
d¯ i
.
nh tu
.

ng v´o
.
i giao, tuyˆe
’
n loa
.
itu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
ihiˆe
.
ud¯ˆo
´
ix´u
.
ng.
T`u
.
c´ac tu
.
o
.
ng d¯u
.
o

’
ndu
.
´o
.
i d¯ˆay (lu
.
u´y
r˘a
`
ng mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
x ∈∅c´o gi´a tri
.
chˆan l´y 0 v`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
x ∈ U c´o gi´a tri
.
chˆan l´y 1).
1) Luˆa
.
td¯ˆo
`
ng nhˆa
´
t:

7) Luˆa
.
t phˆan phˆo
´
i:
A ∩ (B ∪ C)=(A∩ B)∪ (A ∩ C),A∪ (B ∩ C)=(A ∪ B)∩ (A ∪ C).
15
8) Luˆa
.
t De Morgan:
A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B.
1.2.3.5. Biˆe
’
udiˆe
˜
n c´ac tˆa
.
pho
.
.
ptrˆen m´ay t´ınh: C´o nhiˆe
`
uc´achd¯ˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n
c´ac tˆa

.
tu
.
.
. Tuy nhiˆen, nˆe
´
u d¯ i ˆe
`
u d¯´o d¯˜a l`am d¯u
.
o
.
.
c, th`ı viˆe
.
c
t´ınh ho
.
.
p, giao ho˘a
.
chiˆe
.
ucu
’
a hai tˆa
.
pho
.
.

ntu
.
’
.Tas˜ec´oo
.
’
d¯ˆay mˆo
.
t
phu
.
o
.
ng ph´ap lu
.
utr˜u
.
c´ac phˆa
`
ntu
.
’
b˘a
`
ng c´ach d`ung su
.
.
s˘a
´
p t`uy ´y c´ac phˆa

ho
.
.
pcu
’
a c´ac tˆa
.
pho
.
.
p tro
.
’
n ˆe n d ˆe
˜
d`ang ho
.
n.
Gia
’
su
.
’
tˆa
.
pv˜u tru
.
U l`a h˜u
.
uha

r˜o su
.
.
s˘a
´
pt`uy ´y c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a U ,ch˘a
’
ng
ha
.
n a
1
,a
2
,... ,a
n
, sau d¯´o biˆe
’
udiˆe
˜
ntˆa
.
p con A cu

.
.
c c´ac xˆau bit cho c´ac ho
.
.
p, giao v`a hiˆe
.
ud¯ˆo
´
ix´u
.
ng cu
’
a hai tˆa
.
p
ho
.
.
p, ta s˜e thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep to´an Boole trˆen c´ac xˆau bit biˆe
’
udiˆe
˜
n hai tˆa
.

.
p d¯˜a cho.
Th´ıdu
.
: V´o
.
i U = {x
1
,x
2
,... ,x
n
},A= {x
1
,x
3
,x
5
,x
6
,x
8
},B= {x
2
,x
3
,x
4
,x
6

.
pmˆo
.
td¯ˆo
´
i
tu
.
o
.
.
ng m´o
.
il`a(a
1
,a
2
,... ,a
n
), trong d¯´o a
1
o
.
’
vi
.
tr´ı th´u
.
nhˆa
´

pth´u
.
tu
.
.
.
Hai bˆo
.
n s˘a
´
pth´u
.
tu
.
.
(a
1
,a
2
,... ,a
n
)v`a(b
1
,b
2
,... ,b
n
)d¯u
.
o

D
-
˘a
.
cbiˆe
.
t, d˜ay c´o hai phˆa
`
ntu
.
’
d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
il`ac˘a
.
ps˘a
´
pth´u
.
tu
.
.
hay go
.
it˘a

n
hay
n
Π
i=1
A
i
, l`a tˆa
.
pho
.
.
pgˆo
`
m c´ac bˆo
.
n s˘a
´
pth´u
.
tu
.
.
(a
1
,a
2
,... ,a
n
),

cbiˆe
.
t, khi A
1
= A
2
= ···= A
n
= A th`ı ta k´yhiˆe
.
u A
1
×A
2
×···×A
n
= A
n
.
Th´ıdu
.
: V´o
.
i A = {x, y},B= {0, 1, 2},C= {a, b},tac´o
A × B × C = {(x, 0,a), (x, 0,b), (x, 1,a), (x, 1,b), (x, 2,a), (x, 2,b),
(y, 0,a), (y, 0,b), (y, 1,a), (y, 1,b), (y, 2,a), (y, 2,b)}.
1.2.5. Su
.
.
lu

`
ng mˆo
.
t phˆa
`
ntu
.
’
cu
.
thˆe
’
thuˆo
.
cmˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p x´ac d¯i
.
nh.
Th´ıdu
.
:1)P (x): “x l`a sˆo
´
nguyˆen tˆo
´

th`ammˆe
.
n h d¯ ˆe
`
. Ch˘a
’
ng ha
.
nphu
.
o
.
ng tr`ınh x
2
+
4x + 3, l`a mˆo
.
t h`am mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
mˆo
.
tbiˆe
´
n x´ac d¯i
.
nh trˆen tˆa
.
pho

. Ch˘a
’
ng ha
.
nbˆa
´
tphu
.
o
.
ng tr`ınh
(x − 3)(x +2)< 0, l`a mˆo
.
t h`am mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
mˆo
.
tbiˆe
´
n x´ac d¯i
.
nh trˆen tˆa
.
pho
.
.
p R c´ac
sˆo

n h d¯ ˆe
`
ba biˆe
´
n.
5) X´et cˆau:
If x>0 then x := x +1
Khi g˘a
.
p cˆau n`ay trong chu
.
o
.
ng tr`ınh, gi´a tri
.
cu
’
abiˆe
´
n x o
.
’
d¯ i ˆe
’
m d¯´o trong qu´a
tr`ınh thu
.
.
chiˆe
.

o
.
.
c thu
.
.
c
hiˆe
.
n v`a gi´a tri
.
cu
’
a x s˜e t˘ang lˆen 1. Nˆe
´
u P (x) l`a sai d¯ˆo
´
iv´o
.
i gi´a tri
.
d¯´o cu
’
a x,th`ı
lˆe
.
nh g´an s˜e khˆong d¯u
.
o
.

x´ac d¯i
.
nh,
th`ı mˆe
.
nh d¯ˆe
`
ta
.
o th`anh s˜e c´o gi´a tri
.
chˆan l´y. Tuy nhiˆen, c`on c´o mˆo
.
t c´ach quan
tro
.
ng kh´ac d¯ˆe
’
biˆe
´
n c´ac h`am mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
th`anh c´ac mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
, m`a ngu
.

’
du
.
ng v`a lu
.
o
.
.
ng
t`u
.
tˆo
`
nta
.
i.
Cho A l`a mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
pv`aP l`a mˆo
.
t t´ınh chˆa
´
tcu
’
a c´ac phˆa

`
ntu
.
’
x ∈ A sao cho P (x) d¯´ung. Du
.
´o
.
i d¯ˆay l`a c´ac tru
.
`o
.
ng
ho
.
.
p c´o thˆe
’
x˜ay ra.
1.2.5.2. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.

u l`a:
∀x ∈ A, P (x)
hay go
.
nho
.
nl`a(∀x)(P ), d¯o
.
c l`a “v´o
.
imo
.
i x thuˆo
.
c A, x thoa
’
m˜an t´ınh chˆa
´
t P ”.
K´y hiˆe
.
u ∀ (d¯o
.
c l`a “v´o
.
imo
.
i”) d¯u
.
o

´
tmˆo
.
t phˆa
`
n
tu
.
’
cu
’
a A thoa
’
m˜an t´ınh chˆa
´
t P .D
-
iˆe
`
u n`ay d¯u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
u l`a:
∃x ∈ A, P (x)
hay go
.

.
i”) d¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`a
lu
.
o
.
.
ng t`u
.
tˆo
`
nta
.
i.
Lu
.
u´yr˘a
`
ng tˆa
.
pho
.
.

cu
’
a A thoa
’
m˜an t´ınh chˆa
´
t P .D
-
iˆe
`
u n`ay ch´ınh l`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
:
(∃x)(P )
v`a trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay
A
P
= A,t´u
.
cl`a(∀x)(
P ), trong d¯´o P k´yhiˆe

a A d¯ ˆe
`
u
thoa
’
m˜an t´ınh chˆa
´
t P .D
-
iˆe
`
u n`ay ch´ınh l`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
:
(∀x)(P )
v`a trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay
A
P
= ∅,t´u
.
cl`a(∃x)(

.
n h d¯ ˆe
`
sai.
(∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(x + y = 1) l`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung.
18
2) H˜ay biˆe
’
udiˆe
˜
n cˆau: “Mo
.
i ngu
.
`o
.
i d¯ ˆe
`
uc´och´ınh x´ac mˆo
.
t ngu
.
`o
.
iba
.

c´o thˆe
’
di
.
ch th`anh:
(∀x)(∃y)(∀z)[P (x, y) ∧ ((z = y) ⇒
P (x, z)].
3) T`u
.
d¯ i
.
nh ngh˜ıa vˆe
`
t´ınh liˆen tu
.
ccu
’
amˆo
.
t h`am sˆo
´
ta
.
imˆo
.
td¯iˆe
’
m, ta c´o: h`am
f x´ac d¯i
.

’
khi
(∃>0) (∀δ>0) (∃x ∈ A)(|x − b| <δ∧|f(x) − f(b)|≥).
B
`
AI T
ˆ
A
.
P CHU
.
O
.
NG I
1.
Trong c´ac cˆau sau d¯ˆay, cˆau n`ao l`a mˆo
.
tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
? X´ac d¯i
.
nh gi´a tri
.
chˆan l´y
cu
’
a c´ac mˆe
.

e) 51 chia cho 6 d¯u
.
o
.
.
c8du
.
2.
2.
H˜ay d¯u
.
amˆo
˜
imˆe
.
nh d¯ˆe
`
du
.
´o
.
i d¯ ˆa y v ˆe
`
da
.
ng hˆo
.
i ho˘a
.
c tuyˆe

.
ng khˆong chia hˆe
´
t cho 2.
d) 5v`a7l`ahaisˆo
´
le
’
nguyˆen tˆo
´
c`ung nhau.
e) H`ınh thoi ABCD c´o AB = AC v`a AD ⊥ BC.
3.
T`ım phu
’
d¯ i
.
nh cu
’
a c´ac mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sau:
a) Khˆong c´o ˆo nhiˆe
˜
mo
.
’
Huˆe

´o
.
ida
.
ng mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
k´eo theo p ⇒ q ho˘a
.
c
p ⇔ q.
a) G´oc ngo`ai cu
’
amˆo
.
t tam gi´ac b˘a
`
ng tˆo
’
ng hai g´oc trong khˆong kˆe
`
v´o
.
i n´o.
19
b) Mo
.
i d˜ay d¯o
.

.
l´o
.
n
nhˆa
´
t v`a nho
’
nhˆa
´
t trˆen khoa
’
ng d¯´o.
d) Nˆe
´
u tam gi´ac ABC l`a tam gi´ac cˆan th`ı n´o c´o hai g´oc b˘a
`
ng nhau v`a d¯a
’
o
la
.
i.
e) Mo
.
i d˜ay Cauchy (trong R)l`ahˆo
.
itu
.
v`a chı

.
nd¯u
.
o
.
.
c lˆen l´o
.
p.
H˜ay diˆe
˜
nd¯a
.
tc´acmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sau th`anh nh˜u
.
ng cˆau thˆong thu
.
`o
.
ng:
a) p ⇒ q, b)
q ⇔ r,
c) q ⇒
r, d) p ∨ q ∨ r,
e) (p ⇒
r)∨ (q ⇒ r), f) (p ∧ q) ∨ (q ∧ r).

cho ph´ep.
H˜ay viˆe
´
t c´ac mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sau b˘a
`
ng c´ach d`ung p v`a q v`a c´ac to´an tu
.
’
lˆogic.
a) Ba
.
n khˆong l´ai xe v´o
.
itˆo
´
cd¯ˆo
.
trˆen 60km/h.
b) Ba
.
n l´ai xe v´o
.
itˆo
´
cd¯ˆo
.

t qu´a tˆo
´
cd¯ˆo
.
cho ph´ep nˆe
´
uba
.
n l´ai xe v´o
.
itˆo
´
cd¯ˆo
.
trˆen 60km/h.
d) Nˆe
´
uba
.
n khˆong l´ai xe v´o
.
itˆo
´
cd¯ˆo
.
trˆen 60km/h th`ı ba
.
n s˜e khˆong bi
.
pha

.
t qu´a tˆo
´
cd¯ˆo
.
cho
ph´ep.
f) Ba
.
nbi
.
pha
.
tv`ıvu
.
o
.
.
t qu´a tˆo
´
cd¯ˆo
.
cho ph´ep nhu
.
ng ba
.
n khˆong l´ai xe v´o
.
itˆo
´

d¯ ˆo
.
trˆen 60km/h.
7.
Ph´at biˆe
’
umˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ a
’
o v`a pha
’
nd¯a
’
ocu
’
a c´ac mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
k´eo theo sau:
a) Nˆe
´
u hˆom nay c´o gi´o m`ua D
-
ˆong B˘a
´
c th`ı ng`ay mai tr`o

tsˆo
´
chia hˆe
´
t cho 9 th`ı tˆo
’
ng c´ac ch˜u
.
sˆo
´
cu
’
a n´o chia hˆe
´
t cho 9.
8.
Lˆa
.
pba
’
ng gi´a tri
.
chˆan l´y cho c´ac mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
ph´u
.
cho
.

`
ph´u
.
cho
.
.
pgˆo
`
m c´ac mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
p, q v`a r sao cho n´o d¯´ung khi:
a) p, q l`a d¯´ung v`a r l`a sai, nhu
.
ng l`a sai trong mo
.
i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c`on la
.
i.
b) Hai trong ba mˆe
.
n h d¯ ˆe

p ⇒ q ⇒ p,
f)
p ⇒ q ⇒ q,
g) [(p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ r.
12.
Ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng:
a)
p ⇔ q, q ⇔ r
p ⇔ r
b)
p ∧
q ⇒ p
p ⇒ q
.
c)
p ⇒ q, r ⇒ s
(p ∧ r) ⇒ (q ∧ s)
.
d)
p ⇒ q, r ⇒ s
(p ∨ r) ⇒ (q ∨ s)
.
13.
D`ung phu

`
ng nhau”.
H˜ay chı
’
ra c´ac bu
.
´o
.
c suy luˆa
.
n trong ch´u
.
ng minh.
14.
Ch´u
.
ng minh ho˘a
.
c b´ac bo
’
r˘a
`
ng t´ıch cu
’
a hai sˆo
´
vˆo tı
’
l`a mˆo
.

o
.
ng ph´ap ch´u
.
ng minh pha
’
nch´u
.
n g d¯ ˆe
’
ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
3
√
3l`a
mˆo
.
tsˆo
´
vˆo tı
’
.
21
17.
Ch´u
.
ng minh r˘a

ng ngˆon ng˜u
.
thˆong thu
.
`o
.
ng v`a x´ac
d¯ i
.
nh t´ınh d¯´ung sai cu
’
ac´acmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯´o. Sau d¯´o h˜ay lˆa
.
pmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
phu
’
d¯ i
.
nh cu
’
a
c´ac mˆe
.

.
ng t`u
.
l`a tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sinh viˆen o
.
’
D
-
a
.
iho
.
cHuˆe
´
.
a) C´o mˆo
.
t sinh viˆen o
.
’
D
-
a
.
iho

.
ctiˆe
´
ng Anh nhu
.
ng khˆong biˆe
´
t
C.
c) Mo
.
i sinh viˆen o
.
’
D
-
a
.
iho
.
cHuˆe
´
d¯ ˆe
`
u n´oi d¯u
.
o
.
.
ctiˆe

t
C.
20.
Cho F (x, y) l`a cˆau “x c´o thˆe
’
l`u
.
aga
.
t y”, v´o
.
i khˆong gian l`a tˆa
.
pho
.
.
pmo
.
i
ngu
.
`o
.
i trˆen thˆe
´
gi´o
.
i. H˜ay d`ung c´ac lu
.
o

aga
.
td¯u
.
o
.
.
cmo
.
i ngu
.
`o
.
i.
c) Mo
.
i ngu
.
`o
.
id¯ˆe
`
u c´o thˆe
’
l`u
.
aga
.
td¯u
.

`o
.
id¯ˆe
`
u c´o thˆe
’
bi
.
l`u
.
aga
.
tbo
.
’
i ai d¯´o.
f) Khˆong ai c´o thˆe
’
l`u
.
aga
.
td¯u
.
o
.
.
cca
’
Alˆa

o
.
.
c.
i) Khˆong ai c´o thˆe
’
l`u
.
aga
.
td¯u
.
o
.
.
c ch´ınh m`ınh.
j) C´o mˆo
.
t ngu
.
`o
.
i n`ao d¯´o c´o thˆe
’
l`u
.
aga
.
td¯u
.

22.
X´et xem c´ac d¯˘a
’
ng th´u
.
c sau d¯ˆay d¯´ung hay khˆong.
a) (A × B)∩ (C × D)=(A ∩ C) × (B ∩ D).
b) (A × B) ∪ (C × D)=(A ∪ C) × (B ∪ D).
22
23.
Cho c´ac tˆa
.
pho
.
.
p A,B,C.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
a) A ⊕ A = ∅.
b) A ⊕∅ = A.
c) A ⊕ B = B ⊕ A.
d) A ⊕ B =(A ∪ B) \ (A ∩ B).
e) (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C).
f) A ∩ (B ⊕ C)=(A ∩ B)⊕ (A ∩ C).
24.
H˜ay chı
’
r˜o c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac xˆau bit d¯u

a) A ∪ B,
b) A ∩ B,
c) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C),
d) A ∪ B ∪ C ∪ D.
25.
Cho A,B,C l`a 3 tˆa
.
ph˜u
.
uha
.
n. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C|−|A ∩ B|−|B ∩ C|−|A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
T`ım cˆong th´u
.
c cho tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n tˆa
.
ph˜u
.

.
i ph´at
biˆe
’
uvˆe
`
vˆa
´
nd¯ˆe
`
I, 5 ngu
.
`o
.
i ph´at biˆe
’
uvˆe
`
vˆa
´
nd¯ˆe
`
II v`a 7 ngu
.
`o
.
i ph´at biˆe
’
uvˆe
`

3vˆa
´
n d¯ ˆe
`
.
23
TRA
’
L
`
O
.
IV
`
AHU
.
´
O
.
NG D
ˆ
A
˜
N GIA
’
IB
`
AI T
ˆ
A

tmˆe
.
n h d¯ ˆe
`
.
d) Mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung.
e) Mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sai.
2.
a) p ∧ q,v´o
.
i p:“1<
√
3” v`a q:“
√
3 < 2”, l`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung.
b) p ∨ q,v´o
.
i p: “sin

le
’
”v`aq: “5 v`a 7 l`a hai sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
c`ung
nhau”, l`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ´ung.
e) p ∧ q,v´o
.
i p: “H`ınh thoi ABCD c´o AB = AC”v`aq: “H`ınh thoi ABCD
c´o AD ⊥ BC”, l`a mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
sai.
3.
a) C´o ˆo nhiˆe
˜
mo
.
’
Huˆe
´
.
b) M`ua h`e o

`
ng tˆo
’
ng hai
g´oc trong khˆong kˆe
`
v´o
.
i n´o”.
b) p ⇒ q,v´o
.
i p:“(x
n
) l`a d˜ay d¯o
.
nd¯iˆe
.
uv`abi
.
ch˘a
.
n” v`a q:“(x
n
) l`a d˜ay hˆo
.
i
tu
.
”.
c) p ⇒ q,v´o

.
i p: “D˜ay sˆo
´
thu
.
.
c(x
n
) l`a d˜ay Cauchy” v`a q: “D˜ay sˆo
´
thu
.
.
c(x
n
)
l`a hˆo
.
itu
.
”.
5.
a) Nˆe
´
uba
.
nbi
.
c´um th`ı ba
.

.
o
.
.
c
lˆen l´o
.
p.
c) Ba
.
n thi tru
.
o
.
.
tk`y thi cuˆo
´
i kho´a l`a d¯u
’
d¯ ˆe
’
ba
.
n khˆong d¯u
.
o
.
.
c lˆen l´o
.

nbi
.
c´um l`a d¯u
’
d¯ ˆe
’
ba
.
n khˆong d¯u
.
o
.
.
c lˆen l´o
.
p ho˘a
.
cba
.
n thi tru
.
o
.
.
t k`y thi
cuˆo
´
i kho´a l`a d¯u
’
d¯ ˆe

cuˆo
´
i kho´a v`a d¯u
.
o
.
.
c lˆen l´o
.
p.
24