Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
GIẢI TÍCH 12
I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản :
( )
0
/
=
C
( )
1
/
=
x
( )
x
x
2
1
/
=
( )
1
/
−
=
nn
nxx
2) Các quy tắc tính đạo hàm :
( )
//

2
/
/
1
v
v
v
−=






2
/
/
.
v
v
k
v
k
−=










+
+
k
u
k
u
/
/
=






,
Rk
∈
xux
uyy
///
.=
(Đạo hàm của hàm số hợp )
3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số hợp (
( )


2
/
/
1
v
v
v
−=






( )
x
x
2
1
/
=
( )
u
u
u
2
/
/
=

( )
( )
uu
u
u
u
2/
2
/
/
tan1
cos
tan +==
( )
( )
x
x
x
2
2
/
cot1
sin
1
cot
+−=−=
( )
( )
uu
u

ln
/
/
=
( )
x
x
1
ln
/
=
( )
u
u
u
/
/
ln =
( )
ax
x
a
ln.
1
log
/
=
( )
au
u

- Tính giới hạn :nếu
0
>
a

lim
x
y
→+∞
= +∞
;
lim
x
y
→ −∞
= −∞
; nếu
0
<
a
lim
x
y
→ +∞
= −∞
;
lim
x
y
→ −∞

/
=
y
có 2
nghiệm phân biệt
21
; xx
+ Hàm số có hai cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

2
x

1
x

x

y

2
x

1
x

x
Nếu phương trình


x

y

x
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương :
cbxaxy ++=
24

( )
0
≠
a
- TXĐ :
RD
=
- Tính đạo hàm
/
y
; giải phương trình
0
/
=
y
tìm
yx
⇒
- Tính giới hạn : nếu
0


- Lập bảng biến thiên (xét dấu
/
y
), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu của
hàm số
- Đồ thị :
+ Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu .
+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục
Oy
.
2
O O
O
O
O
O
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn:
cbxaxy ++=
24

( )
0
≠
a
Nếu
0
>
a


3
x

x
Nếu phương trình
0
/
=
y
có 1
nghiệm
0
=
x
+ Hàm số có không có cực trị

y

xy

x

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y

- Tính đạo hàm
( )
2
/
dcx
bcad
y
+
−
=

c
d
xy −≠∀< ;0
/
, nếu
0
<−
bcad
- Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận :
lim
x
a
y
c
→+∞
=
;
lim
x

d
x
ylim
Nếu
c
d
xy −≠∀< ;0
/
thì và
−∞=
−
−→
c
d
x
ylim
+∞=
+
−→
c
d
x
ylim
- Lập bảng biến thiên :
Nếu
c
d
xy
−≠∀>
;0

O
O
là tiệm cận đứng
O
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng
; à ;
d d
v
c c
   
−∞ − − +∞
 ÷  ÷
   
và không có cực trị .
Nếu
c
d
xy −≠∀< ;0
/
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng
; à ;
d d
v
c c
   
−∞ − − +∞
 ÷  ÷
   

+Ta vẽ hai đường tiệm cận trước , rồi vẽ 2 nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua
I
.
Các dạng đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
=
,
( )
0,0
≠−≠
bcada
4
x
∞−

c
d
−

∞+

/
y

y
c

( )
xfy
=
là đồ thị
( )
C
đã vẽ và
BAmy
+=

( )
d
là đường thẳng song song hoặc trùng với trục
Ox
.
+ Số nghiệm của phương trình
( )
1
là số hoành độ giao điểm của đồ thị
( )
C
và
( )
d
+ Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp ), thường dựa vào
CĐ
y
và
CT
y

0y
>

y

x

c
d
x −=

yO

x

c
a
y
=c
a
y
=
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT


có dạng :
( )
0 0
y k x x y
= − +

( )
3
Gọi
( )
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm . Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên
( )
/
0
f x k
=
, giải phương trình tìm
được
( )
000
xfyx =⇒
.Suy ra phương trình tiếp tuyến (3)
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy

( )
000
xfyx =⇒
.
Kết luận phương trình tiếp tuyến .
+ Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
baxyd
+=
:
thì
( ) ( )
a
xfaxf
1
1.
0
/
0
/
−=⇔−=
.
Giải phương trình này tìm được
( )
000
xfyx =⇒
. Kết luận phương trình tiếp tuyến .
e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
xfy
=

bf
+ Kết luận :
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
0
;
(f ) ; ;
ax
a b
x max f a f x f b
m
=
;
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
0
;
f ; ;
a b
M in x Min f a f x f b
=
f) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy
=
có cực trị (cực đại, cực tiểu ):

xfy
=
đạt cực trị tại
0
xx
=
:
Cách giải : + Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
;
+ Hàm số đạt cực trị tại
0
xx =
( )
mxf
⇒⇔
0
/
h) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy
=
đạt cực đại tại
0
xx =

i) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy
=
đạt cực tiểu tại
0
xx =
:
Cách giải : + Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
; + Tính đạo hàm
( )
xfy
////
=
+ Hàm số đạt cực tiểu tại
0
xx
=

( )
( )
{
m
xf

//
=
, tính
∆
hoặc
/
∆
của
/
y
.
+ Hàm số
( )
xfy
=
đồng biến trên
D
{
mDxy
a
⇒⇔∈∀≥⇔
>
≤∆
0
0
/
0
+ Hàm số
( )
xfy

AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
AB
−
−
=
−
−
:
Cách giải 2 : Cho hàm số bậc ba
( )
xfy
=

+Tính y’. Viết lại
( ) ( )
'. xy y g h x= +
.Gọi
1 2
,x x
lần lượt là hai điểm cực trị, ta có
( ) ( )
1 2
' 0; ' 0y x y x= =

m n m n
a a a
+
=
; 2.
m
m n
n
a
a
a
−
=
; 3.
( )
n
m mn
a a=
4.
( )
.
n
n n
ab a b=
; 5.
n
n
n
a a
b b

a b b
a b b b
= =
= ∀ ∈
∀ ∈ >
¡
¡
2. So sánh hai logarit cùng cơ
số
a. Khi
1
α
>
thì
log logb c b c
α α
> ⇔ >
b. Khi
0 1
α
< <
thì
log logb c b c
α α
> ⇔ <
3. Các quy tắc tính lơgarit:
( )
log log log
a a a
bc b c= +

1
log log
n
a a
b b
n
=
;
1
log
log
a
b
b
a
=
;
log .log 1
a b
b a =
5. Với
,a b
là số dương khác 1 và
c
là số
dương,
ta có:
log
log
log

f (x) 0
f (x) g(x)
>
=



4.
log f (x) b
a
0 a 1
=
< ≠



⇔ f(x) =
b
a
;
• Đặt ẩn phụ :
7
Lý thuyt ễn Thi Mụn Toỏn THPT
1.
2f (x)
a
+.
f (x)
a
+ = 0 ; ẹaởt : t =

;
2.
f (x)
a
> b Neỏu b > 0 f(x) > log
a
b neỏu a > 1; f(x) < log
a
b neỏu 0 < a < 1
4. log
a
f(x) > log
a
g(x) (*) ẹk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a 1 . a>1, (*) f(x) > g(x) ; 0<a<1, (*)
f(x) < g(x)
5. log
a
f(x) > b . Neỏu a > 1 : bpt laứ f(x) >
b
a
. Neỏu 0 < a < 1 bpt laứ 0 < f(x) <
b
a
5. th hm s m- lụgarit

III .NGUYấN HM, TCH PHN
1. Nguyờn hm
Cụng thc nguyờn hm ca cỏc hm s s cp Mt s cụng thc m rng
1.
0dx C=

cos sin ;xdx x C= +

7.
2
1
tan ;
cos
dx x C
x
= +

8.
2
1
cot .
sin
dx x C
x
= +

9.
ln
x
x
a
a dx C
a
= +

,

; 12.
ln
1
ax b
dx C
ax b a
+
= +
+

13.
( )
( )
cos
sin
ax b
ax b dx C
a
+
+ = +

14
( )
( )
sin
cos
ax b
ax b dx C
a
+

+

17.
( )
;
ax b
ax b
e
e dx C
a
+
+
= +

2. Tớch phõn
a/. Tớnh cht: Gi s cỏc hm s
,f g
liờn tc trờn
K
v
, ,a b c
l ba s bt kỡ thuc
K
. Khi ú ta
cú:
8
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
1.
( )
0

a a
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
( với
.k ∈¡
)
b/ Phương pháp đổi biến số:
( ) ( ) ( )
( )
( )
'
b u b
a u a
f u x u x dx f u du
 
=
 
∫ ∫
Trong đó:
( )
u u x=
có đạo hàm liên tục trên
K
, hàm số
( )
y f u=
liên tục và sao cho hàm hợp
( )
f u x
 

Trong đó các hàm số
,u v
có đạo hàm liên tục trên
K
và
,a b
là hai số thuộc
K
d/ Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng.
+ Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( )
:
: 0
2 : ;
C y f x
Ox y
dt x a x b

=

=


= =

là
( )
b
a
S f x dx=

: 0
2 : ;
C y f x
Ox y
dt x a x b

=

=


= =

quay quanh trục hoành là:
( )
2
b
a
V f x dx
π
 
=
 
∫
+ Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( )
:
: 0
2 : ;
C x g y

a bi+
( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo a, b là các số thực, i là
đơn vị ảo )
3/ Số phức bằng nhau: Cho
1 1 1 2 2 2
, zz a b i a b i= + = +
:
1 2
1 2
1 2
= z
a a
z
b b
=

⇔

=

4/ Biểu diễn hình học số phức: Điểm M biểu diễn cho số phức
z a bi
= +
:
( ) ( ) ( )
; M a b hay M a bi hay M z+
5/ Cộng, trừ, nhân hai số phức: Cho
1 1 1 2 2 2
, zz a b i a b i= + = +
a/

2
1
z z
z
−
=
9/ Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn
2
z w=
được gọi là một căn
bậc hai của w.
a/ w là số thực: + Căn bậc hai của 0 là 0
+
0a >
: có 2 căn bậc hai là
à -a v a
;
+
0a <
: có 2 căn bậc hai là
à - a i v a i− −
. Chú ý: Hai căn bậc hai của -1 là i và -i
b/ w là số phức:
( )
, ; 0w a bi a b b= + ∈ ≠¡
:

( )
,z x yi x y= + ∈¡
là căn bậc hai của w khi và chỉ khi:

10/ Phương trình bậc hai:
( )
2
0 1 ,( 0; , ,Az Bz C A A B C+ + = ≠
là những số phức). Xét
2
4B AC∆ = −
+ Nếu
0
∆ ≠
, (1) có 2 nghiệm phân biệt:
1 2
,
2 2
B B
z z
A A
δ δ
− + − −
= =
,(với
δ
là một căn bậc hai của
∆
)
+ Nếu
0∆ =
, (1) có nghiệm kép:
1 2
2

ϕ
1/ Acgumen của số phức z: Số đo ( radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được
gọi là một acgumen
của z,
ϕ
một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng:
2k
ϕ π
+

2/ Dạng lượng giác của số phức:
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
, ( trong đó
r z=
;
ϕ
một acgumen của z )
3/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác:
Nếu
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
cos sin ; cos sin , ( 0, 0)z r i z r i r r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = + ≥ ≥
Thì
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2

ϕ ϕ
= +
có 2 căn bậc 2 là:
1
cos sin
2 2
z r i
ϕ ϕ
 
= +
 ÷
 
;
2
cos sin cos sin
2 2 2 2
z r i r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
 
     
= − + = + + +
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
HÌNH HỌC 12
I. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Khối chóp: Thể tích
1

Khối chóp có đáy
là một tứ giác
Trường hợp đáy là
một hình thang
h
Khối chóp đáy là hình
thang có cạnh bên
vuông góc với đáy.
h
h
Khối chóp có
đáy là một hình
thang cân
h
Khối chóp có đáy
là một hình thang
vuông
Diện tích hình tròn:
2
S R
π
=
(với R là bk)
Chu vi đường tròn:
2 R
π
Diện tích xung quanh của hình nón: S
xq
=
rl

4. Khối trụ:
* Diện tích hình tròn:
2
S R
π
=
(với R là bk)
* Chu vi đường tròn:
2 R
π
* Diện tích xung quanh của hình trụ:
2
xq
S Rh
π
=
( với h là chiều cao và h= l là đường sinh)
* Diện tích toàn phần của hình trụ: S
tp
= S
xq
+ 2S
đ
* Thể tích của khối trụ:
V =
S
đ
.h
5. Khối cầu: a. Diện tích mặt cầu:
2

c. Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh; d. Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
e. Diện tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài x chéo ngắn); f. Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
g. Diện tích hình thang :
1
2
S =
[(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]; h. Diện tích hình tròn :
2
S .R
π
=
11
R
H
h
B
S
A
R
h
h
R
h
h
c
b
a

= = ± = ± ± ± =
= = ⇔ = ⇔ = = =
r r r r r
r r r ur r r
phöông
3.Nếu điểm
( )
; ;
M M M
M x y z
chia đoạn AB ; 4. Nếu
( )
; ;
I I I
I x y z
là trung điểm
theo tỉ số
1k
≠
thì
1
1
1
A B
M
A B
M
A B
M
x kx

A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z
+

=


+

=


+

=


5. Nếu
( )
; ;


=


+ +

=


tứ diện ABCD thì:
4
4
4
A B C D
E
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
+ + +

=



= + +
r
3.
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
;
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
(khoảng cách giữa hai điểm A và
B)
4.Bình phương vô hướng:
2
2
2 2 2
1 1 1
a a x y z
= = + +
r r
5.Góc giữa hai vectơ: Gọi
ϕ
là góc giữa hai vectơ
a
r
và

 
 
= = − − −
 ÷
 
 
r r
là một vectơ.
+Tính chất:
+.
, ; ,a b a a b b
   
⊥ ⊥
   
r r r r r r
; +.
a
r
cùng phương với
b
r
khi và chỉ khi
, 0a b
 
=
 
r r r
+.
, . sina b a b
ϕ

,
c
r
đồng phẳng khi và chỉ khi:
, . 0a b c
 
=
 
r r r
Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi:
, . 0AB AC AD
 
≠
 
uuur uuur uuur
12
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
9.Thể tích của khối hộp ABCD. A’B’C’D’:
, . 'V AB AD AA
 
=
 
uuur uuur uuur
( AB,AD, AA’ là 3 cạnh xuất phát từ
đỉnh A)
10.Thể tích của khối tứ diện ABCD là:
1
, .
6
V AB AC AD

α
2 2 2
0 ,( 0)Ax By Cz D A B C+ + + = + + ≠
. Nếu
( ) ( )
/ /
β α
thì
( ) ( )
: ' 0 'Ax By Cz D D D
β
+ + + = ≠
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
Phương trình đường thẳng:
Đường thẳng d đi qua
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và có vectơ chỉ phương
( )
; ;u a b c=
r
. Khi đó:
a. Phương trình tham số của đường thẳng d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct

cắt
( )
β

⇔
: : ': ': 'A B C A B C
≠
( Hai vectơ không cùng phương ).
+
( ) ( )
/ /
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠
+
( ) ( )
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
2. VTTĐ giữa hai đường thẳng :
PP1:
Bước 1: Giải hệ pt hai đường thẳng d
1
và d
2
:

u
ur
cùng phương
2
u
uur
thì d
1
// d
2

; + Nếu
1
u
ur
kh ông cùng phương
2
u
uur
thì d
1
chéo d
2
PP2: Tìm vectơ chỉ phương
1
u
ur
của đường thẳng d
1
và vectơ chỉ phương

thì ta tìm
1 1
M d∈
v à
2 2
M d∈
13
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
+ Nếu
1 2 1 2
, . 0u u M M
 
= ⇒
 
ur uur uuuuuur
d
1
cắt d
2
; + Nếu
1 2 1 2
, . 0u u M M
 
≠ ⇒
 
ur uur uuuuuur
d
1
và d
2

: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
có vectơ
( )
; ;n A B C
=
r
a.
( )
( )
( )
0
. 0
/ /
u n u n
M
α
α

= ⊥

∆ ⇔

∉


r r r r
; b.
( )

 
r r r r r
BÀI 6: KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
đến mp
( )
: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
là:

( )
( )
0 0 0
0
2 2 2
;
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
2. Một số dạng toán về khoảng cách :
a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
∆

1
và có vectơ chỉ phương
1
u
r
;
2
∆
đi qua điểm
M
2
và có vectơ chỉ phương
2
u
r
là:
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
,
,
u u M M
d
u u
 
 
∆ ∆ =
 

α β β
=
, với
( )
M
α
∈
e.Chiều cao h của hình chóp S. ABCD:
( )
( )
,h d S ABCD
=
BÀI 7: GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
lần lượt có các vectơ chỉ phương là
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
; ; , ; ;u a b c u a b c= =
ur uur
. Gọi
( )
¼
1 2
,
ϕ

( )
α
có VTPT
( )
; ;n A B C
=
r

( )
2 2 2 2 2 2
sin os ,
.
Aa Bb Cc
c u n
A B C a b c
ϕ
+ +
= =
+ + + +
r r
(
ϕ
l à góc giữa đường thẳng
∆
và mp (
∆
))
3. Góc giữa hai mặt phẳng :
Cho hai mp
( )

+ +
= =
+ + + +
r ur
BÀI 8: MẶT CẦU
a. Phương trình mặt cầu (S) :
1. Dạng 1 : Mặt cầu (S) tâm
( )
; ;I a b c
; bán kính R có pt là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
2. Dạng 2 : Pt
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0 0x y z ax by cz D a b c D
+ + − − − + = + + − >
, tâm
( )
; ;I a b c
, bán kính
2 2 2
R a b c D
= + + −
b. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu :
Cho mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )

IH
α
⊥
tại H). Mặt phẳng
( )
α
được gọi
là tiếp diện của (S) tại H.
• Nếu
( )
( )
,d I R
α
<
thì mp
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình là
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
0
x a y b z c R
Ax By Cz D

− + − + − =


+ + + =


α
và
π + α
e. Cung hơn kém nhau
2
π
:
α
và
2
π
+ α
15
cos( ) cos
sin( ) sin
n( ) n
cot( ) cot
ta ta
−α = α
−α =− α
−α = − α
−α = − α
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) n
cot( ) cot
ta
π − α = α
π − α = − α
π − α = − α

 ÷  ÷
   
π π
   
+ α = − α + α = − α
 ÷  ÷
   
1.
2
2tan
sin 2
1 tan
x
x
x
=
+
; 2.
2
2
1 tan
cos2
1 tan
x
x
x
−
=
+
; 3.

cot x
sin
x
x
=
5.
2
2
1
1 tan
cos
x
x
+ =
; 6.
2
2
1
1 cot
sin
x
x
+ =
( ) ( )
( ) ( )
1. sin 2 sin ; 2. os +k2 =cos ;
3. tan +k =tan ; 4. cot +k cot ;
k c
k Z
α π α α π α


2

2
3

3
4

5
6


sin

0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0

1
3

0
cot

P
3
1
1
3
0
1
3

1
3
P

PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAC
1. Phửụng trỡnh lửụùng giaực cụ baỷn : 2. Phng trỡnh lng giỏc c bit:
sin u = sin v



+=
+=


2



= +


= +

( k
4. cosu = 1
2u k

=
; 5. cos u = -1
2u k

= +
;
16
5.Cụng thc cng
1.
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ =
2.
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
= +
3.
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
4.
sin( ) sin cos cos sina b a b a b

=
3.
3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
a a
a
a

=

6.1. Cụng thc nhõn ụi
1.
2 2
2 2
cos2 cos sin
2cos 1 1 2sin
a a a
a a
= =
= =
2.
sin 2 2sin cosa a a=
3.
2
2 tan
tan 2
1 tan

1 cos2
cos
2
a
a
+
=
; 2.
2
1 cos 2
sin
2
a
a

=
3.
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a

=
+
8. Cụng thc bin i
tng thnh tớch
1.

4
a a a

+ =
; 2.
cos sin 2 sin( )
4
a a a

+ = +
3.
cos sin 2 cos( )
4
a a a

= +
; 4.
cos sin 2 sin( )
4
a a a

=
5.
4 4 2 2
cos sin 1 2sin cosa a a a
+ =
; 6.
4 4
cos sin os 2a a c a
=

Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT
Z )
6.
os 0
2
c u u k
π
π
= ⇔ = +
( k ∈ Z )
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ
( k ∈ Z )
7. tan u = 1⇔
4
u k
π
π
= +
; 8. tan u = -1 ⇔
4
u k
π
π
= − +
;
9.
tan 0u u k
π
= ⇔ =
( k ∈ Z )

sin x; t = cos xt =
, điều kiện:
0 1t≤ ≤
;
4. Ph ương trình bậc nhất đối với sinx, cosx : acosx + bsinx = c (1) trong đó a
2
+ b
2
≠ 0.
Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
.
Cách giải : chia hai vế phương trình cho
2 2
a b
+
, đưa pt về dạng :sin u = sin v hoặc cos u = cos v
5. Phương trình đẳng cấp b ậc hai đối với sinx và cosx : asin
2
x + bsinx cosx + c.cos
2
x = 0 .
+ Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
+Xét
cos 0x
≠
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tanx, pt trở thành pt

 
,
điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinx.cosx =
2
1
2
t
−
. Ta giải tương tự 6a).
7. Phương trình tích: A.B.C = 0
0 0 0A B C
⇔ = ∨ = ∨ =
; 8. Tổng các bình phương:
2
2 2
2
0
0
A
A B
B

=

+ =


n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
= − − + =
−
.
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số
k ∈¥
mà
1 k n≤ ≤
. Một tập hợp con của A có k phần
tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
là:
( )
( ) ( )
k
n
n n 1 n k 1
n!
C
k! n k ! k!
− − +
= =
−

+ Trong khai triển nhị thức Niuton ( a+b)
n
có n + 1 số hạng.
+ Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
+ Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
+ Số hạng tổng qt thứ k + 1 kí hiệu T
k+1
thì:
k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
+
0 1 2 n n
n n n n
C C C C 2
+ + + + =
;
+
( ) ( )
k n
0 1 2 3 k n
n n n n n n
C C C C 1 C 1 C 0− + − + + − + + − =
.
5. XÁC SUẤT
1. Biến cố
Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.

Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)
(Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng:
2a c b
+ =
.
Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
2
.a c b=
)
ĐẠI SỐ 10
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
18
Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT
1.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Cách giải phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) , ta có: ∆ = b
2
– 4ac
∆ > 0
a
b
x
2
1
∆+−
=
,
a
b

b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=



Chú ý:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x
1
= 1 và x
2
=
c
a
+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x
1
= -1 và x
2
=
c

a/
2
0
0
A
A B B
A B

≥

< ⇔ >


<

; b/
2
0
0
0
B
B
A B
A
A B
≥
<


> ⇔ ∨

≥ ≥
 
; b/



−=
=
⇔=
BA
BA
BA
;
5.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
a/



>
<<−
⇔<
0B
BAB
BA
; b/
A B A B A B
> ⇔ <− ∨ >
; c/
22
BABA

= x
2
; x
≤
|x| và
-x
≤
|x|
Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:
19
nếu x
≥
0
nếu x < 0
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
|a + b|
≤
|a| + |b| (1); |a – b|
≤
|a| + |b| (2)
|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b
≥
0; |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b
≤
0
HÌNH HỌC 10
20
Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT
I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ




+
=
+
=
2
2
BA
BA
yy
y
xx
x
d. Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :







−
−
=
−
−
=
k

11
ba
ba
ba
; b.
),(
2211
bababa ±±=±
→→
; c.
),(.
21
mamaam =
→
; d.
2211
bababa +=
→→
e.
2
2
2
1
aaa +=
→
; f.
0
2211
=+⇔⊥
→→


+=
+=
tayy
taxx
20
10
, vectơ chỉ phương là:
),(
21
aaa =
→
2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A
2
+ B
2

≠
0)
a. Vectơ pháp tuyến:
),( BAn =
→
; b. Vectơ chỉ phương là:
),( ABa −=
→
( hay
),( ABa −=
→
)
c.Hệ số góc của đường thẳng là

B
– x
A
)
hay
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
5/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn):
1=+
b
y
a
x
6/. Phương trình chính tắc :
b
yy
a
xx
00

A B
+ +
∆
+
8/. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : d
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0, d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
+ d
1
cắt d
2

2
1
2
1

C
B
B
A
A
dd ==⇔≡
9/. Góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
: Xác đònh bởi công thức :
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BABA
BBAA
Cos
++
+
=
ϕ
21
a
a

⇒
2 . ;sin
2
a
a R sinA A
R
= =
Đònh lí hàm số Tan
2
2
A B
tan
a b
A B
a b
tan
−
−
=
+
+
Các chiếu
cCosBbCosCa +=
Độ dài đường trung tuyến
4
)(2
222
2
acb
m

4
=
; 4.
))()(( cpbpappS −−−=
5.
abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
===
1. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h =
a 3
2
; b) S =
2
a 3
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung
trực
2. Tam giác vng: S =
1
2
ab (a, b là 2 cạnh góc vng)
3. Tam giác vng cân a) S =
1
2
a

R
2
(R: bán kính đường tròn)
Chú ý:
1.
( ) ( ) ( )
2 2 2
S A B C
r p a tan p b tan p c tan
p
= = − = − = −
với rlà bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác.
2.
4 2 2 2
abc a b c
R
S sinA sinB sinC
= = = =
Với a, b, c :cạnh tam giác; A, B, C: góc tam giác;
22
H
B
C
A
Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT
h
a
: Đường cao tương ứng với cạnh a; m
a
:Đường trung tuyến vẽ từ A

;
5.
CBCHAC .
2
=
;
6.
222
ACABBC +=
Chúc các em ơn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới !
23
1.
2.
3.
4.
5. 6.