Chơng 2. Hàm BiếnPhức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 25
cung (t) nối z
1
với z
2
và nằm gọn trong D. Khi đó tham số cung fo(t) nối w
1
với w
2
và
nằm gọn trong f(D). Suy ra tập f(D) là tập liên thông đờng.
3. Giả sử ngợc lại, hàm f không liên tục đều trên tập D. Khi đó
> 0, = 1/ n, z
n
, z
n
D : | z
n
- z
n
| < 1/ n và | f(z
n
) - f(z
n
) |
Do miền D compact nên có các dy con z

(n)



Suy ra a = b. Do hàm f liên tục nên
N
2
: n > N
2
, | f(z

(n)
) - f(z

(n)
) | <
Trái với giả thiết phản chứng.

Đ3. Đạo hàm phức

Cho hàm f : D , z f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Hàm f gọi là R - khả vi nếu phần thực
u = Ref và phần ảo v = Imf là các hàm khả vi. Khi đó đại lợng
df = du + idv (2.3.1)
gọi là vi phân của hàm phức f.
Kí hiệu dz = dx + idy và d
z
= dx - idy. Biến đổi
df = (
x
u


(
x
f


- i
y
f


)dz +
2
1
(
x
f


+ i
y
f


)d
z
=
z
f




= -
x
v


(C - R)

Ví dụ Cho w =
z
= x - iy
Ta có u = x và v = -y là các hàm khả vi nên hàm w là R - khả vi
Tuy nhiên
x
u

= 1
y
v

= -1 nên hàm w không phải là C - khả vi

Cho hàm f : D , a D và kí hiệu z = z - a, f = f(z) - f(a). Giới hạn
z
f
lim
0z




-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w

. Theo công thức (2.3.2)
f =
z
f


z +
z
f



z
+ o(z)
Chia hai vế cho z

z
f


=
z
f


+
z
f





- i
y
u


=
y
v


- i
y
u


=
y
v


+ i
x
v


(2.3.5)
Chứng minh


2
và v = 2xy là các hàm khả vi và thoả mn điều kiện (C - R)
x
u

= 2x =
y
v

và
y
u

= - 2y = -
x
v


Suy ra hàm w là C - khả vi và theo công thức (2.3.5)
w =
x
u

+ i
x
v

= 2x + i2y = 2z
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w

Định lý Hàm phức giải tích có các tính chất sau đây.
1. Cho các hàm f, g H(D, ) và . Khi đó f + g, fg, f / g (g 0) H(D, )
[f(z) + g(z)] = f(z) + g(z)
[f(z)g(z)] = f(z)g(z) + f(z)g(z)
)z(g
)z(g)z(f)z(g)z(f
)z(g
)z(f
2



=







(2.4.1)
2. Cho f H(D, ), g H(G, ) và f(D) G. Khi đó hàm hợp gof H(D, )
(gof)(z) = g()f(z) với = f(z) (2.4.2)
3. Cho f H(D, ) và f(z) 0. Khi đó hàm ngợc g H(G, ) với G = f(D)
g(w) =
)z(f
1

với w = f(z) (2.4.3)
Chứng minh

w
g


=
0z
lim

(
z
f


)
-1
= (f(z))
-1

Giả sử hàm w = f(z) giải tích tại điểm a và có đạo hàm f(a) 0.
Gọi L : z = z(t) là đờng cong trơn đi qua điểm a và : w = f[z(t)] = w(t) là ảnh của nó
qua ánh xạ f. Khi đó dz(t) là vi phân cung trên đờng cong L và dw(t) là vi phân cung
trên đờng cong . Theo công thức đạo hàm hàm hợp trong lân cận điểm a, ta có
dw = f(a)z(t)dt = f(a)dz
Suy ra
| dw | = | f(a) || dz | và arg(dw) = arg(dz) + argf(a) [2] (2.4.4)
Click to buy NOW!
P

k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o



,
y
f


).
Do tính bảo giác
(
x
f


,
y
f


) = (
x


,
y

) =
2



+ i
x
v


)
z
f


= 0
Điều này có nghĩa là hàm R - khả vi và biến hình bảo giác là hàm C - khả vi. Chúng ta
sẽ quay lại vấn đề biến hình bảo giác ở cuối chơng này.

Đ5. Hàm luỹ thừa

Hàm luỹ thừa phức

Hàm luỹ thừa phức
w = z
n
, z (2.5.1)
là hàm giải tích trên toàn tập số phức, có đạo hàm
w(z) = nz
n-1
(2.5.2)
và có các tính chất tơng tự hàm luỹ thừa thực.


w(t)

dw

(w)

argdw

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 2. Hàm BiếnPhức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 29
Kí hiệu z = re
i

suy ra w = r

n
r
, =
n
2
k
n

+

với k = 0 (n-1) (2.5.5)
Khi z chạy trên đờng cong L kín, không bao gốc toạ độ thì w chạy đồng thời trên các
đờng cong
k
kín, không bao gốc toạ độ. Khi z chạy trên đờng cong L kín, bao gốc
toạ độ thì w chạy đồng thời trên các cung w
k
w
k+1
từ điểm w
k
đến điểm w
k+1
. Khi z chạy
hết một vòng bao gốc toạ độ thì w nhảy từ nhánh đơn trị này sang nhánh khác. Do vậy
điểm gốc gọi là điểm rẽ nhánh của hàm căn phức và để tách các nhánh đơn trị ngời ta
thờng cắt mặt phẳng phức bằng một tia từ 0 ra .

Miền đơn trị của hàm căn phức là D = - (-, 0]. Với k = 0, hàm
w =


0

w
1


1

argz=0

argw=2


argz=0

argz=
n
2

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n

F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k