HỌC PHẦN ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

CHƯƠNG I. ĐỘ ĐO

$1. ĐẠI SỐ.
σ
- ĐẠI SỐ
1. Đại số
a) Định nghĩa 1
. Cho tập hợp
φ
≠X
. Một họ N các tập con của
X được gọi là một đại số các tập con của X, nếu N thoả mãn ba điều
kiện sau:
(i) X
∈
N ;
(ii) A
∈
N
⇒
C
X
A = X \ A
∈
N ;
(iii) A
1
, A
2

n

∈
N
⇒

I
n
k
k
A
1=

∈
N ;
3. A, B
∈
N
⇒
A \ B
∈
N.

Chứng minh
.
1. được suy từ (i), (ii)
2. được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan:
IU
n
k

φ
.
Khi đó N là một đại số các tập con của X.

2. Cho X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 2, 4, 6 },
C = { 1, 2, 4, 7 }, D = { 3, 5, 6 }.
Đặt N = {
φ
, X, A, B, C, D }. Hãy kiểm tra xem N có là một đại
số các tập con của X?
3. Cho N là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn
điều kiện :
Nếu A, B
∈
N thì X \ A
∈
N và A
∩
B
∈
N.
Chứng minh rằng N là một đại số các tập con của X.
2.
σ
- đại số
a) Định nghĩa 2
. Cho tập hợp
φ
≠X
. Một họ M các tập con của

k
A

∈
M .
b) Các tính chất

Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó M
có các tính chất sau đây:
1. M là một đại số các tập con của X;
2.
φ

∈
M ;
3. A
1
, A
2
, ... , A
n

∈
M
⇒

I
n

A

∈
M .
Chứng minh
.
- Tính chất 1 được suy từ (i), (ii) và (iii) khi đặt
A
n+1
= A
n+2
= ... =
φ
.
- Tính chất 2, 3, 4 được suy từ tính chất 1 vừa chứng minh.
- Tính chất 5 được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan:
IU
∞
=
∞
=
=
11
)(
k k
kk
CAAC

Nhận xét


∈
M
⇒

I
∞
=1k
k
A

∈
M .
Chứng minh rằng M là một
σ
- đại số các tập con của X.
3. Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X và Z
∈
M.
Đặt M
Z
là họ tất cả các tập hợp thuộc M và chứa trong Z.
Chứng minh M
Z
là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp Z.
$2. ĐỘ ĐO
1. Tập hợp số thực không âm mở rộng

) = (+
∞
) . a = +
∞
với mọi a
∈

],0( +∞
;
0 . (+
∞
) = (+
∞
) . 0 = 0

Lưu ý
. Đẳng thức a + c = b + c kéo theo a = b khi và chỉ khi

+∞≠c
.
2. Các khái niệm
Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X.
Xét ánh xạ
μ
: M
→

],0[ +∞


Định nghĩa 2
.
μ
được gọi là ánh xạ
σ
- cộng tính nếu có một họ
đếm được các tập hợp đôi một rời nhau A
1
, A
2
, ... , A
n
, ...
∈
M thì
∑
∞+
=
∞+
=
=
1
1
)()(
k
k
k
k
AA

σ
- đại số các tập con
của tập hợp X,
μ
là một độ đo trên M, được gọi là không gian độ đo.
Nếu A
∈
M thì số
μ
(A) được gọi là độ đo của tập hợp A.
Định nghĩa 5.
Độ đo
μ
được gọi là độ đo hữu hạn nếu
μ
(X) < +
∞
.
Độ đo
μ
được gọi là độ đo
σ
- hữu hạn, nếu X =
U
∞
=1
k
k
X
, X

Khi đó
μ
là một độ đo hữu hạn.
b) Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X.
Xét ánh xạ
μ
: M
→

],0[ +∞
xác định bởi

μ
(
φ
) = 0 ,
μ
(A) = +
∞
với mọi A
∈
M và
φ
≠A
.
Khi đó
μ
là một độ đo không

∉
A thì
μ
(A) = 0 .
Chứng minh rằng
μ
là một độ đo hữu hạn.
Nhận xét
. Có nhiều cách xây dựng độ đo trên cùng một
σ
- đại số
các tập con của tập hợp X, ứng với mỗi độ đo sẽ có một không gian độ
đo tương ứng với các tính chất khác nhau.
4. Các tính chất của độ đo
Cho (X, M,
μ
) là một không gian độ đo. Khi đó ta có các tính
chất sau đây.
1.
μ
là cộng tính hữu hạn.
2. Nếu A, B
∈
M và A
⊂
B thì
μ
(A)
≤


)()(
k
k
k
k
AA
μμ
U 4. Nếu A, B
∈
M , A
⊂
B và
μ
(B) = 0 thì
μ
(A) = 0.
5. Nếu A, B
∈
M và
μ
(B) = 0 thì

μ
(A
∪
B) =
μ

k
) = 0,
∀
k = 1, 2, ...
⇒

0)(
1
=
∞+
=
U
k
k
A
μ

8. Nếu
μ
là độ đo
σ
- hữu hạn thì
i) X =
U
∞
=1
k
k
Y
, trong đó các tập hợp Y

k
) < +
∞
với mọi A
∈
M và mọi k.
9. Nếu { A
n
} , n
∈
N, là dãy đơn điệu tăng các tập hợp đo được,
nghĩa là A
1

⊂
A
2

⊂
...
⊂
A
n

⊂
... , thì
U
∞+
=
+∞→

... , và
μ
(A
1
) < +
∞
thì
)(lim)(
1
n
n
n
n
AA
μμ
+∞→
∞+
=
=
I

5. Độ đo đủ
Để ý rằng tập con của một tập đo được chưa chắc là tập hợp đo
được, nghĩa là nếu A
∈
M , B
⊂
A thì có thể B
∉
M .

μ
' là ánh xạ sao cho
μ
'(A) =
μ
(B) (2)
Khi đó:
i) (X, M',
μ
') là một không gian độ đo;
ii)
μ
' là độ đo đủ.

Định nghĩa 7.
M' được gọi là bổ sung Lebesgue của
σ
- đại số M và
μ
' được gọi là thác triển Lebesgue của độ đo
μ
.

6. Thác triển ánh xạ
σ
- cộng tính thành độ đo
Định lý
(Hahn). Cho N là một đại số các tập con của tập hợp X và
m : N
→


1. Khoảng trong
ℜ

Định nghĩa 1.
Các tập hợp sau đây được gọi là các khoảng trong
ℜ
:
(a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (-
∞
, a), (-
∞
, a], (a, +
∞
), [a, +
∞
)
(-
∞
, +
∞
).
Để ý rằng giao của hai khoảng bất kỳ trong
ℜ
cũng là khoảng
trong
ℜ
hoặc là tập hợp rỗng.
Định nghĩa 2.
Nếu

n
i
jii
jiIIIPP
1
)(,/
=
≠=∩=ℜ⊂
φ
(1)
Trên N xét ánh xạ m : N
→

],0[ +∞
xác định bởi
∑
=
=
n
i
i
IPm
1
)(nếu P có biểu diễn như trong (1).
Định lý 1.
N là một đại số các tập con của
ℜ

∈
N, ta cần chứng minh P
∪
Q
∈
N.

Trước hết ta chứng minh P
∩
Q
∈
N.
Thật vậy, vì P, Q đều là hợp của hữu hạn khoảng không giao
nhau nên ta có biểu diễn:

IU
)'(,,
'
1
iiIIIP
ii
n
i
i
≠==
=
φIU

j
JIJI
JPJPQP
1111
11
)(])[(
)()(
====
==
==
===Thế mà
I
ijji
LJI
=
( i = 1, 2, ... , n ; j = 1, 2, ... , k) là các
khoảng không giao nhau đôi một nên P
∩
Q
∈
N.
Bây giờ ta chứng minh P
∪
Q
∈
N khi P, Q
∈

N .
Vậy, N là đại số các tập con của
ℜ
, định lý được chứng minh.
Định lý 2.
Ánh xạ m ánh xạ
σ
- cộng tính.
Chứng minh
.
Giả sử Q =
U
∞
=1
k
k
P
, trong đó các tập hợp P
k
đôi một rời nhau,
Q, P
k

∈
N (Q và P
k
đều là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau).
Ta cần chứng minh
∑
∞+


( i = 1, 2, ... , n
i
) sao cho
UUU
i
n
i
i
n
k
k
IPQ
11
)()(
==
=

trong đó các P
k
,
Ι
i
rời nhau.
Khi đó
∑∑∑
===
≥+=
n
k

<
ε
.
Đặt
),(
22
kk
kkk
baQ
εε
+−=
(k = 1, 2, ... )

[ ]
εε
−+= baQ ,'

Ta có P
k

⊂
Q
k
nên
UU
∞+
=
∞+
=
⊂=⊂

i
k
i
QQ
1
'

hay
∑∑∑
∑
∞+
=
∞+
=
∞+
=
=
−
+−=+−≤
≤+−≤−−
1
2
11
2
2
1
2
2
1
)()(

u
1
=
ε
, công bội q = 1/2 nên hội tụ và có tổng là 2
ε
.
Vậy
εε
2)(2
1
+−≤−−
∑
∞+
=k
kk
abab

hay
ε
4
1
+≤
∑
∞+
=k
k
PQ

Cho

PmQm Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp Q là khoảng vô hạn.
Khi đó
+∞=Q
.
Rõ ràng ta luôn có thể biểu diễn Q ở dạng
+∞=⊂⊂=
∞+
=
+∞→
U
1
21
lim...,,
n
n
n
n
IIIIQ

trong đó các
Ι
n
đều là khoảng hữu hạn.
Chẳng hạn,
U
∞+
=

knnn
PIPIQII

trong đó các tập hợp
I
kn
PI
hữu hạn và rời nhau theo chỉ số
k = 1, 2, ...
Theo phần vừa chứng minh
∑∑
∞+
=
∞+
=
≤=
11 k
k
k
knn
PPII
I

Cho n
→
+
∞
, ta được
∑
∞+
3. Độ đo Lebesgue trên
ℜĐịnh nghĩa 3.
Độ đo
μ
và
σ
- đại số M nhận được khi thác triển
ánh xạ m trên đại số N các tập con của
ℜ
được gọi lần lượt là độ đo
Lebesgue và
σ
- đại số các tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên
ℜ
.
Các tính chất

Độ đo Lebesgue
μ
và
σ
- đại số M các tập đo được theo nghĩa
Lebesgue trên
ℜ
có các tính chất sau đây.

∈
ℜ
) cũng
đo được và
μ
( t A ) = / t /
μ
( A ) ,
μ
( x
0
+ A ) =
μ
( A),
trong đó
{ } { }
AaaxAxAatatA ∈+=+∈= /,/
00

Các ví dụ

a) Tập hợp Q các số hữu tỷ có độ đo không.
b) Tập hợp Cantor P
0
trên [0, 1] xây dựng theo cách dưới đây có độ
đo không.
Xét tập hợp [0, 1].
- Bước 1
. Chia [0, 1] thành ba khoảng bằng nhau, bỏ đi khoảng
giữa G

n
) = 2
n-1
. 1/ 3
n
= 1/2 . (2/3)
n

Khi đó
∑∑
∞+
=
∞+
=
===
11
3
2
2
1
1)()()(
nn
n
n
GG
μμVậy
μ

, +
∞
)
∪
{-
∞
, +
∞
} . Ta gọi đây là tập số thực
mở rộng, ký hiệu là
ℜ
, với các quy ước về phép toán như sau.

-
∞
< a < +
∞
với mọi a
∈

ℜ
;

a + (+
∞
) = (+
∞
) + a = +
∞
với mọi a

+∞

a . (-
∞
) = (-
∞
) . a = -
∞
với mọi a
∈

],0(
+∞
;

a . (+
∞
) = (+
∞
) . a = -
∞
với mọi a
∈
(-
∞
, 0);
a . (-
∞
) = (-
∞

∞
), (+
∞
) - (+
∞
), (-
∞
) - (-
∞
),
∞±
±∞
,
0
a
với mọi a
∈

ℜ
đều không có nghĩa.
2. Hàm số hữu hạn
Định nghĩa 1.
Hàm số f : A
→

ℜ
được gọi là hữu hạn trên A nếu
f(A)
⊂


=
0
)1,0(
)(
1
xkhi
xkhi
xf
x

là hàm số không hữu hạn trên [0, 1).
3. Hàm số đo được
Dưới đây ta cho (X, M) là không gian đo được và A
∈
M .
Định nghĩa 2.
Hàm số f : A
→

ℜ
được gọi là đo được trên A nếu
{ }
∈<∈ℜ∈∀ axfAxa )(/,
M
Nếu X =
ℜ
và M là
σ
- đại số các tập đo được theo nghĩa Lebesgue
trên

(2)
{ }
∈≥∈ℜ∈∀ axfAxa )(/,
M
(3)
{ }
∈>∈ℜ∈∀ axfAxa )(/,
M
(4)
{ }
∈≤∈ℜ∈∀ axfAxa )(/,
M

Chứng minh.
Đặt
{ }
axfAxB <∈= )(/

{ }
axfAxC ≥∈= )(/

{ }
axfAxD >∈= )(/

{ }
axfAxE ≤∈= )(/


n
n
n
n
DCCD

trong đó
{ }
n
n
axfAxC
1
)(/
+≥∈={ }
n
n
axfAxD
1
)(/ −>∈=

Thật vậy, lấy x
∈
D thì x
∈
A và f(x) > a. Theo tính chất trù mật của tập
số thực, tồn tại
0

thì tồn tại
0
n
sao cho
0
n
Cx ∈

Khi đó x
∈
A và
0
1
)(
n
axf +≥
nên f(x) > a. Suy ra x
∈
D.
Bây giờ ta lấy x
∈
C thì x
∈
A và
axf ≥)(
nên với mọi n ta có
n
axf
1
)( −>

với mọi n. Lấy giới hạn hai vế của bất đẳng thức cuối
cùng này khi n
→
+
∞
, ta được
)(lim)(lim
1
n
nn
axf −=
+∞→+∞→
hay
axf ≥)(
. Do đó x
∈
C.
Vậy ta có các đẳng thức về tập hợp cần chứng minh trên đây.

- Bây giờ ta chứng minh (2)
⇔
(3).
Thật vậy, giả sử ta có (2), khi đó với mọi a
∈

ℜ
và mọi n ta có
n
C


M thì f đo được trên
Β
.
Chứng minh
.
Với
ℜ∈∀a
ta có
()
{ }
( )
{ }
//x fxa x fxa∈Β < =Β∩ ∈Α < ∈M

2º
f
đo được trên
1
Α
,
2
Α
, … và f xác định trên
1
n
n
∞
=
Α =Α
U

1º Nếu
f
đo được trên
Α
và c = const
∈

ℜ
thì
cf
đo được trên
Α
.
2º Nếu
f
,
g
đo được và hữu hạn trên
Α
thì
fg+
,
fg
đo được trên
Α
.
3º Nếu
f
đo được trên
Α

Α
thì
( )
max ,f g
,
( )
min ,f g
đo được trên
Α
.
6º Nếu
{ }
n
f
là dãy hàm đo được trên
Α
thì
sup
n
n
f
,
inf
n
n
f
,
lim sup
n
n

.
8º Nếu
f
,
g
đo được trên
Α
thì các tập hợp
( )()
{ }
/x fx gx∈Α <
,
() ()
{ }
/
x fx gx∈Α ≤
,
( ) ( )
{ }
/
x fx gx∈Α =
đều thuộc
M
.
9º Nếu
f
đo được trên
Α
thì các hàm số
()

fx khifx
−
≥
⎧
==−
⎨
−<
⎩

là những hàm số đo được trên
Α
.
5. Hàm đặc trưng của tập hợp
Định nghĩa 2.
Cho
Α⊂Χ
. Hàm số
ℜ→Χ:
A
χ
xác định bởi
()
1,
0,
neu x
x
neu x
χ
Α
∈ Α

ℜ
.
Ta xét tính chất đo được của hàm đặc trưng.
Định lý 2.
Hàm đặc trưng
E
χ
của tập hợp
Ε ⊂Α
là đo được trên
Α
khi và
chỉ khi E
∈
M.
Chứng minh
.
Với
ℜ∈∀a
ta có
()
{}
,1
:\,01
,0
E
neu a
x xa neu a
neu a
χ

Định nghĩa 3.
Hàm số
[ ]
:0;
S
Χ →+∞
xác định trên
Χ
và chỉ nhận một
số hữu hạn các giá trị hữu hạn không âm được gọi là hàm số đơn giản trên
Χ
.
Tương tự ta có khái niệm hàm đơn giản trên tập hợp
Α ⊂Χ
.
Ví dụ 7
. Hàm số Direchle trên đây là hàm số đơn giản trên
ℜ
vì nó chỉ nhận
hai giá trị hữu hạn không âm là 0 và 1.
Ví dụ 8. Xét hàm số
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
=
)7,4(4
]4,3[2

kk
x Sx k n
α
Χ= ∈Χ = =
.
Thế thì các
k
Χ
rời nhau,
1
k
k
∞
=
Χ= Χ
U
và
() ()
1
,
k
n
k
k
Sx x x
αχ
Χ
=
= ∀∈Χ
∑

với mọi x
∈
[1, 7).

Xét tính chất của hàm đơn giản.
Cho
()
,Χ
M
- không gian đo được, A
∈
M.
Định lý 3.
Cho
S
là hàm đơn giản trên
Α

() ()
1
k
n
k
k
Sx x
αχ
Α
=
=
∑

đo được trên
Α
thì
( )
{ }
:1,
kk
x Sx k n
α
∈Α = =Α ∈ =
M,

- Nếu
1
Α
, …,
k
A

∈
M thì theo định lý 1 mọi hàm đặc trưng
k
χ
Α
đo được
trên
Α
. Khi đó hàm
()
Sx

nkhifxn
Sx
mm m
khi f x m n
≥
⎧
⎪
=
⎨
−−
≤< =
⎪
⎩

thì
()
n
Sx
là dãy đơn điệu tăng (theo
n
) các hàm đơn giản đo được trên
Α
.
Ta chứng minh
() ( )
lim ,
n
n
Sx fx x
→∞

()
1
2
n
n
m
Sx
−
=
nên
() ()
1
2
n
n
Sx fx− <
với
n
đủ
lớn.
- Nếu
()
fx=+∞
thì
( )
n
Sx n=
với
n
∀

nào đó xảy ra hầu khắp nơi trên tập hợp A nếu tồn tại một tập
hợp B
⊂
A , B
∈
M,
μ
(B) = 0 sao cho tính chất
ℑ
xảy ra tại mọi x
∈
A
\ B.
Nói một cách khác, các điểm x
∈
A mà tại đó tính chất
ℑ
không xảy
ra đều thuộc tập hợp có độ đo không.
Hiển nhiên, một tính chất xảy ra ( khắp nơi ) trên A thì xảy ra hầu khắp
nơi trên A.
Sau đây ta đưa ra một vài khái niệm cụ thể thường sử dụng.
Định nghĩa 2.
Hai hàm số f, g cùng xác định trên tập hợp
A
∈
M được gọi là bằng nhau hầu khắp nơi trên A (hay tương
đương nhau trên A ) nếu tồn tại một tập hợp B
⊂
A , B

)1,0(
)(
1
xkhi
xkhi
xf
x

tương đương với hàm số

⎩
⎨
⎧
=
∈
=
01
)1,0(
)(
1
xkhi
xkhi
xg
x

trên [0, 1), vì f(x) = g(x) với mọi x
∈
[0, 1) \ B, trong đó
B = {0} là tập con của [0, 1), đo được và có độ đo không.
Ví dụ 3

∈
M,
μ
(B)= 0 sao cho f(x)
∈

ℜ
với mọi x
∈
A \ B.
Ví dụ 4
. Hàm số f(x) được cho ở ví dụ 2 hữu hạn hầu khắp nơi trên [0, 1).
Định nghĩa 4.
Hàm số f được gọi là xác định hầu khắp nơi trên tập hợp A
∈

M nếu tồn tại một tập hợp B
⊂
A , B
∈
M,
μ
(B) = 0 sao cho f xác định trên A \ B.
Ví dụ 5
. Hàm số sơ cấp
x
xf
1
)( =
xác định hầu khắp nơi trên

n
f
xác định bởi
n
n
xx
xxx
n
xf
2
2
4
sin3
)(
+−
−+
=

hội tụ hầu khắp nơi về hàm số
x
xx
xf
−
+
=
4
3
2
)(
trên [-1, 1].

.
(i)
Vì f ~ g (trên A) nên tồn tại một tập hợp B
⊂
A , B
∈
M,
μ
(B) =
0 sao cho f(x) = g(x) với mọi x
∈
A \ B.
Mặt khác, vì
{}
n
f
hội tụ h.k.n về f trên A nên tồn tại một tập hợp C
⊂
A ,
C
∈
M,
μ
(C) = 0 sao cho
)()(lim xfxf
n
n
=
+∞→


{}
n
f
hội tụ h.k.n về g trên A.
(ii)
Tương tự, do
{}
n
f
hội tụ h.k.n về f trên A nên tồn tại một tập hợp
B
⊂
A , B
∈
M,
μ
(B) = 0 sao cho
)()(lim xfxf
n
n
=
+∞→
với
mọi x
∈
A \ B.
Lại do
{}
n
f

U
C)
⊂
A, B
U
C
∈
M,
μ
(B
U
C) = 0 nên f ~ g (trên
A).
Định lý được chứng minh.

Từ định lý suy ra rằng, nếu ta đồng nhất các hàm số tương đương thì
giới hạn của dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi là duy nhất.
Định lý 2.
(Egoroff) Giả sử
{ }
n
f
là một dãy hàm đo được, hữu hạn
h.k.n, hội tụ h.k.n về hàm số f đo được, hữu hạn h.k.n trên một tập hợp
A có độ đo hữu hạn. Khi đó với mỗi
ε
> 0, tồn tại một tập hợp E đo
được, E
⊂
A sao cho

f
(-
∞
, a)
là một tập mở trong A.
Mặt khác, do A là không gian con của
ℜ
nên B = A
I
G , với G là
một tập mở trong
ℜ
. Suy ra B đo được theo nghĩa Lebesgue trên
ℜ
. Vậy f đo
được (L) trên A.
- Ngược lại, một hàm số đo được (L) trên tập hợp A
⊂
ℜ
chưa chắc là
hàm liên tục trên A.
Tuy nhiên định lý dưới đây sẽ cho ta thấy một hàm đo được có thể trở thành
hàm liên tục nếu bỏ qua một tập hợp có độ đo bé tuỳ ý.
Định lý 3.
(Lusin) Giả sử
f là một hàm số hữu hạn xác định trên tập hợp A
⊂
ℜ
;
A là tập đo được theo nghĩa Lebesgue và có độ đo hữu hạn.

,
2
f
, … là những hàm đo được hữu hạn hầu khắp nơi trên A. Dãy
{ }
n
f
được
gọi là hội tụ theo độ đo đến
f
và ký hiệu
n
f f
μ
⎯⎯→
trên A, nếu với
0
ε
∀>
ta đều có
( ) ( )
{ }
()
lim : 0
n
n
xfxfx
με
→∞
∈ Α−≥=

n
f f−
xác định hầu khắp nơi trên A.
Ví dụ 1
. Xét dãy hàm
{ }
n
f
xác định bởi
1
,[0,1)
()
1
2, [1 ,1)
n
xkhix
n
fx
khi x
n
⎧
∈−
⎪
=
⎨
⎪
∈−
⎩
⎯⎯→
trên A.
b) Nếu
n
f f
μ
⎯⎯→
trên A và
n
f g
μ
⎯⎯→
trên A thì
f g

trên A.
Chứng minh
.
a) Vì
fg

trên A nên tập hợp
( )()
{ }
:
x fx gx
Β= ∈Α ≠
có độ đo
()
0

ε ε
ε
ε
ε
Α= ∈Α − ≥ =
=∈ − ≥ ∈ − ≥⊂
⊂∈ΑΒ − ≥∪Β=
=∈ΑΒ − ≥∪Β⊂
⊂∈Α − ≥∪Β
nn
nn
n
n
n
xfxgx
xABfxgx xBfxgx
xfxgx
xfxfx
xfxfx
U

Suy ra

( )
( ) ( )
{ }
( )
() ()
{}
()

μ
⎯⎯→
trên A.
b) Đặt
{ }
{}
{}
0
:() () 0
:() (),
:() () , 0
1
:() () ,
:() () ,
2
:() () ,
2
k
nn
nn
AxAfxgx
xAfx gx
AxAfxgx
AxAfxgx k
k
BxAfxfx n
CxAfxgx n
ε
εε
ε

()0A
μ
=
.
- Trước hết ta chứng minh
0
1
k
k
A A
+∞
=
=
U
. (1)
L ấy
0
x A∈
, ta có
xA∈
và
() () 0fx gx− >
.
Theo tính chất trù mật của tập số thực sẽ tồn tại số tự nhiên
0
k
sao cho
0
1
() () 0fx gx

k
x A∈
. Suy ra
x A∈
và
0
1
() ()fx gx
k
−≥
nên
() () 0fx gx−>
, do đó
0
xA∈
.

Vậy (1) được chứng minh. Khi đó ta có
0
1
() ()
k
k
A A
μμ
+∞
=
≤
∑
(2)


Thật vậy, lấy
(\ )(\ )
nn
x AB AC∈
I
ta có
xA∈
và
() ()
2
n
fx fx
ε
−<
và
() ()
2
n
fx gx
ε
− <

Suy ra
() () () () () ()
() () () ()
22
nn
nn
fx gx fx f x f x gx

f f
μ
⎯⎯→
,
n
f g
μ
⎯⎯→
trên A, nên lấy lim hai vế của (4) ta được
()0, 0A
ε
μ ε
= ∀>

Suy ra
()
1
0, 0,
με
∗
Α= =>∀∈
k
khi k
k


Từ (2) ta có
0
()0A
μ

( )
\
μ η
Α Β<
và dãy hàm số
{ }
n
f
hội
tụ đều đến hàm số
f
trên tập hợp B. Do đó tồn tại một số tự nhiên
0
n
sao cho
với mọi số tự nhiên
n
, nếu
0
nn
≥
thì
() ( )
n
fx fx
ε
− <
với mọi
x
∈Β

f f
μ
⎯⎯→
trên A (đpcm).
*Nhận xét.

Giả thiết
()
μ
Α<+∞
trong định lý 2 không thể bỏ qua.
Ví dụ 2
. Giả sử
{ }
n
f
là một dãy hàm số xác định trên

bởi
()
0
1, 2...
n
khi x n
fx
nkhixn
n
<
⎧
=

sao cho x <
0
n
. Thế thì với mọi số tự nhiên n >
0
n
, ta
có x < n nên
() 0
n
fx=
.
Suy ra
lim ( ) lim 0 0 ( )
n
nn
fx fx
→+∞ →+∞
===
. Vậy
()
0
n
fx→
trên

.
- Tuy nhiên
{ }
n

( )
:
με
∈−≥=+∞
n
xfxfx

với mọi
n
.
Ví dụ 3
.
Α=

,
μ
là độ đo Lebesgue trên đường thẳng và
()
1, 1
0,
≤ ≤+
⎧
=
⎨
⎩
n
khi n x n
fx
tai cac diem khac