Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 1 ~

Lời dẫn
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
rong chương trình sách giáo khoa lớp 10, chúng ta cũng đã được giới thiệu khá đầy
đủ về định nghĩa và các công thức biến đổi lượng giác. Nay lên lớp 11, chúng ta vẫn
tiếp tục học về lượng giác nhưng đã được nâng cao hơn và mở rộng hơn. Tuy nhiên
trong thực tế, ít ai có thể biết hết các ứng dụng của lương giác. Hôm nay tôi xin giới
thiệu cho các bạn về một ứng dụng khá hay và hữu ích của lượng giác trong giải toán;
đó là phương pháp: “Dùng lượng giác để giải các bài toán Đại số”
Phương pháp lượng giác hóa có thể áp dụng để giải nhiều dạng toán đại số và
giải tích khác nhau như: giải phương trình, hệ phương trình, tìm miền giá trị của hàm số
chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất của hàm số hoặc các biểu
thức đại số…
Do thời lượng có hạn nên cuốn đề tài chỉ có thể đề cập đến một số vấn đề cơ bản
của phương pháp lượng giác hóa. Cuốn đề tài được chia làm các phần:
 Phần 1 Cách giải: phần này cung cấp cho bạn đọc cách giải chung nhất của
phương pháp cho bạn đọc.
 Phần 2 Một số dạng thường gặp: phần này bao gồm các dạng bài toán có thể
áp dụng phương pháp lượng giác hóa, dấu hiệu nhận biết của từng dạng và
một số ví dụ cụ thể cho các dạng…
 Phần 3 Bài tập đề xuất: bao gồm một số ví dụ khác dành cho bạn đọc tự giải
để có thể nắm vững được phương pháp này.
Với bản chất “mềm dẻo” của kiến thức, phương pháp lượng giác hóa sẽ đem lại
cho bạn một lời giải “đẹp”, ngắn gọn, sáng tạo và không kếm tính bất ngờ, không
những thế còn gây được nhiều hứng thú cho người đọc.
Tuy đã cố gắng rất nhiều để làm cuốn đề tài này, nhưng trong quá trình biên tập

chọn hàm số lượng giác tương ứng để có thể áp dụng được những công thức
lượng giác đó.
Bước 2: Sau khi đã chọn được các hàm số lượng giác phù hợp với bài toán thì ta
thay biến cũ bằng hàm số lượng giác vừa chọn được một bài toán mới với ẩn là các hàm
số lượng giác. Giải bài toán mới bằng cách sử dụng các công thức biến đổi lượng giác
đã học.
Trước khi thay các hàm số lượng giác vào, chúng ta có thể biến đổi chúng nếu
bài toán quá “cồng kềnh”.
Bước 3: Cuối cùng, ta thực hiện bước trả lại biến (với những bài giải phương
trình, bất phương trình) rồi kết luận bài toán.
Khi kết luận chúng ta cần lưu ý đề bài hỏi gì để tránh kết luận nhầm hay sai theo
bài toán mới khi đã thay các hàm số lượng giác
Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 3 ~

2. Một số dạng thường gặp
a. Dạng 1











thành:
(1 + cos α)
n
+ (1 – cos α)
n
< 2
n
(2)






 
  





  



  







 







 




 






 










 


  


  




Giải


  


  











 




  



  




 



  



 








  


 


    


  
 

   






  

 

  



 



ĐK: 1 a
2
≥ 0  |a| ≤ 1
Đặt a = cos α, với α ϵ [0; π] Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 5 ~



 


  




  

 

  








 

  








  












  




  



  

 

  






Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

   

  

Giải


  
  
 
Đặt x = cos α, α ϵ [0;π] Khi đó bất phương trình đã cho trở thành

   


 











 








 






 




























 




 


Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 6 ~

 















  







    

Giải
ĐK: 1 x
2
≥ 0  |x| ≤ 1








 

  



  

  



   




  

















  




 






 






  




















 










Đặc biệt: m = 1 thì đặt x = sin α và x = cos α với α
Dạng này cũng thường gặp ở những bài chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hay
giải hệ phương trình cho điều kiện của biến là x
2
+ y
2
=1 hoặc trong khi giải bài toán
nhận thấy có 2 nghiệm hay 2 “cụm” nghiệm có tổng bình phương bằng 1.


    



    



  

  

     

Giải











a. Ta có:

 



  









  

  

   
    
     


 



  


Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 8 ~

  

  

  

   
    
     


 



  


  

  

  

  


 

  

  



  



 






  


  



  



 



  




  



  




  

  

  

    

  

  




  

  

 

 


 

  

  







 









 




Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011




 


 

  





Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện a , b > c >0
thì ta có bất đẳng thức:

   

  



Giải












  














  


















  






  


     
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 10 ~

c. Dạng 3





hoặc sau
khi giải những điều kiện xác định của bài toán ta có được điều kiện trên. Thường thì khi
giải những điều kiện của căn ta sẽ có được điều kiện trên.
Chẳng hạn 

 


Với dạng này ta có một số ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với mọi giá trị a thuộc tập giá trị, ta có:



  




Giải
Điều kiện: a
2
– 1 ≥ 0  |a| ≥ 1





  





Nhận thấy cos α = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta có:
 

 


 




 

 




Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011


 














Khi đó phương trình có dạng:










 









  







 


Khi đó phương trình được đưa về dạng:






 








  





   


 



 





Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 12 ~

d. Dạng 4
Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện của biến số và có






  





















  






  


  


  



  


  


  
Giải
















  





  









  


  



Như vậy ta cần chứng minh:



  





  





  































  



  



  





 
Giải





















 





















   

 

    


















Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 14 ~

e. Dạng 5 (một số dạng khác)
Trong khi giải bài tập không phải khi nào ta cũng gặp các dạng trên. Do số lượng
các công thức lượng giác là rất nhiều nên khi giải các bài tập ta cúng phải linh hoạt
trong việc sử dụng các công thức ấy để chọn các hàm số lượng giác cho phù hợp.
Chẳng hạn:
 Với hàm số sinα :
  

  


  



 










 






 Với hàm số cosα:


 

  


 





  



  




  



  





  

  


  



2011

~ 15 ~

 


  








  







 Khi đề bài cho x + y + z = xyz thì:
















      
Chứng minh:






 





 















 











 


















 
       
Ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: 



 



 

  (1)

Giải
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: Với x ≥ 1  VT(1) > 1, do đó phương trình vô nghiệm .
TH2: Với x ≤ 1  VT(1) < 0, do đó phương trình vô nghiệm .




  




























Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 17 ~ Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c sao cho (ab+1)(bc+1)(ca+1) ≠ 0.
Chứng minh rằng:
  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  



  



  


 

  

 

  

 

  



  



  







  


Giải




























Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 18 ~






  










  






























Vậy hệ phương trình có các nghiệm

  


  

  


  

  


  

  


  

  
Giải

          
          
    



  


  


  




  

  


  

  


  

  


  

  





 





Giải

          
     


        
 

    

  

  

  









  



 

  



  





 

  



  

  


 

  


  


 

  


  



   



 


 






 


 






 







       



 


 




  

 


  


Giải



















  



  





  









  




 
























Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 21 ~

























 







 

  




  





  

  


   


 

 




 











   

   


Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 22 ~

3. Bài tập đề xuất
Và như thế, câu chuyện của chúng ta về phương pháp dùng lượng giác để giải
các bài toán đại số đã đi đến hồi kết. Trong trường hợp nào thì phương pháp đạt hiệu
quả, trong trường hợp nào không? Câu trả lời cho câu hỏi này chỉ có thể là kinh nghiệm
cá nhân của bạn, được làm giàu bằng cách giải các bài toán. Để kết thúc đề tài này tôi
xin đề xuất một số bài tập, có thể coi là “vốn ban đầu” của các bạn.
Bài 1: Cho x
2
+ y
2


  

Bài 3: Cho x, y thỏa mãn 2x + 5y = 7. Chứng minh rằng:


 



Bài 4: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và x, y thỏa mãn ax + by =c.
Chứng minh rằng:


 






 




 

  





Bài 7: Giải phương trình:

 

  




  





  




  


  





Bài 10: Chứng minh rằng:

 



 

 




 



 

 










  







  





  






Bài 13: Giải phương trình:










 

   
Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 24 ~






  







  



 




 







 




 






 



  


  


  

Bài 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số:





  



 




 





 

 


  












  









  



Hêt
Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

2011

~ 25 ~

Nhận xét của giáo viên