rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh
qua một số dạng toán tính số đo góc
Lê Trọng Châu
P. Trởng phòng GD&ĐT Lộc Hà, Lộc Hà, Hà Tĩnh
(ĐT: 0393.650.775 0985.997.942)

I.Cơ sở lý thuyết:
Để giải tốt bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
* Trong tam giác:
+ Tổng số đo ba góc bằng 180
0
.
+ Biết hai góc ta xác định đợc góc còn lại.
* Trong tam giác cân: Biết một góc ta xác định đợc hai góc còn lại.
* Trong tam giác vuông:
+ Biết một góc nhọn, xác định đợc góc nhọn còn lại.
+ Cạnh góc vuông bằng nữa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông có số đo bằng 30
0
.
* Trong tam giác vuông cân: Mỗi góc nhọn có số đo bằng 45
0
.
* Trong tam giác đều: Mỗi góc có số đo bằng 60
0
.
* Đờng phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau.
* Hai đờng phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc có số đo là 90
0
.
* Hai đờng phân giác của hai góc kề phụ tạo thành một góc có số đo là 45

0
= 20
0
+ 60
0
. (H.1)
Ta thấy có sự liên hệ rõ nét giữa góc 20
0
và góc 60
0
mặt khác MA = BC.
Từ đây, ta thấy các yếu tố xuất hiện ở trên liên quan đến tam giác đều.
Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều.
H ớng giải :
Cách1:(H1) Vẽ BDC đều (D,A cùng phía so với BC). Nối Avới D.
Ta có : ABD = ACD (c.c.c) => DAC = DAB =10
0
. (H.2)
-1-
A
M
B
C
D
A
M
B
C
D


(2)
- Từ hớng giải quyết trên chúng ta thử giải bài toán 1 theo các phơng án sau:
* Vẽ ACD đều (C, D khác phía so với AB)
* Vẽ ABD đều (B, D khác phía so với AC)
* Vẽ AMD đều (D, C khác phía so với AB)
.............................
Bài toán 2: Cho ABC cân tại A; A = 40
0
. Đờng cao AH, các điểm E, F theo thứ tự thuộc các đoạn
thẳng AH, AC sao cho EBA = FBC = 30
0
. Tính góc AEF =?
H ớng giải :
Vẽ ABD đều ( B, D khác phía so với AC ) (H.3).
Tam giác ABC cân tại A = 40
0
(gt) (H.3)
=> ABC = ACB = 70
0
mà FBC = 30
0
(gt)
=> ABF = 40
0
, BAF = 40
0
=> AFB cân tại F.
=> AF = BF mặt khác AD = BD, FD chung.
=> AFD = BFD(c.c.c) => ADF = BDF =
0

= 60
0
- 20
0
và mối liên hệ FA = FB đợc suy ra từ ABF cân tại F.
Với hớng suy nghĩ trên chúng ta có thể giải bài toán 2 theo các cách sau:
* Vẽ AFD đều (H.4) .(F, D khác phía so với AB).
* Vẽ BFD đều (H.5). (F, D khác phía so với AB).
............. (H.4) (H.5)

Bài toán 3: (Trích toán nâng cao lớp 7 - Vũ Hữu Bình - NXBGD 2003)
Cho ABC, B = C = 45
0
. Điểm E nằm trong tam giác sao cho: EAC = ECA = 15
0
. Tính góc BEA ?
Nhận xét: Xuất phát từ 15
0
và 75
0
đã biết.Ta có: 60
0
=75
0
-15
0
và EA = EC do AEC cân tại E. Với những

C
A
B
E
D
B
C
D
F
E
A
H
B
C
F
E
A
D
H
B C
F

E
A
D
H
=> AMC = 150
0
(H.7)
*Một số bài toán tơng tự:

Điểm M nằm ngoài tam giác sao cho MAC = MCA =
2
60
0


. (M, B khác phía so với AC). Tính: BMA = ?
Bài toán 3.3.3: Cho ABC, AB = AC, Â = (120
0
< < 180
0
).
Điểm M nằm ngoài tam giác sao cho MAC = MCA =
2
60
0


, (M, A khác phía so với BC). Tính BMA = ?
Bài toán 4:
Cho ABC, A = 80
0
, AB = AC. M là điểm nằm trong tam giác sao cho MBC = 10
0
, MCB =30
0
. Tính: AMB
Nhận xét:
Xuất phát từ giả thiết AB = AC và liên hệ giữa góc10
0

,
trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA (A, D khác phía so với BC).
Tính: BCD = ?
Nhận xét: Ta thấy bài ra xuất hiện góc 70
0
và 10
0
mà 60
0
= 70
0
- 10
0

đồng thời với BA = BD. Điều này làm nảy sinh suy nghĩ vẽ hình phụ
là tam giác đều.
H ớng giải : (H.10)
Cách 1: (H.10) Vẽ BCI đều (I, A cùng phía so với BC ).
Ta thấy BIA = CIA (c.g.c) và BIA = BCD(c.g.c)
=>BCD = BIA = 180
0
- (10
0
+
2
BAC
) =150
0
.
Cách 2: (H.11) Vẽ ABE đều (E, B khác phía với so AC). (H.11)

B
D
A
B
C
I
D
D
A
B
C

E
A
B
D
C
H
=> ACB cân tại C => CD là phân giác => ACD = 15
0
.
Nhận xét: Suy nghĩ chứng minh ACB cân xuất phát từ đâu?
Phải chăng xuất phát từ AHC vuông có C = 30
0
và AH =
2
1
BC. Thực sự hai yếu tố này đã giúp ta nghĩ
đến tam giác vuông có một góc bằng 30
0

2
1
BD =
2
1
DC.
Đến đây ta thấy một phần của các yếu tố trong tam giác vuông có một góc bằng 30
0
xuất hiện. Từ đó dự
đoán C = 30
0
. Nảy sinh suy nghĩ vẽ DI AC. Nếu chứng minh đợc DI =
2
1
DC thì bài toán đợc giải quyết.
Với suy nghĩ tơng tự ta có cách vẽ hình phụ nh sau:
* Lấy E đối xứng với A qua H. (H.14) . Ta chứng minh đợc
AEC đều => AHC là nửa tam giác đều từ đó bài toán (H.14)
đợc giải quyết .
Bài toán 8:
Cho ABC. Vẽ ABD, ACE đều (E, D nằm ngoài tam giác ABC).
H là trung điểm của BC, I là trọng tâm của ABD. Tính: IEH = ?
H ớng giải :
Lấy F đối xứng với E qua H. (H.15)
Ta có: BHF = CHE (c.g.c) => BF = CE.
Ta có IA = IB và AIB = 120
0
(vì ABD đều).
IAE = 30
0

0
.
=>FIE = 120
0
=> IEH = 30
0
. F
Với cách giải này, nhiều em đã phát hiện và đề xuất cách vẽ đờng phụ nh sau:
* Lấy K đối xứng với I qua H. (H.17)
* Lấy M đối xứng với B qua I. (H.18)
............
(H.17) (H.18)
*Bài tập cùng dạng:
-4-
C
E
C
A
D
B
I
H
A
B
D
C
H
I
Ta đều có hướng giải quyết tương tự.
C

Bài toán 9:Cho ABC, M là trung điểm của BC, BAM = 30
0
, MAC = 15
0
. Tính: BCA = ?
Nhận xét: Khi đọc kỹ bàI toán ta thấy BAM = 30
0
, MAC = 15
0
, BM = MC quan sát hình vẽ rồi nhận dạng bài
toán ta biết đợc nó có nguồn gốc từ bài toán 3 mặt khác BAC = 45
0
điều này giúp ta nghĩ đến dựng tam vuông giác cân.
H ớng giải :
Cách 1: (H.19). Hạ CK AB (Dễ chứng minh đợc tia CB nằm giữa
hai tia CA và CK). Ta có AKC vuông cân tại K (vì BAC = 45
0
)
=> KA = KC . Vẽ ASC vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC).
Do BKC vuông tại K => KM =
2
1
BC = MC=> KMC cân tại M . (H.19)
Dễ thấy KAM = CSM (c.g.c) =>CSM = 30
0
=> ASM = 60
0
và
SAM = 60
0

= 150
0

=> DCA = 15
0
=> ADC cân tại D => AD = CD mà AD = BD (ADB đều).
Vậy BDC vuông cân tại D => DCB = 45
0
=>BCA = 45
0
- DCA = 45
0
- 15
0
= 30
0
.
Bài toán 10:
Cho ABC, A = 1V, AC = 3AB. D là điểm thuộc đoạn AC sao cho AD = 2DC. Tính: ADB + ACB = ?
H ớng giải : (H.21)
Kẻ EF AC sao cho EA = ED, E AD với EF = AD, (B, F
khác phía so với AC ) . Ta có BAD = DEF (c. g.c) (* )
=> BD = FD , BDF = 1v => BDF vuông cân tại D
=> DFB = 45
0
(1). Trên tia đối của tia AB lấy I sao cho
AI = 2AB . Dễ thấy IBF = ACB ( c.g.c). => ACB = IBF (H.21).
= EFB (2)
Từ (*), (1) và (2) ta có ADB + ACB = BFD = 45
0

CK
B
D
A
B
I
M
C
B
A
E
D
C
FI
A
K
B
E
F
C
M
I