Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh
DỰNG TAM GIÁC ĐỀU TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH SỐ ĐO GÓC, SO
SÁNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG( CHỨNG MINH CÁC TAM GIÁC ĐẶC
BIỆT)
A. Đặt vấn đề:
Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về tam giác cân là các bài toán hay
và khó; đặc biệt là các bài toán về tính số đo góc hoặc so sánh độ dài đoạn thẳng là
những bài toán rất hay, đòi hỏi người học phải có tư duy sáng tạo nhanh nhẹn, óc
quan sát thông minh, kỹ năng nhận dạng bài toán chính xác để từ đó tìm ra cách
giải nhanh và gọn nhất
Bài 1:
Cho
∆
ABC cân tại A có
µ
B
= 60
0
. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC
Tính số đo của
·
ACD
,
·
ADC
Giải
* Cách 1:
Dựng tam giác đều BEC sao cho E nằm trong
∆
ABC
Ta có:

=
·
CAE
= 10
0
∆
ABE =
∆
CAD (c-g-c)
⇒

·
ACD
=
·
BAE
= 10
0
⇒

·
ADC
= 150
0
* Cách 2:
Dựng tam giác đều AFD sao cho F nằm trên nửa mp bờ AB
không chứa điểm C
⇒

∆

ACF
=
·
BAC
= 20
0
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
·
ACD
= 10
0

⇒

·
ADC
= 150
0
* Cách 3:
Dựng tam giác đều AKD sao cho K nằm trên nửa mp
bờ AC không chứa điểm D
⇒

·
KAD
= 80
0
⇒


nên
·
CDK
= 70
0

⇒

·
ACD
= 10
0

⇒

·
ADC
= 150
0
Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng
1
D
K
C
B
A
D
E
C
B

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Ở miền trong hình vuông dựng
∆
AEB cân tại E sao
cho
·
AEB
= 150
0
Chứng minh rằng:
∆
CDE là tam giác đều
Giải
Dựng tam giác đều AFE sao cho E thuộc miền trong
của tam giác AED
∆
AEB cân tại E và có
·
AEB
= 150
0
nên suy ra
·
·
EAB = EBA
= 15
0

⇒

·

·
AFD
=
·
AEB
= 150
0
Ta có:
·
DFE
= 360
0
- (
·
FAE
+
·
AFD
) = 150
0
⇒
∆
FED =
∆
FAD (c-g-c)
⇒

·
·
FDE = FDA

Cho tam giác ABC cân tại A có
µ
A
= 100
0
. Qua B dựng tia Bx sao cho
·
CBx
= 30
0
Tia phân giác của góc ACB cắt tia Bx tại D
a) So sánh CD với CA
b) Tính số đo của góc BDA
Giải
a) Dựng tam giác đều BEC sao cho E và A cùng
nằm trên nửa mp bờ BC
Ta suy ra EA là đường trung trực của BC
suy ra EA là tia phân giác của góc BEC
suy ra
·
AEB
=
·
AEC
= 30
0
Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng
2
F
E

·
ECA = ACD = DCB
= 20
0
suy ra
∆
DBC =
∆
AEC (g-c-g)
⇒
CD = CA
b) Ta có
·
BDA
= 180
0
- (
·
ABD
+
·
BAD
) (1)
Mà
·
·
·
ABD = ABC - DBC
= 10
0

·
BDA
= 180
0
- (
·
ABD
+
·
BAD
) = 180
0
- (10
0

+ 20
0
) = 150
0
* Mở rộng bài toán: Có thể thay kết luận bằng yêu cầu: Tính số đo các góc ADC;
BAD
Bài 5:
Cho tam giác ABC cân tại A có
µ
A
= 40
0
. Trên tia phân giác AD của góc A lấy điểm
E sao cho
·

F thuộc đường trung trực
của AB (1)
AH là phân giác của
·
BAC
nên
·
BAE
= 20
0
Dựng tam giác đều ABD sao cho D nằm trên
nửa mp bờ AC không chứa điểm B thì D
thuộc đường trung trực của AB (2)
và
·
FAD
= 20
0
Từ (1) và (2) suy ra DF là đường trung trực
của AB
⇒
DF là tia phân giác của góc ADB
⇒

·
·
ADF = BDF
= 30
0
Suy ra

∆
BFE thì
·
BEF
= 180
0
- (
·
EBF
+
·
EFB
) = 150
0

Bài 6:
Cho tam giác ABC cân tại B có
µ
B
= 80
0
. Điểm I nằm ở miền trong tam giác sao cho
·
IAC
= 10
0
;
·
ICA
= 30

= 10
0

và
·
·
BKA = BKC
= 30
0

∆
BAK =
∆
IAC (g-c-g)
⇒
AB = AI
⇒

∆
BAI cân tại A có
·
BAI
= 40
0

⇒

·
·
AIB = ABI

0

⇒
AK = 2 AH
⇒
AK = AC
⇒

∆
BAK =
∆
IAC (g-c-g)
⇒
AB = AI
⇒

∆
BAI cân tại A có
·
BAI
= 40
0

⇒

·
·
AIB = ABI
= 70
0

·
CBK
= 20
0
;
·
DBK
= 40
0

·
BKC
= 180
0
- (
·
CBK
+
·
BCK
) = 80
0
⇒

∆
CBK cân tại K
⇒
BK = BC (1)
·
BEC

K
80
40
60
40
50
20
40
20
20
50
F
E
D
C
B
A
Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh
Từ (1) và (2) suy ra BE = BK
⇒
∆
KBE cân tại B và
·
EBK
= 60
0

⇒
∆
KBE là tam


∆
EKD cân tại K và có

·
EKD
= 180
0
- (
·
BKC
+
·
BKE
) = 40
0
nên
·
KDE
= 70
0
mà
·
BDC
= 40
0
nên
·
BDE
= 30

Kết quả:
·
ACM
= 20
0
;
·
BCM
= 80
0
Bài 2:
Cho tam giác ABC cân tại A có
µ
A
= 80
0
. Trên AC lấy điểm K sao cho
·
CBK
= 10
0
Trên BK lấy điểm M sao cho
·
CAM
=
·
CBK
. Tính số đo của
·
CMB