rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh
qua một số dạng toán tính số đo góc
Lê Trọng Châu
P. Trởng phòng GD&ĐT Lộc Hà, Lộc Hà, Hà Tĩnh
(ĐT: 0393.650.775 0985.997.942)

I.Cơ sở lý thuyết:
Để giải tốt bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
* Trong tam giác:
+ Tổng số đo ba góc bằng 180
0
.
+ Biết hai góc ta xác định đợc góc còn lại.
* Trong tam giác cân: Biết một góc ta xác định đợc hai góc còn lại.
* Trong tam giác vuông:
+ Biết một góc nhọn, xác định đợc góc nhọn còn lại.
+ Cạnh góc vuông bằng nữa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông có số đo bằng 30
0
.
* Trong tam giác vuông cân: Mỗi góc nhọn có số đo bằng 45
0
.
* Trong tam giác đều: Mỗi góc có số đo bằng 60
0
.
* Đờng phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau.
* Hai đờng phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc có số đo là 90
0
.
* Hai đờng phân giác của hai góc kề phụ tạo thành một góc có số đo là 45

0
= 20
0
+ 60
0
. (H.1)
Ta thấy có sự liên hệ rõ nét giữa góc 20
0
và góc 60
0
mặt khác MA = BC.
Từ đây, ta thấy các yếu tố xuất hiện ở trên liên quan đến tam giác đều.
Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều.
H ớng giải:
Cách1:(H1) Vẽ BDC đều (D,A cùng phía so với BC). Nối Avới D.
Ta có : ABD = ACD (c.c.c) => DAC = DAB =10
0
. (H.2)
Lại có: AMC = CDA(c.g.c) => MCA = DAC =10
0

=> AMC = 180
0
- ( ACM + MAC ) = 180
0
- (20
0
+ 10
0
) = 150

E
I
C
A
B
E
D
B
C
D
F
E
A
H
B
C
F
E
A
D
H
B C
F

E
A
D
H
=> AMC = 150
0

0
=> AFB cân tại F.
=> AF = BF mặt khác AD = BD, FD chung.
=> AFD = BFD(c.c.c) => ADF = BDF =
0
0
30
2
60
=
. Do AH là đờng cao của tam giác cân BAC
=> BAE = 20
0
= FAD = 60
0
- 40
0
, AB = AD (vì ABD đều) ABE = 30
0
(gt)
=> ABE = ADF (g.c.g) => AE = AF => EAF cân tại A mà EAF = 20
0

=> AEF =
0
00
80
2
20180
=

=75
0
-15
0
và EA = EC do AEC cân tại E. Với những
yếu tố đó giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều.
H ớng giải:
Hớng1: (H.6) Vẽ AEI đều (I, B cùng phía so với AE).
Ta có: AEC = AIB (c.g.c)
=> IB = CE mà EA = EC (AEI đều ) (H.6)
=>IB = EI => EIB cân tại I.
=> EIB = 360
0
- (60
0
+ 150
0
) = 150
0
=> IEB = 15
0
.
=> BEA = BEI + IEA = 75
0

*Chúng ta cũng có thể giải bài toán 3 theo cách sau:
Vẽ ACD đều (D, E khác phía so với AC). (H.7)
Bạn đọc thử trình bày lời giải.
(H.7)
*Một số bài toán tơng tự:

-2-
D
A
M
C
B
A
M
C
B
D
A
B
C
I
D
D
A
B
C

E
A
B
D
C
H
Điểm M nằm ngoài tam giác sao cho MAC = MCA =
2
60

50
0
+ 10
0
=60
0
. Từ đó ta nghĩ đến giải pháp là dựng tam giác đều.
H ớng giải:
Cách 1: (H.8) Vẽ BDC đều (A, D cùng phía so với BC)
Dễ thấy BAD = CAD (c.g.c) và DAB = CMB (g.c.g) (H.8)
=> BA = BM.
=> ABM cân tại B, ABM = 50
0

-10
0
= 40
0
=> AMB = 70
0
.
Cách 2: (H.9) Vẽ ABD đều (D, A khác phía so với BC) (H.9)
=> DAC cân tại A. Từ đó có hớng giải quyết tơng tự.
Bài toán 5: Cho ABC, ( B = C = 70
0
). Kẻ tia Bx sao cho CBx = 10
0
,
trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA (A, D khác phía so với BC).
Tính: BCD = ?

.
Bài toán 6: Cho ABC, C = 30
0
. Đờng cao AH, AH =
2
1
BC. D là trung điểm của AB. Tính ACD = ?
H ớng giải: (H.12)
Xét AHC có C = 30
0
, AHC = 1V => AH =
2
1
AC (H.12)
mà AH =
2
1
BC (gt) => AC = BC
=> ACB cân tại C => CD là phân giác => ACD = 15
0
.
Nhận xét: Suy nghĩ chứng minh ACB cân xuất phát từ đâu?
Phải chăng xuất phát từ AHC vuông có C = 30
0
và AH =
2
1
BC. Thực sự hai yếu tố này đã giúp ta nghĩ
đến tam giác vuông có một góc bằng 30
0

B
I
H
M
D
M
A
C
E
A
D
B
I
H
K
A
B
D H
I
E
M
ID=
2
1
DC mà DIC=1v => C=30
0
=> HAC=60
0
kết hợp với (*) => ABH = 60
0

(vì ABD đều).
IAE = 30
0
+ BAC + 60
0
= 90
0
+ BAC mà
IBF = 360
0
- (IBA + ABC + HBF) = 360
0
- (30
0
+ ABC + ECH ) (H.15)
= 360
0
- (30
0
+ ABC + ACB + 60
0
)
= 360
0
- (90
0
+ 180
0
- BAC) = 90
0

0
, BM = MC quan sát hình vẽ rồi nhận dạng bài
toán ta biết đợc nó có nguồn gốc từ bài toán 3 mặt khác BAC = 45
0
điều này giúp ta nghĩ đến dựng tam vuông giác cân.
H ớng giải:
Cách 1: (H.19). Hạ CK AB (Dễ chứng minh đợc tia CB nằm giữa
hai tia CA và CK). Ta có AKC vuông cân tại K (vì BAC = 45
0
)
=> KA = KC . Vẽ ASC vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC).
Do BKC vuông tại K => KM =
2
1
BC = MC=> KMC cân tại M . (H.19)
Dễ thấy KAM = CSM (c.g.c) =>CSM = 30
0
=> ASM = 60
0
và
SAM = 60
0
=> ASM đều => AS = SM = AK => AKM cân tại A
=> MKC = MCK = 90
0
- 75
0
= 15
0
=> BCA = 45

M
C
(Vì MB = MC, IB = ID),(BD AM = {I}) mà MI BD => CDBD (H.20)
Mặt khác xét: ADC có CAD = 15
0
(gt)

, ADC = 60
0
+ 90
0
= 150
0

=> DCA = 15
0
=> ADC cân tại D => AD = CD mà AD = BD (ADB đều).
Vậy BDC vuông cân tại D => DCB = 45
0
=>BCA = 45
0
- DCA = 45
0
- 15
0
= 30
0
.
Bài toán 10:
Cho ABC, A = 1V, AC = 3AB. D là điểm thuộc đoạn AC sao cho AD = 2DC. Tính: ADB + ACB = ?

BM, F BC. E là điểm thuộc đoạn BF sao cho EF = FC. kẻ EI // BM, I BA. Tính góc AIM = ?
H ớng giải:
Gọi K là giao điểm của IE và AC. (H.22)
Xét KEC có FA // EK, EF = FC ( gt )
=> KA = AC và K = FAC . Ta có ABM = AKI (g.c.g)
( vì FAC = ABM ) => AM = AI => AIM vuông cân tại A (H.22)
=> AIM = 45
0

Nhận xét:
Đờng kẻ phụ KI và KA xuất phát từ đâu? Ta thấy có hai nguyên nhân cơ bản làm nảy sinh các đờng kẻ
phụ này.
+ Một là do IE // AF
+ Hai là EF = FC
Từ đó làm xuất hiện ý nghĩ chứng minh ABM = AKI
và bài toán đợc giải quyết.
Căn cứ vào các yếu tố giả thiết đã cho của bài toán ta (H.23)
có cách vẽ hình phụ khác nh sau: M
* Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH = AM (H.23).
Từ đó ta có cách giải quyết tơng tự trên.
II.Dạng 4: Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác cân khi biết một góc.
Bài toán 12:
Cho ABC, A = 80
0
, AC > AB. D là điểm thuộc đoạn AC sao cho DC = AB; M, N theo thứ tự là
trung điểm của AD và BC. Tính góc CMN ?
H ớng giải:
Trên tia đối của tia AC lấy điểm K sao cho AK = DC
Nối K với B ta có KAB cân tại A.( vì AB = DC) . (H.24)
=> BKA =

F
C
M
I
Đều có h ớng giải quyết t ơng tự
C
N
B
K
A
M
D
B
K
N
C
D
I
E
A
M
B
K
N
C
D
I
E
A
M

Từ bài toán 13 vấn đề đặt ra là nếu ta
bẽ gãy
đoạn thẳng AC thành hai đoạn thẳng AD và DC thì
bài toán lúc này có giải đợc nữa hay không ? Thật vây, ta đi nghiên cứu bài toán đó.
Bài toán 13:
Cho ABC và ADC chung cạnh AC (B, D nằm khác phía so với AC). M,N theo thứ tự là trung
điểm của AD và BC. AB cắt DC tại E. BEC = , ( 0
0
< < 180
0
). MN cắt DC tại I. Tính: NIC =?
H ớng giải:
Lấy K đối xứng với A qua N. (H.25)
Dễ thấy BAN = CKN ( c.g.c) => CK = AB = DC =
DCK cân tại C mà MA = MD và NA = NK
=>MN // DK => NI // DK
=> NIC = KDC =
2
1
(180
0
- DCK) =
2
1
(H.25)
(vì DCK = DCB + NCK = DCB + CBA = 180
0
- ).
Vậy NIC =
2

, MBA = 20
0
.
Tính: AMC =?
Bài 4:
Cho ABC, AB = AC, A = , trung tuyến CM. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA
biết BCM = . Tính: BDC = ?
Trên đây là một số dạng bài toán tính số đo góc mà trong quá trình dạy học, bồi dỡng học sinh giỏi
chúng tôi đã tích luỹ đợc và mạnh dạn đa ra trao đổi cùng bạn bè đồng nghiệp cùng các thầy, cô giáo để
nhằm mục đích góp phần vào việc nâng cao chất lợng dạy học.
Các bài toán đa ra làm ví dụ cha thực sự lôgic, phù hợp; khai thác cha triệt để chắc chắn còn có
nhiều lời giải hay và hấp dẫn hơn. Đặc biệt, khi sử dụng những đơn vị kiến thức về: Tam giác đồng dạng, tứ
giác, tứ giác nội tiếp, công thức tính diện tích, lợng giác để giải bài toán về tính số đo góc thì bài toán đợc
giải quyết nhanh hơn, gọn hơn rất nhiều.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song với những kinh nghiệm ít ỏi của bản thân, chắc chắn trong quá
trình viết không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Kính mong đợc quí thầy cô giáo và bạn đọc rộng lợng,
góp ý sữa chữa để những vấn đề nêu trên ngày càng thiết thực và bổ ích hơn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới quí thầy giáo, cô giáo, các bạn đồng nghiệp và một số bạn đọc đã góp
ý giúp tôi hoàn thiện bài viết này.
Tài liệu tham khảo .
1. Phát triển và nâng cao hình học 7 ( Vũ Hữu Bình )
2. Tạp chí toán học tuổi thơ 2. NXBGD.
3. Một số đề thi HSG huyện và HSG tỉnh .
-6-
Giải tơng tự cách vẽ thứ nhất

4. Tạp chí toán học và tuổi trẻ.
5. Sách giáo khoa toán 7, 8; Sách giáo viên Toán 7, 8.

1. Phát triển và nâng cao hình học 7 ( Vũ Hữu Bình )