Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku

1

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP. PLEIKU
TÊN ĐỀ TÀI KHAI THÁC
CÁC CÁCH VẼ TAM GIÁC ĐỀU
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÍNH SỐ ĐO GÓC
đối với học sinh, nhưng vẫn có những bài tập khó mà các em còn lúng túng
khi tìm hướng giải. Qua nhiều năm giảng dạy nhất là qua công tác bồi dưỡng
học sinh giỏi, tôi thấy những dạng bài tập đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ
thường là rất khó đối với học sinh –Loại này thường có đề bài rất tường minh,
ngắn gọn nhưng khó giải vì có ít dữ kiện. Loại bài tập này đòi hỏi học sinh
phải biết tạo ra các dữ kiện mới bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ. Nhưng thực
tế,việc đònh hướng để xác đònh xem vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào cho hợp
lý thì học sinh còn gặp nhiều khó khăn và đây là một vấn đề mà giáo viên
cần phải hình thành cho học sinh ngày từ lớp 7 để các em phát triển được tư
duy hình học của mình.
Vì vậy, trong quá trình nghiên cứu, tìm tòi và dạy bồi dưỡng học
sinh khá, giỏi tôi đã rút ra được một chút kinh nghiệm về việc hình thành cho
học sinh kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ, cụ thể là vẽ tam giác đều để giải một
số bài toán về tính độ lớn của góc. Đó chính là lý do tôi chọn đề tài:
Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku

3

“ Khai thác các cách vẽ tam giác đều để giải bài toán tính số đo
góc”

2. Mục đích:
Tôi nghiên cứu, viết đề tài này hy vọng giúp các em học sinh lớp 7
(đặc biệt là học sinh khá, giỏi) có phương pháp và hướng giải. Đồng thời qua
chuyên đề này hy vọng các em được hình thành, rèn luyện, củng cố các kiến
thức, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày một bài tập hình học. Giúp học sinh
mở mang tầm hiểu biết thực tiễn của mình, giúp giáo dục tư tưởng đạo đức và
rèn phong cách làm việc của người lao động mới: Có kế hoạch, có phân tích
tìm hướng giải quyết linh hoạt trước khi làm việc cụ thể.


học sinh xem có tạo ra được một trong các hình đó không? Trong phạm vi
chuyên đề có hạn, tôi chỉ xin đề cập đến cách tạo ra tam giác đều – một trong
những phương pháp vẽ đường phụ độc đáo để giải bài toán khó về “tính số đo
góc”.
II- NỘI DUNG
1. Ví dụ 1:
Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có góc ở đáy bằng 80
0
. Trên cạnh
AB lấy điểm D sao cho AD=BC. Tính số đo góc ACD?

80
?
B
A
C
D


Hướng giải quyết:
Giáo viên có thể gợi ý cho các em đi tìm mối
liên hệ giữa các góc của tam giác ABC. Có thể
các em sẽ phát hiện thấy (hoặc giáo viên chỉ ra):
tam giác cân ABC đã cho có các góc 80
0
, 80
0
,
20
0

AC: chung


ECA A


Do đó

 
1
2
ACD EAC BAC
  (1)
Mà ABE=ACE (c.c.c) vì:
AB=AC
EB=BC
AE: Chung
Do đó


BAE EAC

(2)
Từ (1) và (2) suy ra


0
1
10
2

CA=CE
->




0
1 2
1 1
10
2 2
C C ECA BAC   
Sau khi phân tích, hướng dẫn các em làm hai cách trên, tôi đã hướng
dẫn các em thêm các cách sau:

Cách 3
:
Vẽ tam giác đều EAC nằm ngoài tam
giác ABC, tạo góc DAE bằng 80 độ,
Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku

6

1
?
1
2
A
B
E

=40
0

->

0 0 0
(180 40 ): 2 70
ECD   
Do đó



0 0 0
70 60 10
DCA DCE ACE    
?
1
1
2
1
E
B
A
C
D

Cách 4:


 góc ở đáy

0 0 0
(180 40 ): 2 70
AEC   
Mà

0
2
60
E  (góc tam giác đều) ->

0 0 0
1
70 60 10
E   
Vậy

0
10
ACD 

Ở ví dụ này đầu bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là: AB=AC,
AD=BC. Như vậy có thể giải bằng 4 cách: Vẽ tam giác đều có một cạnh là
AC; vẽ tam giác đều có một cạnh là AB; vẽ tam giác đều có một canh là BC;
rồi AD. Qua ví dụ, bước đầu các em đã đònh hình được phương pháp vẽ tam
giác đều và các cách triển khai phương hướng đó.
Tuy nhiên, để tiếp tục hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm tam
giác đều, giáo viên cần hướng dẫn các em giải tiếp các ví dụ sau:

K

Cũng như ở ví dụ 1, nhưng ở ví dụ này các
em sẽ sớm phát hiện thấy

0
75
BAE 
,

0
15
EAC 
, mà 75
0
-15
0
=60
0
là góc
của tam giác đều ( cũng có em nhận xét


0 0
45 , 15
BCA ECA  và 45
0
+15
0
=60

180 2.15 150
K   
Mà


0 0 0 0 0
2
60 360 (150 60 ) 150
AKE K     
Vậy AKB=EKB (c.g.c) vì:
AK=EK


1 2
K K

BK: Chung
->


0
15
BEK BAK 

Vậy

0 0 0
15 60 75
AEB   



AEB AKC


Lại có

0 0 0
1
180 2.15 150
E   

0
2
60
E  ->

0 0 0 0
360 (150 60 ) 150
AEK    
Do đó AEC=AEK (c.g.c) vì
EC=EK


AEC AEK


AE: Chung
->





EAC EAK


AE: Chung
Suy ra EK=EC
Vậy ABE=KBE (c.c.c) vì
AB=KB
AE=KE
BE: Chung
->



0 0
1 1
.60 30
2 2
ABE KBE ABK   
Như vậy BEA có


0 0
30 ; 75
ABE BEA 
->

0 0 0 0
180 (75 30 ) 75


Suy ra


0
75
AEB AKC 

Cách 4:

15
1
2
E
C
A
B
K

Vẽ tam giác đều ACK ra phía ngoài ABC,
tạo ra góc EAK bằng 75
0
, bằng góc EAB.
Khi đó BAE=KAE (c.g.c) vì:
AB=AK
AE Chung =>


1
AEB E

30
B
A
C
E
K
M

Vẽ tam giác đều AKC “trùm” lên EAC,
tạo ra góc KCB bằng 15
0
, bằng góc ECA.
Từ K kẻ tia KM sao cho

0
15
MKC 
thì
MKC=EAC (g.c.g) vì:


KCM ECA


KC=AC


0
15
MKC EAC 

75
AEB ABK 

Ở ví dụ này đầu bài cũng cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là:
AB=AC; EA=EC. Do vậy cũng có thể giải bài toán đó theo các
cách: Vẽ tam giác đều có một cạnh là AE; hoặc EC; hoặc AB; hoặc AC.
Như vậy với sự gợi ý, hướng dẫn của giáo viên, học sinh đã biết
phân tích đầu bài, tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện của giải thiết, từ đó
đònh hướng được cách giải. Đó chính là thành công người thầy. Và điều quan
trọng nữa là trước khi hướng dẫn học sinh triển khai một bài toán theo nhiều
cách khác nhau, giáo viên đã tạo cho học sinh một óc quan sát nhạy bén, linh
hoạt và cũng làm cho tư duy hình học của các em được phát triển hơn.
3.Ví dụ 3:
Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy bằng 50
0
. Lấy điểm K
trong tam giác sao cho góc KBC bằng 10
0
, góc KCB bằng 30
0
. Tính số đo các
góc của tam giác ABK.

?
10
30
?
A
B
C

0
+10
0
=60
0
chính
là góc của tam giác đều.
Từ đó có thể giải bài toán trên theo cách
sau (học sinh tìm ra hoặc giáo viên gợi ý):
Cách 1:Vẽ tam giác đều BCE “trùm” lên
ABC, tạo ra góc

0
10
ABE 
, bằng góc

KBC
.
Dễ thấy EAB=EAC (c.c.c) vì:

Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku

11
10
10
30
?
1
2

có góc ở đỉnh

0
40
ABK 

->


0 0 0
(180 40 ): 2 70
BAK BKA   
Vậy các góc của tam giác ABK là 40
0
,70
0
,
70
0Cách 2:

10
30
?
K
C
B
A

0
10
KBC EBC 

BC: Chung


0
30
KCB BCE 

-> BK=BE -> BK=BA
-> Khi đó ABK cân tại B
-> các góc là 40
0
,70
0
, 70
0

Cách 3:
Vẽ tam giác đều AEC ( E,B nằm cùng phía
đối với AC), tạo ra góc BCE bằng 10
0
, bằng
góc KBC và tạo ra ABE cân tại A có góc ở
đỉnh bằng: 80
0
-60
0

BC: Chung


KCB EBC


-> AK=EC=AB
-> AKB cân tại B
Vậy các góc cần tính là 40
0
,70
0
, 70
0
.
Ở ví dụ này có hai đoạn thẳng bằng nhau là AB=AC. Do đó khi vẽ
thêm tam giác đều dựa trên lần lượt một trong hai cạnh đó, ta sẽ được hai
cách: cách 2, cách 3. Ngoài ra nếu vẽ tam giác đều mà cạnh của nó không
bằng đoạn thẳng nào khác thì cũng có thể giải quyết được: cách 1, nhưng
cũng có thể không, vì sẽ không đủ dữ kiện ( ví dụ: vẽ tam giác đều có một
cạnh là KC hoặc BK).
Qua ví dụ này, có thể cho học sinh thấy rằng cách 2 và cách 3 là
tương đương nhau: đều tạo ra một tam giác đều có cạnh bằng một trong hai
cạnh bên của tam giác cân đã cho, từ đó dẫn đến cạnh BK bằng một cạnh nào
đó của tam giác đều vừa tạo ra để suy ra tam giác ABK cân. Còn nếu đi vẽ
tam giác đều có một cạnh là KC để tạo ra góc bằng góc KCB hoặc vẽ tam
giác đều có một cạnh là BK để tạo ra góc bằng góc ABC thì sẽ không giải
quyết được bài toán, vì vẫn không đủ dữ kiện, và học sinh cũng cần phải thấy
điều này để có cách vẽ cho thích hợp.
4. Ví dụ 4:


Mà 75
0
-15
0
=60
0
là góc của
tam giác đều.
Từ đó hướng dẫn học sinh
vẽ thêm tam giác đều; có
các cách như sau:

Cách 1:
Vẽ tam giác đều AEC nằêm
Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku

13

B
C
A
E
H
K

trong tam giác ABC tạo ra:


0

Vậy K là trung điểm của
BC, do đó EBC cân tại E
và


0
15
EBC ECB 

Mặït khác:

0 0 0
180 2.15 150
BEC   


0 0 0 0
360 (60 150 ) 150
BEA    
-> BEC=BEA(c.g.c) vì:
BE: Chung




0 0
1 2
( 150 ) 15
BEC BEA B B    
EC=EA


14
?
1
1
2
K
B
C
A
E
H

Từ A kẻ
AK EC

thì tam giác
vuông AKC bằng tam giác vuông
CHA ( cạnh huyền – góc nhọn) vì:
AC: Chung


0
15
ACK CAH 

-> KC=AH, mà AH=
1
2
BC

đều nên nghó đến cách vẽ thêm tam giác đều để tạo ra những góc bằng góc
đã cho. Hơn nữa việc vẽ thêm tam giác đều còn tạo được các đoạn thẳng
bằng nhau, hoặc tạo được một đường có nhiều tính chất, từ đó dễ dàng phát
hiện được những yếu tố bằng nhau, liên kết với nhau để tìm lời giải.
Cũng cần chỉ ra cho học sinh thấy kinh nghiệm của việc vẽ thêm
tam giác đều: Nếu vẽ thêm tam giác đều mà cạnh của nó có sự bằng nhau với
các đoạn thẳng khác nhau trong bài thì bao giờ cũng giải quyết được bài toán.
Qua các ví dụ này học sinh cũng cần thấy rằng, có thể có nhiều
cách để tạo ra tam giác đều, nhưng nên chọn cách nào dẫn đến chứng minh
bài toán đơn giản hơn.
Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku

15
III. BÀI TẬP ỨNG DỤNG :
Bài 1: Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trong hình
vuông sao cho


0
15
MAB MBA 
. Tính số đo các góc của tam giác MDC?
Bài 2: Cho tam giác ABC có góc B bằng 60
0
, góc C bằng 45
0
. Trong
góc ABC vẽ tia Bx sao cho

0

10 em – 67% 5 em – 33%
Kết quả này còn khiêm tốn, song nó cũng có thể hiện được rõnét
tính ưu việt của việc sử dụng phương pháp vẽ tam giác đều trong giải bài toán
tính số đo góc. Kết quả này có thể còn cao hơn nữa nếu như có sự đóng góp ý
kiến của các bạn đồng nghiệp cho chuyên đề này. C. KẾT LUẬN:

Qua các ví dụ trên, ta thấy việc vẽ thêm đường phụ tạo ra tam giác
đều là một phương pháp rất tốt để giải các bài toán về tính số đo góc. Để dạy
cho học sinh lớp 7 đặc biệt là học sinh giỏi toán thành thạo trong việc giải bài
Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku

16
tập hình học, và có đònh hướng đúng đắn trong việc tìm ra cách giải những bài
tập khó, giáo viên cần phải chú ý những điều sau:
+ Phải dạy cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu kiến thức cơ bản và
tăng cường luyện tập để các em thành thạo vận dụng các kiến thức đó.
+ Từ một bài tập cụ thể cần khai thác sâu, mở rộng triệt để, giúp
học sinh có một óc tư duy linh hoạt và sáng tạo.
+ Hệ thống bài tập phải được chọn lọc kỹ càng, sắp xếp theo trình
tự, lôgic, từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp và qua hệ thống bài tập, giáo
viên cần phải khái quát hóa cách giải dạng bài tập đó.
+ Nên đưa ra những bài tập có tính thực tế cao, gần gũi với đời sống
hàng ngày của các em để tạo hứng thú cho học sinh, làm cho các em tan đi
cảm giác “sợ” khi học hình.
Đề tài trên tôi chỉ đưa ra một góc nhỏ của phương pháp giải toán.
Song với phương pháp đó đã phát huy được tính tích cực sáng tạo của học
sinh, quan trọng hơn nữa là đã hình thành cho học sinh biết cách tư duy hình