ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC ĐỀU ĐỂ
GIẢI TOÁN
Nguyễn Bá Đang
Hội THHN
Cách đây hơn nửa thế kỉ lúc đó tôi là học
sinh cấp II, thầy giáo đưa ra bài toán “Cho
hình vuông ABCD, E là điểm trong hình vuông
sao

EDC =

E CD = 15
0
. Chứng minh rằng tam
giác EAB là tam giác đều”, sau mấyngày nhóm
chúng tôi đã tìm ra lời giải của bài toán. Cho
đến nay nhiều người đã biết và có cách giải
khác nhau về bài toán này, song đến bây giờ
tôi vẫn không quên được cách giải của chúng
tôi ngày đó.
Với tính chất đặc trưng của tam giác đều
có ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau, tôi
đã vận dụng để giải nhiều bài toán hình học,
bằng cách dựng thêm hình để xuất hiện tam
giác đều. Xin giới thiệu cùng bạn đọc.
Dựng tam giác đều DEI ⇒

ADI = 90
0
−


), P và Q là hai điểm trong tam
giác thỏa mãn

PAB =

QAC = 20
0
;

P CB =

Q CA = 10
0
. Chứng minh B, P, Q thẳng hàng.
Lời giải. Theo giả t hiết

A = 100
0
⇒

ABC =

A CB = 40
0
. Dựng tam giác đều DBC
Hình 1:
cạnh BC ⇒

ADC = 30
0

ABQ =
20
0
⇒ BQ là phân giác của góc

ABC.
Kéo dài AB lấy điểm E sao cho BE = BC ⇒ ∆BEC cân ⇒

BEC =

B CE = 70
0
⇒

P CE =

B CE −

B CP = 70
0
−10
0
= 60
0
;

A CE =

B CE −


), có góc

ABC = 40
0
, D và E là hai điểm
trên AB, AC sao cho

ADE = 20
0
. Chứng minh rằng CD = 2AD khi và chỉ khi DE = DB.
Lời giải. Theo giả thiết

BAC = 90
0

ABC = 40
0
⇒

A CB = 50
0
. Lấy điểm I trên
Hình 2:
cạnh BC sao cho DI = DB ⇒

DIB =

DBI = 40
0
⇒


IEC = 50
0
=

A CB ⇒ ∆EIC là tam giác cân ⇒ IE = IC ⇒ IC = ID
⇒

IDC =

ICD = 20
0
⇒

DCA = 30
0
⇒ CD = 2AD
* CD = 2AD , ∆ADC vuông ⇒

A CD = 30
0
⇒

B CD = 50
0
− 30
0
= 20
0



DAC +

CAE = 20
0
+ 60
0
= 80
0

BAC = 20
0
⇒

ABC =

A CB = 80
0
∆ABC và ∆EAD có DA = BC, AE = AB
và

DAE =

CBA ⇒ hai tam giác bằng nhau
⇒ DE = AC = EC ⇒ A , D, C nằm trên đường tròn tâm E ⇒

DCE =
1
2



APC?
Lời giải. Dựng tam giác đều DBC cạnh BC
∆ABC cân AB = AC,

A = 110
0
⇒

ABC = 35
0
,

BDC = 30
0
⇒

DBA = 60
0
−35
0
= 25
0
;
Hình 4:
Theo giả thiết

PBC = 25
0
⇒ ∆DBA và ∆CBP có DB = CB,

= 85
0
,

PAC =

A −

BAP = 110
0
−85
0
= 25
0

A CP = 35
0
−30
0
= 5
0
⇒

APC = 180
0
−25
0
−5
0
= 150

0
,

B = 60
0
. Điểm D trên cạnh AC và E trên cạnh
AB thỏa mãn

DBC = 40
0
,

E CB = 70
0
, đường thẳng BD và CE cắt nhau tại F. Chứng minh
1. Một số dạng toán liên quan đến tam giác đều 56
Hình 5:
rằng AF vuông góc với cạnh BC.
Lời giải. Góc

B = 60
0
, dựng tam giác đều ABK có cạnh AB. Hạ AH⊥BK ⇒ HB = HK;

BAC = 40
0
⇒

CAK = 20
0

ABC =

BKI = 60
0
,

BAC =

KBI = 40
0
⇒ hai
tam giác bằng nhau (g.c.g) ⇒ BC = KI ⇒ BC = BF ⇒ ∆BCF là tam giác cân
⇒

B CF =

BFC =
180
0
−40
0
2
= 70
0
Kéo dài CF cắt AB tại E,

BEC = 180
0
−60
0

BPQ = 90
0
⇒

BPC =

BPQ +

QPC = 90
0
+ 60
0
= 150
0
⇒ BC
2
= PB
2
+ PC
2
− 2PB.PC cos 150
0
⇒ BC
2
= 16 + 9 + 12
√
3 = 25 + 12
√
3 ⇒ BC =


0
⇒

ABC =

A CB = 80
0
⇒

E CB =

FBC = 80
0
− 20
0
= 60
0
⇒ tam giác
Hình 8:
IB C là tam giác đều ⇒ EF song song với BC ⇒ tam giác IEF là tam giác đều.
Theo giả thiết

DBA = 30
0
⇒

DBC =

ABC −


DIF = 180
0
−

BID = 180
0
−140
0
= 40
0
Mặt khác

BFC = 180
0
−

FBC −

FCB = 40
0
⇒ tam giác DIF là tam giác cân ⇒ DF = DI
⇒ hai tam giác DEF và DEI bằng nhau (c.c.c)
⇒

FED =

DEC =
1
2


0
⇒ N, O, C thẳng hàng
Tương tự B, O, M thẳng hàng
2. Bài tập tự giải 58
Hình 9:
Theo giả t hiết

BAC = 60
0
⇒ NB song với cạnh AC ⇒

BNO =

O CA

BNO =

BAO ⇒

BAO =

O CA
Theo giả thiết

BOA =

AO C = 120
0
⇒ ∆OAB và ∆OCA đồng dạng, OI, OD là trung tuyến
của hai tam giác ⇒

E CB ⇒ CE song song với ND
Hình 10:

BAD =

DAC ⇒ [AD⊥MN] ⇒ DM = DN,

AMD =

AND ⇒

E CD =

AMD ⇒ D
nằm trên M C hoặc DM = DC = DN
Nếu D không nằm trên MC ⇒ tam giác DCM là tam giác đều ⇒

A CB = 120
0
⇒

A +

C = 180
0
⇒ D nằm trên MC ⇒ M trùng với đỉnh B ⇒ EB = EC ⇒

EBC =

E CB ⇒


A CE ⇒ ∆ ACO và ∆BCE bằng nhau (c.g.c)
2. Bài tập tự giải 59
Hình 11:
⇒

CBE =

CAO = 30
0
MN song song với BC ⇒

MNB =

NBC ⇒

ONB =

ON M +

MNB =
30
0
+

MNB

NBE =

NBC +

2
(180
0
− 100
0
) = 40
0
⇒

DAE =

DAC +

CAB = 40
0
+ 20
0
= 60
0
⇒ tam giác
DAE đều ⇒

ADE = 60
0
, DE = AE = D C ⇒ tam giác DEC cân,

EDC =

ADC −


0
−70
0
= 50
0
Theo giả thiết AB = AC,

A = 20
0
⇒

ABC =
1
2
(180
0
− 20
0
) = 80
0
⇒

B CE =
180
0
−

CBE −

BEC = 50