Đạo hàm bên trái:

- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng
(a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u

• u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và
Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u =
u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f
-
1
(y) thì hàm số x = f
-1
(y) có đạo hàm tại y = f(x): x
y
y




Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0
(x)’ = x-1
(ax)’ = axlna
(ex)’ = ex

(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo
hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x),
y(n)(x). a
x
x
a
ln
1

sin
1
)'(cot 
2
1
1
)'(
x
arctgx


2
1
1
)'cot(
x
gxarc


2
2
2
2
,
dx
fd
dx
yd
n
n




n
k
kknk
n
n
vuCuv
0
)()(
.)(
2
v
udvvdu
v
u
d










a
b
afbf



)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf



1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
0
0
0
)(

xf
xx
xf
xfxf

Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang • Đa thức Taylor:
Khi x
0
=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b)
Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:

1
0

0
0
)(
!
)(
)(
1
)1()(
2
)!1(
)(
!
)0(

!2
)0("
!1
)0('
)0()(




n
n
n
n
x
n
cf



)(lim)(lim xgxf
axax
• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
1. Dạng 0/0, /
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)
2. Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /.
Ví dụ: 3. Dạng vô định: 00, 1, 0:
Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)
Ví dụ:



)(lim)(lim xgxf
xx
3



x
arctgx
x
1
2
lim



gx
x
x
cot
ln
lim
0
n
x
x
xln
lim

x
n
x
e
x


x

x
x
x


1
2
1
lim
x
x
gx
ln
1
1
)(cotlim
