Xác suất điều kiện này không phụ thuộc vào . Vậy T(X) = (T
1
(X),…, T
s
(X)) là
thống kê đủ đối với .
* Điều kiện cần
Giả sử (T
1
(X),…, T
s
(X)) là thống kê đủ đối với . Theo Định nghĩa ta có

không phụ thuộc vào . Đặt
h(x
1
,…, x
n
) =
Ta biết rằng

Mà

Vậy ta có

Điều kiện cần được chứng minh.
Chứng minh định lí trong trường hợp phân phối liên tục xem trong [2].
Ví dụ 2.6. Giả sử (X
1
, X

1
,…, X
n
mà không phụ thuộc ).
Định nghĩa 2.8. Ước lượng (X
1
,…, X
n
) của hàm tham số ( ) được gọi là ước
lượng không chệch nếu E (X
1
,…, X
n
) = ( ).
Ví dụ 2.9. Giả sử (X
1
, X
2
,…, X
n
) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn
dạng tổng quát N(a;
2
).
* Trung bình mẫu là ước lượng không chệch của a vì =
.
* Phương sai mẫu điều chỉnh là ước lượng không chệch
của
2
. Thật vậy

,…, X
n
)
trong đó *(X
1
,…, X
n
) là ước lượng không chệch bất kỳ của ( ), còn E , D là
kí hiệu kỳ vọng toán và phương sai với điều kiện .
Định nghĩa 2.11. Ước lượng (X
1
,…, X
n
) của tham số được gọi là ước lượng
vững nếu (X
1
,…, X
n
) hội tụ về theo xác suất khi n , nghĩa là:
với > 0 tuỳ ý cho trước.
Ví dụ 2.12. Trong Ví dụ 2.9, là ước lượng vững của a. vì X
1
,…, X
n
độc lập có
phân phối như nhau với EX
1
= … = EX
n
= a và DX

nếu X có phân phối liên tục tuyệt đối
hoặc
nếu X có phân phối rời rạc
Định nghĩa trên có thể phát biểu như sau
Ước lượng (X
1
, X
2
,…, X
n
) của hàm tham số ( ) được gọi là không chệch
chính quy nếu:

Định lí 2.15. (Bất đẳng thức Cramer - Rao)
Giả sử (X
1
, X
2
,…, X
n
) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f(x, ) và ( ) là
hàm tham số đã cho. Nếu (X
1
, X
2
,…, X
n
) là ước lượng không chệch chính quy
của ( ), f(x, ) là phân phối chính quy thì
Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi và chỉ khi với mọi thì:

2
,…, X
n
) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối Poisson với
tham số > 0. Chứng minh rằng ước lượng là ước lượng hiệu quả
của .
Giải. Ta có ; và
J( ) =
Vậy hay là ước lượng hiệu quả của .