- giảm khoảng cách phương ngang theo góc mở trong một số lớp được bù
trừ bởi sự tăng trong các lớp khác. Những điều kiện tồn tại của các chùm
tia phân kỳ yếu trong đại dương phân tầng với mối phụ thuộc lũy thừa
vào chỉ số khúc xạ bình phương đã được phân tích trong [2.24].

G PHẲNG
t khôn
ợc những kết quả hữu ích.
Trường hợp ấy sẽ được xét trong chương này. Ngoà
trườ
úng (song khôn tồi) cho biên nước -
đất.
3.1.
t phân cách giữa hai môi trường là mặt nằm
ngang. Mật độ của các môi trường bên trên và bên dưới sẽ được ký hiệu


1
c
và góc t
θ
(hình
3.1). Bỏ qua nhân tử
)iexp( t
ω
−
, ta sẽ vi ất âm
9
đối với sóng tới ết áp su
ckzxkp
i
/)],cossin(i[exp
ω
θ
θ
≡+=
. (3.1.1)
iả
được chọn làm mặt phẳng sóng tới. Sóng phản xạ có thể viết dưới dạng

Biên độ của sóng này được g định bằng đơn vị và mặt phẳng
zx9
Như đã thấy từ (2.1.2) áp suất âm thế tốc độ âm p và
ψ

1
ck /in
Hình 3.1. Các tham số để rút ra những biểu thức
của hệ số phản xạ và hệ số truyề
dạng
11111
kzxWp )],coss(i[exp
ω
θ
θ
≡−=
(3.1.4)
trong đó
W
là hệ số truyền qua và
1
θ
được xác đị
tục của áp suất âm và của thành phần pháp tuyến của tốc độ phần tử tại
v
1
(3.1.5)
tại
nh từ các điều kiện liên
mặt phân cách
z
vpp
1
== ,
z

Vì v
=+1
ế trái không phụ thuộc vào
x
, nên vế phải cũng phải độc lập với
x
,
từ đó ta nhận được định luật khúc xạ quen thuộc
11
θ
θ
sinsin kk =
. (3.1.8)
Quan hệ này biểu diễn sự bằng nhau của các tốc độ pha của sóng truyền
o mặt phân cách trong các môi trường bên trên và bên dưới. Nó
còn có thể viết dưới dạng

dọc the
1
θ
θ
sinsin n=
, (3.1.9)
ở đây
1
1
c
c
k
k

coscos
−−
=
+
−
=
nm
nm
nm
V
,
θ
22
1
sincos
−+ nm
θθ
θ
2
2
sincos −+
=
nm
W . (3.1.12)
Hãy lưu ý những đặc điểm lý thú sau đây củ các hệ số phản xạ và truyền
qua:
1) Khi
2 cosm

a

m
nm
θ
sin
, (3.1.13)
hệ số phản xạ trở nên bằng không và biên sẽ trở thành hoàn toàn
100

trong
suốt.
3) Giả sử
n
là số thực, 1<n và
n>
θ
sin
. Trong trường hợp này
(3.1.12) có thể viết thành
2
2
nm
V
−+
=
θθ
2
sinicos
. (3.1.14)
này còn có thể viết thành
nm

nh 3.2
hản xạ đối với đáy cát ( 80951 ,,, == nm 6
)/(
θ
π
χ
−= 2
khi không có sự suy yếu ở đáy [3.1].
Khi trong pmôi trường có sự hấ thụ,
n
sẽ là số phức,
)i(
α
+= 1
0
nn
,
0>
α
. Bây giờ nếu tách riêng mô đun và pha của hệ số
phản xạ, ta có
1<= VVV ),iexp(
ϕ
.
Trên hình 3.2 vẽ mô đun và pha của hệ số ph n xạ đối với ả
α
khác nhau.
Với trường hợ
(tốc độ âm trong đáy nhỏ hơn tốc độ âm trong
nướ ảy r phản xạ toàn phần. Hình 3.3 mi ọa các đường

Z
= và
1111
θ
ρ
cos/cZ =
là trở kháng của môi
trường phía trên và phía dưới đối với sóng phẳng truyền trên các hướng
tạo thành các góc
θ
và
1
θ
với pháp tuyến của mặt phân cách.

Hình 3.2. Mô đun (a) và pha (b) của hệ số phản xạ
đối với
951
1
,/ =
ρρ
,
860
1
,/ =ccHình 3.3. Mô đun (a) và pha (b) của hệ số phản xạ
đối với
561

và
1−=
V
. Áp suất âm theo
(3.1. ) trở thành bằng ôn3 kh g tại bề mặt tự do.
P n .16) đối với hươ g trình (3.1
V
cũng áp dụng trong trường hợp khi
nửa không gian phía dưới (
ột chất rắn hoặc thậm chí một môi
trường không đồng nhất phân ong trường hợp đó
đầu vào” của nửa không gian phía dưới, sẽ được sử dụng tha
0>z
) là m
tầng. Tr
in
Z
, “trở kháng
y vì
1
Z
. Giá
trị của
Z
giữ nguyên không đổi (mục 3.4).
Ta cũ ằng đôi kh
Z
có giá trị
ng chú ý r i
phụ thuộc vào góc tới, gọi

,/ ==
aW
ccn . Khi đó (3.1.12) đối với hệ số truyền qua có thể viết
khá chính xác dưới dạng
θ
cos
n
m
W
2
=
. (3.2
Sự truyền qua sẽ cực đại với góc tới pháp tuyến
)( 0=
.1)
θ
. Trong trường
hợp này
4
1075
2
−
⋅≈= ,
n
m
W

là một đại lượng rất nhỏ.
101 102


θ
cosm
đối vớ ả i tất c
θ
ngoại trừ
2
/
π
θ
≈
và
do đó t ân tu heo (3.1.12)
1≈
V
và
2≈
W
. Đi có n ã
diễn ra sự truyền qua hầu như hoàn toàn, áp suất âm t
qua (trong nước) hai lần lớn hơn áp suất âm trong sóng tới.
rất bất ngờ, nó có thể dễ dàng dự đoán được.
Thật vậy, áp suất âm trong không khí ở lân cận bề
suất âm trong sóng tới do tổng cộng của áp suất âm
t âm là liên tục khi cắt qua biên, nên trong nước
áp nó cũng phải bằng như vậy.
Vậy trong khi áp suất âm giảm khoảng 2000
từ n ăng lên hai lần đối với sóng truyền từ không
khí vào nước. Hệ quả là cá có thể cảm nhận tốt tiến
ng gấp đôi của áp suất âm trong nước diễn
ra

trong són bằn đơn vị. Khi đó
V
và
W
. Tuần tự đối với mật
độ dòng năng lượng ta có
i
sự phản xạ diễn ra bất kể đó
là n g tron
t
(3.2.3)
hay thay thế (3.2.2) vào
1
11
2121
222
−−
=== )(,)(,)( cWIcVIcI
tr
ρρρ
. (3.2.2)
Ở đây chỉ số “1” chỉ tới môi trường mà từ đó
−
ước hay không khí. Định luật bảo toàn năng lượn g trường hợp
này được biểu diễn bằng đẳng hức
tri
III +=

22
1 W

m
cũng rất đáng quan tâm. Nếu tính ến công th thứ trong (3.2.5), ta
n
I
I
i
t
=
đ ức hai
103 104

được
2
4
)( nm
mn
I
I
i
+
Với mặt phân cách nước - không khí
),,( 220770 == nm
ta có
t
= .
tức là chỉ có một phần ngàn của năng lượng đi b
(3.2.6) giữ nguyên không đổi nếu ta thay đổi thứ t
(3 2.6)
it
II

trong đó
ố sóng trong không khí. Nếu lưu ý rằng
k
là s
2≈
W
(xem ở
trên), ta có đối với biên độ của áp suất âm trong nước
2122
2 (sin),exp( nkz −=−≈
θδδ
2.8)
Vậy bi n độ áp suất âm giảm theo hàm mũ với độ sâu. Trên hình 3.4 đại
lượng
1
/
)p
. (3.
ê
δ
được biểu diễn như một hàm của góc tới
θ
đối với các tần số
khác nhau. Ngoài tần số
ước sóng tương ứng trong
f
b nước
1
λ
cũng

đ s
ộ g n
ất.
ng
ủa bài toán
g
môi tr ng 1, 2 và 3 đượ thi
xạ toàn phần ủa sóng â g
đi tới từ không í
3.3. SỰ PHẢN XẠ S NG ÂM TỪ ĐÁY ĐẠI DƯƠNG GỒM CÁC
LỚP LỎNG
Tiếp tục phức tạp hóa mô hình áy đại dương, chúng ta ẽ giả thiết
rằng nó gồm m t hay một số lớp lỏng đồn nhất ằm trên nửa không gian
lỏng đồng nh
3.3.1. Sự phản xạ từ một lớp lỏ
Cơ sở lập luận về vấn đề này là nghiệm c đơn giản nhất
gồm sự phản xạ sóng âm đi từ nửa không ian 3 (hình 3.5) tới lớp 2 nằm
trên nửa không gian 1. các ưườ c giả ết là đồng

321 ,,,
cos
== jZ
j
j
θ
. (3.3.1)
Như trướ đây, ta giả thiết rằng biên độ của són đi tới lớp bằng đơn vị.
Sóng k phản xạ từ lớp có thể xem như tổ ộng của các sóng sau
đây (hình 3.5):
a) sóng phản xạ từ biên phía trên của lớp (mặt phân cách giữa môi
trường 2 và 3); biên độ của sóng này là
23
V
;
b) sóng xuyên qua biên phía trên của lớp, đi qua lớp, phản xạ từ biên
phía dưới của lớp, lại đi qua lớp và cuối cùng đi ra khỏi lớp qua biên phía
trên của nó; biên độ (phức) của nó là
c
jj
ρ
22231232
2
θ
α
α
cos),iexp( kdWVW ≡
.
Trong biểu thức sau cùng đã tính đến sự thay đổi pha của sóng trong
quá

2 dWWWV
α
được biên độ của nó (đồng thời cũng là hệ số phản xạ bởi vì biên độ
của sóng tới đã lấy bằng đơn vị):
)iexp(
)iexp()iexp(
=++
++=
32
23
23
2
12323223123223
6
42
dWVVW
dWVVWdWVWVV
α
αα

.)]iexp(
1232
2
n
dVV
α
[)iexp(
=
0n
Sử dụng tổng của cấp số nhân vô hạn, ta có

V
α
α
21
2
1223
1223
+
+
= .
ã
ớp là
xác định trở kháng đầu vào của lớp. Do kết quả phản xạ nhiều lần tại các
hướng
dương và âm của
(3.3.3)
Công thức này giải quyết bài toán đ nêu ra ở đầu mục này.
Cách tiếp cận tiện lợi khác tới bài toán về sóng phản xạ từ một l
biên của lớp mà một hệ sóng được hình thành truyền trên cả hai
z
và có cùng tốc độ pha trên hướng
x
. Nếu bỏ qua
nhân tử
)isini(exp txk
ω
θ
−
22
cho đơn giản thì áp suất âm trong lớp

. (3.3.5)
Nói chung tỷ số
z
vpzZ /)( =
có thể được xác định cho một
∂
1
z
bất
kỳ được gọi là trở kháng. Đại lượng này biến đổi liên tục khi cắt qua
biên, bởi vì
p
và
v
là liên tục. Đại lượ
z
khá g đầu vào đối với môi trường 1. Nếu chia (3.3.4) cho (3.3.5), đặt
=z , chú ý tới giá trị của
ng rất hữu ích trở
n
)(
in
)(
1
0 ZZ ≡
là
0
α
và sử dụng (3.3.1) ta được
B

phía trên của lớp
ột lần nữa từ (3.3.4, 5) ta tìm được
)(
)(
in
dZZ −≡
2
sẽ
dz −=
. M
)iexp()iexp(
)iexp()iexp(
)(
in
dBdA
dBdA
ZZ
αα
α
α
−−
+−
=
2
2
.
A
và
B
tuân theo (3.3.6) ta được

1
1
ZZ =
)(
in
, trong
1
Z

=
j
. Thật vậy, vì trở kháng
tục tại biên
ể tính được nhờ sử dụng các giá trị ủa áp
suất âm v
Với
)( zZ
liên
0=z ,
)(
in
1
Z
có th c
à tốc độ pháp tuyến trong môi trường 1.
z
bất kỳ trong m cùng nhân tử như ở trên) ôi trường 1 (bỏ qua
).cosi(exp
cos
i

1
1
Z
kv
p
Z
z
z
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
θ
ωρ
cos
(1)
in
.
ây giờ trở kháng đầu vào của lớp tuân theo (3.3.8) là B
2
12
21
2

Z
V
+
−
=
)(
in
in
. (3.3.10)
109 110

Trong thực tế trường tổng cộng của các sóng tới và phản xạ trong môi
trường 3 có thể viết dưới dạng
]cos)(i[exp]cos)(i[exp
33333
θ
θ
dzkVdzkp +−++=
. (3.3.11)
Sử d ng phương trình cuối cùng ta có thể xác định
và yêu cầu sao
ệ
ải được thực hiện, ta được
công thức (3.3.10). Côn ột biểu thức của
ụ
z
v
3

cho quan h

Nd =

)cos/(
22
đó là độ dày lớp bằng một số tích phân của
2
θ
λ
, trong đó
2
λ
là bước sóng âm trong môi trường 2. Tại tia
tới vuông góc và
1=
N
đó là trường hợp của lớp nửa sóng. Vì
0=d
α
tg

trong trường hợp này, từ (3.3.9) ta nhận được
Vậy lớp nửa sóng không có tác động tới sóng tới (như thể lớp không
tồn tại) và sự phản xạ diễn r trường 3 và 1 trực tiếp tiếp
xúc với nhau.
1
2
ZZ =
)(
in
.

2
2
ZZZ /
(2)
in
=
. Bây giờ từ
(3.3.10) thấy rõ rằng nếu điều kiện
31
2
2
ZZZ = cũng được thực hiện thì
ta có
0=
V
, tức không có sự phản xạ và một sóng sẽ truyền qua hoàn
toàn vào trong nửa không gian phía dưới.
Trong các thí dụ đặc thù vừa xét đã giả định là không có sự hấp thụ
trong tất cả các môi trường. Để tính tới sự hấp thụ, như vẫn thường làm
chỉ cần giả thiết rằng các số sóng
21
kk ,
và
3
k
là những số phức. Trong
trường hợp đó các trở kháng
21
ZZ ,
và

)(
in
n
Z . Rõ ràn
1
2 222
1
zZ =
)(
in
,
dd =
và
θ
α
α
cosk−=
, ta nhận được trở kháng
đầu vào
)( 2
Z
tại biên phía trên của lớp thấp nhất. Tiếp theo, thự
in
ải của (3.3.8) những phép thay thế
)(
in
)(
in
21
ZZ →

Z
α
α
tg
)
(3 3.12)
nn
n
n
n
dZZ
d
Z
tgi
(
in
in
)(
in
1−
−
=
ta xác định trở kháng đầu vào cần thiết của hệ thống các lớp. Hệ số phản
xạ bây giờ sẽ bằng
n
ZZ
i
)(
1−
−

dạng tường minh
)(i
)(i
)(
in
31223132
2
232
3322
2
2323121
3
δδδδ
δδδδ
ZZZZZZZ
ZZZZZZZ
Z
+−−
+−−
=
, (3.3.14)
ở đây
jjj
d
α
δ
tg≡ và 321 ,,=
j
.
Rõ ràng hệ số phản xạ đối với một hệ thống các lớp còn có thể tìm

µ
. Nửa không g
0<z
từ đó sóng âm
phẳng xâm nhập tới biên
0=z
được giả thiết là chất lỏng với mật độ
ian
ρ

m số Láme
2
c
ρλ
= ).
Các tốc độ ọc và ngang trong chất rắn biểu diễn qua
11
và tốc độ âm
(tha
của các sóng d

c

λ
ρ
,
và
1
µ
như sau:

ρ
µ
ρ
µλ
bc
. (3.4.1)
Tốc độ hạt tại mỗi điểm của chất rắn có thể biểu diễn theo các hạng của
những hàm thế
1
ϕ
vô hướng và
1
ψ
vectơ [3.3]
111
ψ
ϕ
rotgrad +=v
. (3.4.2)
Trong trường hợp bài toán hai chiều, nếu giả thiết rằng tất cả các đại
lượng chỉ phụ thuộc và o các tọa độ
x
và
z
và vectơ
1
v
cũng nằm trên
ặt phẳng m
x

∂
−
∂
∂
=
11
11
11
1
0
ψ
ϕ
ψ
ϕ
,,
(3.4.3)
và
1
ϕ
và
1
ψ
có thể được gọi là các hàm thế củ
hương trình
a các sóng dọc và ngang
(rìa). Có thể chỉ ra rằng những hàm thế đó thỏa mãn các p
sóng
113 114

2

tiếp tuyến trong chất lỏng triệt tiêu nên thành phần
ải bằng không
tại biên.
Trong trường hợp hai chiều ta có những biểu thức sau đây cho các
h tâm [3.3]:

z
v
và c
z
Z

ấ
x
Z
ph
thành p ần của tenxơ ứng suất mà ta quan
z
u
z
u
x
u
Z
z
∂
∂
+
1
2

+
∂
∂
=
x
u
z
u
Z
zx
x
1
µ
, (3.4.5)
trong đó
độ tuần tự dọc trục
0=
y
Z ,
x
u
và
z
u
là các ly
x
và trục
z
nhận được
cho một sóng tuần hoàn bằn cách chiag chia các thành phần t độ ốc

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+∆=∆
z
1
2
2
1
2
111
2
ψϕ
µϕλϕλ
, (3.4.6)
đối với
ằng không:
x
Z
b
02
2
1

∂
11
=
∂
∂
ψ
ϕ
ϕ
. (3.4.8)
Giả sử sóng âm phẳng
)]cossin(i[exp
θ
θ
ϕ
zxk +=
(3.4.9)
đi từ một chấ
1
t lỏng tới một bề mặt chất lỏng - chất rắn. Thế của sóng
phản xạ có thể viết dưới dạng
)]coscos(i[exp
θ
θ
ϕ
zxkV −
. (3.4.10)
Vậy t
r
=
rường âm tổng công trong chất lỏng sẽ là

χ
là các số sóng
1
1
1
1
bc
k
c
k
ω
χ
ω
ω
=== ,,
, (3.4.14)
1
θ
và
1
γ
tuần tự là các góc giữa trục
z
và những đường pháp tuyến với
front sóng dọc và sóng ngang trong chất rắn.
Nếu thay thế (3.4.11-13) vào (3.4.6-8) và đặt
được ba
phương trình để tìm các hệ số
0=z ta


x
nên vế phải cũng phải không phụ
thuộc vào
x
. Điều đó chỉ có thể nếu các phương trình
115 116

1111
γ
χ
θ
θ
sinsinsin == kk
(3.4.16)
được thỏa mãn. Điều kiện sau cùng xác định hướng của các sóng trong
chất lỏng.
Bây giờ (3.4.15) có thể viết thành
1111
1
γ
χ
θ
θ
sincoscos)( PWkVk −=−
. (3.4.17)
Tương tự, từ (3.4.7) ta được
(3.4.18)
Tiếp theo, ta cộng và trừ
022
1

. Khi đó
phương trình này có thể viết lại dưới dạng
⎟
⎟
⎠
⎞
∂
∂
22
ψψ
⎜
⎝
∂
∂∂
1111
x
zx
Lưu ý rằng
ϕϕ
2
k−=∆ và
1
2
11
ϕϕ
k−=∆ , chú ý các biểu thức (3.4.1, 14)
và như hường lệ sử dụ ệu
⎜
⎛
−

∂∂
∂
2
1
2
1
2
2
1
1
2
x
zx
ψψ
χ
ϕ
ϕ
0=
. (3.4.20)
Thế các giá trị của
1
−=
m
,
z
ϕ
ϕ
,
và
1

1
2
1
22
γγ
sincos,
tin
in
in
ZZZ
ZZ
ZZ
V +≡
+
−
=
. (3.4.22)
Ở đây
Z
và
1
Z
có cùng ý nghĩa như trong mục 3.1 và
1
11
γ
ρ
cos
t
b

. (3.4.23)
3.4.1. Phân tích hệ số phản xạ
Hãy lưu ý một số đặc điểm lý thú về
V
cho bởi công thức (3.4.22).
a) Tại góc tới vuông góc của sóng âm ở biên
== )( 0
11
=
γ
θ
θ
ta có
= PZZ ,
in
b) Với
0=
, tức các sóng tiếp tuyến không phát sinh.
1
0≠
θ
từ (3.4.16) ta có đối với các góc phản xạ của sóng dọc
và sóng ngang
1
2
γ
χ
sinP
m
−

1
=
γ
,
tin
ZZ =
và
0=
đ
W
, tức chỉ có
các sóng ngang được phát sinh trong chất rắn trong trường hợp này.
c) Giả sử tốc độ của các sóng dọc trong đáy nhỏ hơn trong nước, tức
cc <
1
. Dĩ nhiên trong trường hợp này
cb <
1
. Đại lượng
in
Z
là số thực,
tức biên là biên cản. Các hệ số phản xạ cũng là số thực và luôn luôn nhỏ
hơn đơn vị (ngoại trừ trường hợp
2
/
π
θ
=
). Năng lượng được mang đi

−−=
Z
Z
.
Vì luôn luôn
11
cb <
và do đó (theo (3.4.24))
11
θ
γ
<
, khi đó
1
1
<
Z
Z
in
. Vậy trở áng toàn phần của biên rắn nhỏ ơn trở kháng của
chất lỏng với cùng các giá trị của
1
kh h
ρ
và
1
c
, tức sự kích thích các sóng
ngang dẫn tới một sự “làm xốp” nào đó của biên và hệ quả là làm giảm
hệ số phản xạ.

, có nghĩa là
1
1
<
θ
sin
, thì
không có gì mới so với trường h nếu ợ c). Tuy nhiên,
1
c
có một hiện tượng lý thú. Từ (3.4.24) ta có
2
1
/
c
=
θ
, thì sẽ
sin
π
θ
=
và do đó
∞=
1
Z
,
∞=
in
Z

đòi hỏi rằng (3.4.12) có giới hạn khi

∞→
z
, người ta phải chọn dấu bên
trên. Do đó, ta có
11
ZZ i−=
. Bây giờ sóng dọc trong chất rắn là một
sóng “không đồng nhất” truyền dọc theo biên và suy giảm theo hàm mũ
với khoả h thường rời
bỏ biên với góc
ng cách kể từ biên. Sóng ngang sẽ là sóng phẳng bìn
1
γ
. Trở 22) có thể viết lại thành kháng đầu vào theo (3.4.
1
2
1
2
22
γγ
cosisin
ttin
ZZZ −=
, (3.4.25)
tức trở kháng đầu vào là số phức. Phần kháng của n
2) ta được hệ số
phản xạ. Bình phương của mô đun của nó là
ó là do các sóng

t
ZZZ
V
+−
=
. (3.4.26)
Đạ ng này nhỏ
4
2
γ

Hình 3.7. Mô đun của hệ số phản xạ từ đáy biển đối vớ
,,/,/ 902
11
== cc
ρρ
50,/ =cb
(đường 1),
40,
(đường 2) và
30,
(dường 3)
i
1
119 12
Chúng ta sẽ không xét chi tiết trường hợp
ển khi tốc độ của các sóng ngang trong đáy lớ
ít xảy ra đối với âm học
bi n hơn so với tốc độ trong
nước (

rắn.
Hình 3.7 minh họa mô đun của hệ số phản xạ từ đáy như một hàm
số của góc tới
θ
đối với
2
1
,/ = 90
1
,/ =cc
ρ
ρ
và
3.4.2. Các sóng Rayleigh và Stonley bề mặt
eo mặt phân cách của các nửa
phụ thuộc vào tần số và nhỏ
hơn so với tốc độ trong chất rắn và trong chất lỏng. Vì vậy, biên độ của
nó giảm theo hàm mũ trong cả hai môi trường với khoảng cách kể
h, còn dọc theo mặt phân cách sóng truyền không suy giảm.
vậy tại mặt phân cách củ
a hai mô trường rắn đã được Stonley
phát hiện và gọi là sóng Stonley. Theo cách tương tự, sóng tại mặt phân
cách của một chất rắn và một chất lỏng cũng được gọi là són
n r
ết
i bằng không, còn các biên độ
của những sóng khác hữu hạn. Điều này có
5030
1
,,/ −=cb

ốc đ
1
/
)(icos
χξγχ
−= . Thay thế ừ
v
là t ộ của sóng bề mặt, ta có
2122 /
)(icos kk −=
ξθ
,
212
1
2
11
/
)(icos kk −=
ξθ
,
212
1
2
1
in
Z
t
(3.4.22) vào (3.4.27), chú ý rằng
θ
ρ

, tốc độ của sóng Stonley
2212121212
1
211411 )()()()()(
////
ssqssrsqs −−−−=−−
−
ρ
ρ
(3.4.29)
luôn luôn có một nghiệm số thực 11 <<
s
r
s
, . Trong trường hợp riêng
0
1
=
ρ
ρ
/
(3.4.29) giản ước thành ph ốc độ của sóng
3.5.
ày ý
rằng tốc độ âm tăng theo độ sâu như thường xảy ra trong thực tế.
Đối với mô hình chấp nhận trong c này hình 3.8 minh họa trắc
diện tốc độ âm ở bên trái và một tia đi t trong nước xuống phía đ
áy ở
bên phải. Tia này quay ngoặt tại độ sâu
trở lại vào nửa

0
θ
. Đối với trường hợp này biểu thức cho hệ số phản xạ của nó có
ết một cách d dàng (xem chi tiết hơn trong [3.4], mục 25). Sóng
truy í dướ ửa không gian
0>z
ở mỗi lớp nguyên tố
dz
bị dịch ch
thể vi ễ
ống ph a i trong n
uyển về pha một lượng
ền xu
dzk
z
, trong đó
ξθξ
ω
ξ
===−= )(,sin,
)(
)(,])([
/
mz
zkk
zc
zkzkk
00
2122
.

=
. Kế
m
zz
t quả là sóng quay trở lại môi trường đồng nhất phía trên với
cùng biên độ như sóng tới nhưng có một dư lượng pha
∫∫
−
21
2
dz
/
. (3.5.2)
−=−=
0
22
0
2
2
2
mm
zz
z
zkdzk
π
ξ
π
ϕ
])([
để thu được biểu thức này (biến thiên của