166
CHƯƠNG
5
Phân tích
tính bất định
và độ tin cậy của
hệ thống nguồn nớc
Điều đầu tiên trong thảo luận rủi ro và độ tin cậy cho thiết kế hệ thống
nguồn nớc là nhận dạng tính bất định và các thành phần liên quan khác nh
xác suất và tính ngẫu nhiên. Tính bất định có thể đợc định nghĩa một cách
đơn giản là sự xuất hiện của các biến cố nằm ngoài sự kiểm soát của chúng ta.
Tính bất định của một hệ thống nguồn nớc là một đặc trng không thể xác
định và nằm ngoài những kiểm soát của chúng ta. Trong việc thiết kế các hệ
thống nguồn nớc, các quyết định phải đợc đa ra đồng thời với sự tồn tại
của nhiều loại bất định khác nhau.
5.1. Tổng quan về lý thuyết xác suất
Trong mục này chúng tôi trình bày tóm tắt về một số nguyên lý và lý
thuyết cơ bản trong xác suất thống kê có ích cho đánh giá độ tin cậy của các
hệ thống nguồn nớc. Các ớc lợng bằng số về độ tin cậy cho các hệ thống
nguồn nớc đòi hỏi sử dụng các mô hình xác suất thống kê.
5.1.1. Các thuật ngữ
Trong lý thuyết xác suất, một phép thử nói chung biểu thị quá trình quan
trắc. Toàn bộ các kết quả có thể của một phép thử đợc gọi là không gian
mẫu. Một biến cố là một tập hợp con nào đó của các kết quả nằm trong không
gian mẫu. Do đó, một biến cố có thể là một tập rỗng
dựa trên cơ sở của kinh nghiệm và sự phán đoán.
5.1.2.
Các quy tắc tính xác suất.
Ba tiên đề cơ bản của xác suất có thể hiểu bằng trực giác là: (i) P(A)
0
(tính không âm); (ii) P(S) =1 (tính toàn phần) với S là không gian mẫu; (iii)
nếu A và B xung khắc nhau thì P(
B
A
)=P(A) + P(B). Từ hai tiên đề đầu tiên,
giá trị của xác suất phải nằm giữa 0 và 1. Mở rộng tiên đề thứ 3 cho một số
các biến cố xung khắc từng đôi bất kỳ là:
1 2
1
1
k
k
k i i
i
i
P A A A P A P A
i
k k k
i j l
i j l
k
k
P A P A P A A
P A A A
P A A A
U
(5.1.3)
Nếu hai biến cố đợc coi là độc lập nhau, sự xuất hiện của một biến cố
này không ảnh hởng đến sự xuất hiện của biến cố kia. Do đó, các biến cố A
và B là độc lập khi và chỉ khi P(A, B) = P(A)P(B). Để tổng quát hóa nguyên lý
này, xác suất xuất hiện đồng thời k biến cố độc lập, cũng đợc xem nh là xác
suất đồng thời, là
P A B P A B P B
(5.1.5)
trong đó P(
A B
) là xác suất xảy ra biến cố A biết trớc biến cố B đã xảy ra.
Nói các khác P(
A B
) biểu thị đánh giá lại của chúng ta về xác suất của A khi
biết thông tin rằng biến cố B đã xảy ra. Để tổng quát hóa Phơng trình (5.1.5),
xác suất của sự xảy ra đồng thời k biến cố độc lập có thể đợc tính bằng:
1 2 1 3 2 1 1 1
1
.
k
i k k
i
P A P A P A A P A A A P A A A
I
(5.1.6)
Đôi khi, xác suất mà biến cố A xảy ra không thể đợc xác định trực tiếp
thể bị ảnh hởng bởi một số các đặc trng C
i
, i = 1,2, k. Trong một số trờng 169
hợp P(
i
AC
) đợc biết và ta muốn xác định xác suất mà một đặc trng riêng C
i
có trách nhiệm cho sự xảy ra của biến cố A, đó là, P(
i
C A
) đợc yêu cầu. Dựa
vào định nghĩa của xác suất có điều kiện, Phơng trình (5.1.5), và định lý xác
suất toàn phần, Phơng trình (5.1.7), P(
i
C A
) có thể đợc tính bằng
i
có biết về sự xuất hiện của biến cố A. Định lý Bayes có
thể đợc sử dụng để cập nhật và sửa lại xác suất đã tính khi có thêm thông tin.
5.1.3. Các biến ngẫu nhiên và các phân phối của chúng.
Trong phân tích các đặc trng thống kê hoạt động của hệ thống nguồn
nớc, nhiều biến cố quan tâm có thể đợc xác định bằng các biến ngẫu nhiên
có liên quan. Một biến ngẫu nhiên là một hàm giá trị thực xác định trong
không gian mẫu. Một quy ớc khá chuẩn trong tài liệu thống kê là biến ngẫu
nhiên đợc biểu thị bằng một ký tự viết hoa còn ký tự viết thờng biểu thị giá
trị thực của biến ngẫu nhiên tơng ứng. Theo quy ớc này, ví dụ, Q có thể
đợc sử dụng để biểu thị cờng độ dòng chảy, một biến ngẫu nhiên, còn q
biểu thị giá trị có thể của Q. Một biến ngẫu nhiên có thể là liên tục hoặc rời
rạc. Có nhiều ví dụ về các biến ngẫu nhiên rời rạc trong kỹ thuật hệ thống
nguồn nớc. Mục này chỉ xét các biến ngẫu nhiên đơn chiều. Các trờng hợp
biến ngẫu nhiên đa chiều có thể xem ở các tài liệu khác (Blank, 1980; Devore,
1987).
Hàm phân phối lũy tích (CDF-Cumulative Distribution Function), F(x),
hay đơn giản là hàm phân phối (DF) của một biến ngẫu nhiên X đợc định
nghĩa là:
F(x)=P(X
x) (5.1.9)
F(x) là lũy tích vì đối số hay giá trị thực của nó, x, tăng dần. Hơn nữa, khi
x dần tới biên dới của biến ngẫu nhiên X giá trị của F(x) tiến tới 0; mặt khác,
giá trị của F(x) tiến tới 1 khi đối số của nó dần tới biên trên của biến ngẫu
nhiên X.
Với một biến ngẫu nhiên rời rạc X, hàm khối lợng xác suất (PMF-
Probability Mass Function) của X đợc định nghĩa là:
p(x) = P(X=x) (5.1.10)
trong đó p(x) là khối lợng xác suất, là xác suất tại một điểm rời rạc X = x.
độ xác suất và hàm phân phối lũy tích cho các biến ngẫu nhiên liên tục đợc
chỉ ra trong hình 5.1.2c và d. Tơng tự nh trờng hợp rời rạc, hàm mật độ của
một biến ngẫu nhiên liên tục phải thỏa mãn hai điều kiện: (1) f(x)
0 và (2)
1)( dxxf
.
Cho trớc hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X, hay
hàm khối lợng xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân phối lũy
tích của nó có thể tính đợc sử dụng:
x
dxxfxF )()(
với các biến ngẫu nhiên liên tục (5.2.12a)
và
ni
i
xpxF
1
)()(
với các biến ngẫu nhiên rời rạc (5.1.12b)
(5.1.13a)
Còn với trờng hợp rời rạc:
N
i
i
r
i
xpxxxXE
1
00
(5.1.13b) 172
Trong đó E[ ] là toán tử kỳ vọng thống kê. Trong thực tế ba momen đầu
tiên đợc sử dụng để diễn tả xu hớng trung tâm, tính biến thiên, và tính bất
đối xứng của sự phân phối một biến ngẫu nhiên. Không mất tính tổng quát từ
nay về sau chỉ xét các biến ngẫu nhiên liên tục.
Với sự đánh giá xu hớng trung tâm, kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên X
thờng đợc định nghĩa là
, X
2
, , X
k
là các biến ngẫu nhiên độc lập, thì
k
i
i
k
i
i
XEXE
11
(5.1.15b)
Hai loại momen thờng đợc sử dụng: Momen gốc x
0
= 0 và moment
trung tâm
x
0
ir
i
ir
i
r
C
0
'
1
(5.1.16a)
r
i
ir
i
irr
C
0
'
(5.1.16b)
trong đó hệ số nhị thức
ir
C
= r!/[i!(r-i)!],
i
5.0
md
xF
n
i
i
X
n
X
1
1Giá trị nhóm thứ 50 của số liệu
Tính thay đổi
Phơng sai
2
2
XE
XX
n
S
1
2
2
1
12/1
1
2
1
1
n
i
i
XX
G
n
i
i
Tơng quan
Hệ số tơng quan
yx
YX
,cov
, thờng đợc sử dụng khi đánh giá mức độ của tính bất định
gắn liền với một biến ngẫu nhiên. Một độ lệch chuẩn nhỏ hơn biểu thị một
biến ngẫu nhiên với tính bất định nhỏ hơn. Độ lệch chuẩn có đơn vị giống nh
đơn vị của biến ngẫu nhiên. Để so sánh mức độ của tính bất định của hai biến
ngẫu nhiên đơn vị khác nhau, một đại lợng đo lờng vô hớng
/
,
đợc gọi là hệ số biến thiên, là hữu dụng. Sau đây là một số đặc trng quan
trọng của phơng sai:
Var[a] = 0 (5.1.18a)
Var[X] = E [X2] - E2[X] (5.1.18b)
Var[aX] = a
2
Var[X] (5.1.18c)
Nếu tất cả các biến ngẫu nhiên , X, là độc lập thì
3
/
XE
(5.1.19)
Hệ số lệch là vô hớng và liên hệ với momen trung tâm bậc 3. Dấu của hệ
số lệch ngầm chỉ phạm vi của sự đối xứng của phân phối xác suất quanh giá
trị trung bình. Nếu
0
, phân phối là đối xứng qua giá trị trung bình;
0
,
phân phối lệch về phía bên phải;
0
, phân phối lệch về bên trái. hình 5.1.3
đợc dùng để minh họa về một phân phối xác suất với các hệ số lệch khác
nhau và vị trí tơng đối của giá trị trung bình
, trung vị xmd, và đỉnh x
mo
đợc chỉ ra trong hình 5.1.3. Đỉnh, x
mo
, là giá trị của biến ngẫu nhiên tại đỉnh
Y
Y
, mà đợc xác định là:
YXYX
XYEYXEYXCov
,
(5.1.21a)
hay
1, YX
là tơng quan hoàn toàn nghịch biến (tức là một biến
tăng còn một biến giảm). Khi
0, YX
là không có tơng quan tuyến tính.
hình 5.1.4 minh họa các giá trị của sự tơng quan. Nếu hai biến ngẫu nhiên X
và Y là độc lập, thì
0,, YXCovYX
. Tuy nhiên điều ngợc lại không
đúng (Xem hình 5.1.4d). Xét sự tơng quan giữa nhiều biến ngẫu nhiên liên
qua, Phơng trình 5.1.18d có thể đợc tổng quát chuyển thành 175
176
ST
m+1
= ST
m
+ PP
m
+ QF
m
- EV
m
- R
m
trong đó ST
m
= thể tích lợng trữ ban đầu trong tháng m, PP
m
= lợng giáng thủy trên mặt hồ trong
tháng m. QF
m
= dòng chảy tới hồ trong tháng m. EV
m
= tổng lợng bốc hơi tháng trong tháng m và R
m
=
lợng xả ra hàng tháng từ hồ đợc điều chỉnh cho các mục đích khác nhau. Tại thời điểm bắt đầu của
tháng, thể tích lợng trữ ban đầu và lợng xả ra đợc biết trớc. Hơn nữa, tổng lợng giáng thủy hàng
KAF.
Lời giải. Từ Phơng trình (5.1.15a), giá trị trung bình của thể tích lợng trữ cuối tháng trong hồ có thể
đợc xác định bằng:
E(ST
m+1
) = ST
m
+ E(PP
m
) +E(QF
m
) - R
m
= 20 +1 + 8 -3 - 10 =16 KAF
từ phơng trình 5.1.18c, có thể nhận đợc phơng sai của thể tích lợng trữ cuối tháng trong hồ bằng:
Var(ST
m+1
) = Var(PP
m
) + Var(QF
m
) + Var(EV
m
)
= (0,5)
2
+(2)
2
+ (1)
3,0,,4,0,,8,0,
mmmmmm
EVQFEVPPQFPP
.
Tính toán lại độ lệch chuẩn của thể tích lợng trữ cuối tháng.
Lời giải. Theo Phơng trình 5.1.22, phơng sai của thể tích lợng trữ trong hồ chứa tại thời điểm cuối
tháng có thể đợc tính bằng:
Var(ST
m+1
) = Var(PP
m
) + Var(QF
m
) + Var(EV
m
) + 2 Cov(PP
m
, QF
m
)
2 Cov(PPm, EVm) - 2 Cov(QFm, EVm)
=Var(PPm) + Var(QFm) + Var(EVm) +2
(PPm, QFm)
(PPm)
(QFm)
ST
KAF
Trong ví dụ 5.1.1 độ lệch chuẩn là 2,29 KAF. Rõ ràng là giả thiết về sự độc lập đã dẫn tới một độ lệch
chuẩn nhỏ hơn.
5.2. Những phân phối xác suất thờng gặp
Trong phân tích độ tin cậy của các hệ thống nguồn nớc, một số phân phối
xác suất thờng đợc sử dụng. Dựa trên đặc tính của biến ngẫu nhiên, các
phân phối xác suất có thể đợc phân loại thành phân phối rời rạc và phân phối 17
7
liên tục. Hai loại phân phối rời rạc thờng đợc sử dụng trong phân tích độ tin
cậy là: phân phối nhị thức và phân phối Poisson. Với các biến ngẫu nhiên liên
tục, có một số hàm mật độ phân phối thờng đợc sử dụng trong phân tích độ
tin cậy. Đó là các phân phối chuẩn, lô ga rít chuẩn, Gamma, Weibull, và phân
phối hàm mũ. Các phân phối khác nh phân phối beta và các phân phối cực
hạn đôi khi cũng đợc sử dụng.
5.2.1. Phân phối nhị thức
Phân phối nhị thức có thể áp dụng cho các quá trình ngẫu nhiên chỉ có hai
kết quả có thể. Trạng thái của các thành phần hay các hệ thống con trong
nhiều hệ thống nguồn nớc có thể đợc phân loại hoặc là đang hoạt động hoặc
là không hoạt động là một ví dụ điển hình của các kết quả nhị phân. Xét một
hệ thống gồm tất cả n thành phần độc lập mà mỗi thành phần có hai kết quả
có thể, là hoạt động hoặc không. Với mỗi thành phần, xác suất hoạt động là p.
Do đó xác suất của việc có x thành phần hoạt động trong hệ thống có thể đợc
tính bằng
3
/s có
thể xảy ra hoặc không. Do đó, kết quả các phép thử là nhị phân. Giai doận 5 năm đợc coi nh là có 5
phép thử. Biến ngẫu nhiên X trong bài toán này có phân phối nhị thức với các thông số p = 0,15 và n =
5. Ngời vận hành sẽ không mất tiền nếu nhiều nhất là một trận lũ lớn hơn 7500 ft
3
/s xảy ra trong vòng
5 năm. Xác suất để có nhiều nhất một trận lũ nh vậy trong 5 năm là
P(Có nhiều nhất một trận lũ lớn hơn 7500 ft
3
/s trong 5 năm)
8352,03915,04437,0
)15,01()15,0()15,01()15,0(
)1()0(
)1(
41
15
50
05
CC
XPXP
XP
5.2.2.
Phân phối Poisson.
, 2,1,0,!/
xxvtexp
x
vt
(5.2.3)
trong đó tham số
có thể đợc hiểu là tốc độ trung bình của sự xuất hiện một
biến cố trong khoảng thời gian (0, t).
Ví dụ 5.2.2. Đánh giá lại xác suất ở ví dụ 5.2.1 sử dụng phân bô Poisson
Lời giải. Trong ví dụ 5.2.1 gải thiết rằng trận lũ lớn hơn 7500 ft
3
/s không thể xảy ra quá một lần trong
năm. Nếu bở điều kiện này đi và cho giả thiết là có thể có nhiều hơn một trận lũ xảy ra trong 1 năm mà
không quan tâm đến xác suất nhỏ bao nhiêu. Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với các thông số v
= np = 5(0,15) = 0,75. Giá trị 0,75 thể hiện kỳ vọng (hay trung bình) của số lần xuất hiện của trận lũ lớn
hơn 7500 ft
3
/s trong vòng 5 năm. Do đó xác suất để có nhiều nhất một trận lũ nh vậy trong 5 năm đợc
tính nh sau
8266,03543,04724,0
!1/)75,0(!0/)75,0(
)1()0()1(
175,0075,0
x- với ,
2
1
exp
2
1
2
x
xf
(5.2.4)
Một phân phối chuẩn có dạng hình chuông và đối xứng qua điểm x =
bằng
z- với ,
2
exp
2
1
2
z
z
(5.2.6)
Các bảng của các hàm phân phối của Z nh bảng 5.2.1, có thể tìm thấy
trong các sách thống kê (Haan, 1977; Blank, 1980 ; Devore, 1987). Những
tính toán xác suất cho X ~ N(
2
,
) có thể đợc thực hiện sử dụng
dssz
(5.2.8)
5.2.4. Phân phối Lô ga rít chuẩn
Phân phối lô ga rít chuẩn là một phân phối liên tục thờng đợc sử dụng
khi các biến ngẫu nhiên không thể là số âm. Một biến ngẫu nhiên X đợc gọi
là phân phối lô ga rít chuẩn nếu dạng chuyển lô ga ríta của nó Y = ln(X) có
một phân phối chuẩn với giá trị trung bình
Xln
và phơng sai
2
ln X
. Phân phối
mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên phân phối lô ga rít chuẩn là
là hữu ích:
2/exp
2
lnln XXX
(5.2.10a)
1exp
2
ln
22
XXX
(5.2.10b)
1exp
2
ln
2
XX
- 2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
- 2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
- 2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
- 2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
- 2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
- 1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
- 1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
- 1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
- 1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
- 1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
- 1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0722 0,0708 0,0694 0,0681
- 1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
- 1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
- 1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
- 1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
-0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9916
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9936
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
Từ Phơng trình (5.2.10d) rõ ràng là các phân phối lô ga rít chuẩn luôn
lệch dơng vì
0
X
. Ngợc lại, các momen thống kê của ln X có thể đợc
tính từ các momen của X bởi:
2
ba
lnln
ln
và
phơng sai
XbY lnln
222
.
2. Nếu X và Y là phân phối lô ga rít chuẩn độc lập, W=XY có phân phối
lô ga rít chuẩn với giá trị trung bình
YXW lnlnln
và phơng sai
2
ln
2
ln
2
ln YXW
. 182
2
ln
2
2 2
ln
1 6000
ln 8,515
2 1 0.667
ln 0,667 1 0,368
Q
Q
Xác suất mà lu lợng lũ vợt quá 7000 ft
3
/s là
(b) Một biến cố 100 năm trong thủy văn biểu thị biến cố xảy ra trung bình 100 năm 1 lần. Do đó xác
suất trong mỗi năm mà biến cố 100 năm đợc cân bằng hay vợt quá, là 0,01, tức là, P(Q
q
100
) = 0,01
trong đó q
100
là lu lợng của lũ 100 năm. Phần này của bài toán là xác định q
100
, là phần đảo của phần
(a).
P(Qq
100
) = 1- P(Qq
100
) = 0,99
vì vậy
P(Qq
100
)=1-P(lnQlnQ
100
) = 0,99
100
ln 8,515 / 0,368 2,33
q
với ẩn q
100
tìm ra ln(q
100
) = 9,9284, q
100
= 20,505 ft
3
/s.
5.3. Phân tích độ bất định 183
Trong phân tích và thiết kế các hệ thống nguồn nớc có nhiều số lợng cần
quan tâm có liên quan về mặt chức năng với một số các biến mà trong đó một
số giả thiết là bất định. Ví dụ các công trình thủy lực thờng áp dụng các
phơng trình dòng chảy qua đập là Q = CLH
1.5
để tính công suất đập tràn
trong đó hệ số C và cột nớc H đợc giả thiết là bất định. Nh một hệ quả, lu
lợng qua đập tràn là không tất định. Một kỹ thuật khá rõ ràng và hữu dụng
cho mục đích xấp xỉ này là phân tích đạo hàm bậc nhất về tính bất định
hay đôi khi đợc gọi là phơng pháp delta.
xỉ bậc nhất của biến ngẫu nhiên Y có thể đợc biểu diễn bằng
2
1
(5.3.2)
trong đó
k
xxxx , ,,
21
, một vector gồm các giá trị trung bình của k biến
ngẫu nhiên. Xấp xỉ bậc nhất bỏ qua các số hạng bậc hai và bậc cao hơn và
phơng trình (5.3.2) có thể đợc rút gọn thành : 184
trình (5.1.15a), xấp xỉ bằng
xgYE
Y
(5.3.4)
Phơng sai của Y có thể đợc xấp xỉ bằng
k
i
i
ii
xXaVarYVar
1
0
trong đó
x
i
i
X
g
a
i
không
tơng quan, tức là Cov[X
i
, X
j
] = 0, thì phơng trình (5.3.5) rút gọn thành
k
i
iiY
a
1
222
(5.3.6)
Phơng trình (5.3.6) có thể đợc biểu thị dới dạng hệ số biến thiên
bằng cách chia cả hai vế cho
2
Y
bất định hay để cực tiểu hóa các ảnh hởng của tính bất định.
Ví dụ 5.3.1. Thông thờng ngời ta sử dụng công thức Manning để tính suất chuyển nớc trong kênh hở.
Suất chuyển nớc sử dụng công thức Manning đợc mô ta là 185
1 1/ 2 5 / 3 2/ 3
Q 1.49n S A P
trong đó P là chu vi ớt. Do tồn tại các độ bất định trong các ớc lợng các giá trị của hệ số nhám, độ
dốc đáy kênh, mặt cắt ngang, và chu vi ớt, suất chuyển nớc cũng liên quan đến độ bất định. Giả thiết
là độ bất định trong ớc lợng A và P có thể bỏ qua trong khi độ bất định của hệ số nhám và độ đốc kênh
là quan trọng. áp dụng phân tích đạo hàm bậc nhất để diễn Lời giải ra công thức tính độ bất định của Q
thông qua độ bất định của hệ số nhám Manning n và độ dốc kênh S.
Lời giải. Vì A và P đợc xem là tất định không có tính bất định, chúng có thể đợc kết hợp thành một số
hạng hằng số, K = 1,49A
5/3
P
-2/3
để biểu diễn
Q = K n
-1
S
1/2
Xấp xỉ bậc nhất của giá trị trung bình của Q sử dụng công thức Manning có thể đợc xác định sử dụng
phơng trình (5.3.3)
)(5.0)(
trong đó
2/1
1
SnKQ
. Phơng sai của suất chuyển nớc có thể thu đợc bằng cách áp dụng phép
toán phơng sai cho phơng trình này với giả thiết n và S là các biến ngẫu nhiên độc lập,
trong đó
n
Q
và
S
Q
là các hệ số nhậy. Bằng một cách khác, độ bất định của Q thông qua hệ số
biến thiên có thể đợc diễn Lời giải bằng việc sử dụng phơng trình (5.3.7) với X
i
Q x
i
n s
n s
n s
Q x
X
Q
Q n Q S
n S
Q Q
K S n K S
n Q nS Q
K S K S
Q nS Q
n
2
2
2 2
2
2 2
1 1
0,25
0,25
n s
n s
n S
S
n
5.4. Những tính toán độ tin cậy sử dụng phân
) là
1' RLP
(5.4.2)
Các tính toán độ tin cậy hay rủi ro sử dụng các phơng trình (5.4.1) và
(5.4.2) không xét sự phụ thuộc thời gian của tải trọng. Nói chung nó đợc áp
dụng khi đánh giá hoạt động của hệ thống đối mặt với một biến cố tải trọng
xấu nhất đơn lẻ. Từ quan điểm tính toán độ tin cậy, điều này đợc đề cập đến
nh một mô hình độ tin cậy tĩnh.
5.4.1. Phơng pháp tích phân trực tiếp.
Từ các phơng trình (5.4.1) và (5.4.2), việc tính toán rủi ro và độ tin cậy
đòi hỏi hiểu biết về các phân phối xác suất của tải trọng và sức tải. Dới dạng
hàm mật độ xác suất đồng thời của tải trọng và sức tải,
L,R
f l,r
, Phơng trình
(5.4.1) có thể đợc biểu diễn bằng:
r
L,R
0 0
f l,r dldr
tin cậy của một hệ thông có thể đợc biểu diễn dới dạng biên an toàn là
00 SMPLRP
(5.4.5)
Sử dụng biên an toàn cho tính toán độ tin cậy đòi hỏi biết phân phối xác
suất của SM. Nếu là trờng hợp này, độ tin cậy có thể nhận đợc bởi
01
SM
F
trong đó FSM() là hàm phân phối của biên an toàn SM. Trong
một số trờng hợp đặc biệt, phân phối của SM có thể đợc đánh giá dễ dàng
mà không có các biến đổi toán học. Ví dụ, từ thảo luận về phân phối chuẩn
(Mục 5.2.3), phân phối của SM là chuẩn với giá trị trung bình
SM
và phơng
sai
2
SM
nếu tải trọng và sức tải đều là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Có thể nhận đợc giá trị trung bình và phơng sai của SM, dựa trên các
phơng trình (5.1.15a) và (5.1.22), là bằng
để nhận đợc
SM
SM
SM
SM
SM
P
SMSMSMSM
5
R
,
75,0
R
. Giá trị trung bình và phơng sai của biên an toàn SM có thể đợc tính sử dụng các phơng 188
trình (5.4.6) và (5.4.7) là
235
SM
và
5625,1175,0
22
2
SM
. Vì cả nhu cầu và cung
cấp đều là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn, do đó SM cũng là một biến ngẫu nhiên phân phối
chuẩn (xem Mục 5.2.3). Độ tin cậy của hệ thống cấp nớc là xác suất của việc có thể đáp ứng nhu cầu
mà có thể đợc tính bằng
, độ tin cậy không bị ảnh hởng lớn bởi việc lựa chọn phân phối cho L
và R và giả thiết về sự phân phối chuẩn cho SM là khá thích hợp. Tuy nhiên,
với một độ tin cậy cao hơn (ví dụ,
999,0
), dạng phần đuôi của phân phối trở
nên rất quyết định trong trờng hợp nào ta nên dùng một đánh giá chính xác
phân phối của SM hay tích phân trực tiếp để ớc lợng độ tin cậy hay rủi ro.
Hệ số an toàn (SF-Safety factor) đợc định nghĩa là tỷ số của sức tải trên
tải trọng, R/L. Bởi vì hệ số an toàn SF là tỷ số của hai biến ngẫu nhiên, hệ quả
là nó cũng là một biến ngẫu nhiên. Độ tin cậy có thể đợc viết thành P(SF -1).
Một số biến đo lờng của hệ số an toàn và tính hữu dụng của nó trong phân
tích và thiết kế kỹ thuật thủy lực đợc thảo luận bởi Yen (1979). Cũng tơng
tự nh biên an toàn, cần phải biết hàm mật độ xác suất của hệ số an toàn để
các tính toán độ tin cậy sử dụng hệ số an toàn.
Trờng hợp đơn giản nhất là khi cả tải trọng L và sức tải R đều có phân
phối lô ga rít chuẩn. Phép lấy lô ga ríta chuyển SF thành hiệu của ln(R) và
ln(L) mà cả hai đều là phân phối chuẩn. Tính toán độ tin cậy có thể đợc tiếp
tục nh trờng hợp biên an toàn
0)ln(11
Lln
đợc lấy bằng việc sử dụng các phơng trình (5.2.11a) và (5.2.11b). Sau một
số biến đổi đại số, phơng trình (5.4.9) cũng có thể đợc biểu thị dới dạng
các đặc trng thống kê của L và R trực tiếp (Chow, Maidment and Mays,
1988) nh sau 189
Minh hoạ bằng đồ thị các bớc trong tính toán độ tin cậy bằng phơng trình (5.4.4)
Ví dụ 5.4.2. Lời giải ví dụ 5.4.1 với giả thiết công suất (R) và nhu cầu (L) đều phân phối lô ga rít chuẩn.
Lời giải. Từ ví dụ 5.4.1 các hệ số biến thiên của cầu và cung là
333,03/1
L
;
15,05/75,0
R
. áp dụng phơng trình (5.4.10), độ tin cậy của hệ thống cấp
nớc để đáp ứng nhu cầu có thể đợc tính bằng: 190 939,0061,015463,11
333,0115,01ln
15,01
333,01
3
5
ln
1
22
2
2
5.4.3. Các phơng pháp momen thứ hai bậc nhất
Độ tin cậy có thể đợc biểu diễn dới dạng của một hàm vận hành, chẳng
hạn nh hệ số an toàn hay biên an toàn, diễn tả sự vận hành của hệ thống. Một
sự vận hành hệ thống có thể đợc diễn tả thông quả tải trọng L = g(X) và sức
tải R = h (Y) nh W(X,Y) mà nó có thể là một trong các dạng sau:
W1(X,Y) = R - L = h(Y) - g(X) = SM (5.4.11)
W2(X,Y) = (R/L)- 1 = [h(Y)/g(X)] - 1 = SF - 1 (5.4.12)
W3(X,Y) = ln(R/L) = ln[h(Y)] - ln[g(X)] = ln(SF) (5.4.13)
trong đó X và Y là các vector của các tham số bất định trong định nghĩa tải
trọng và sức tải. Phơng trình (5.4.11) là đồng nhất với biên an toàn còn các
phơng trình (5.4.12) và (5.4.13) là dựa trên sự biểu thị hệ số an toàn. Do đó,
độ tin cậy là xác suất mà hàm vận hành lớn hơn hoặc bằng 0.
Phơng pháp momen thứ hai bậc nhất giá trị trung bình (MFOSM). Đồng
nhất với phân tích đạo hàm bậc nhất của tính bất định đợc trình bày trong
Mục 5.3.2, phơng pháp MFOSM ớc lợng giá trị trung bình (
WƯ
) và độ lệch
chuẩn (
W
) của biến vận hành W bằng các phơng trình (5.3.4) và (5.3.5)
tơng ứng. Khi giá trị trung bình và phơng sai của W đợc ớc lợng, chỉ số
độ tin cậy
đợc tính bằng
1
(5.4.16)
trong đó
là hàm phân phối chuẩn tắc (xem Bảng 5.2.1).
Ví dụ 5.4.3. Xét một mặt cắt kênh dẫn hở nhân tạo với hà bờ bê tông và đáy là cuội sỏi. Giả thiết độ bất
định của diện tích mặt cắt ngang (A) và chu vi ớt (P) có thể bỏ qua. Giá trị của diện tích mặt cắt ngang
(A) và chu vi ớt (P) tơng ứng bằng 90 ft
2
và 35 ft. Tuy vậy, hệ số nhám Manning (n) và độ dốc trong
kênh (S) là bất định. Giá trị trung bình của hệ số nhám (n) và độ dốc tơng ứng bằng 0,017 và 0,0016
Copyright: Tài liệu đại học ©