61 62

Chơng 2
Mô hình hóa toán học sự lan truyền sóng
trên những khoảng cách đại dơng ton cầu
2.1. bi toán tính sóng gió trong đại dơng với các
tọa độ cầu
Trong chơng 1 đã đa ra phát biểu tổng quát bi toán về
sự tiến triển phổ sóng gió có tính tới nhiều nhân tố quyết định.
Vì phát biểu tổng quát bi toán rất phức tạp, ở chơng ny ta sẽ
xét những hiệu ứng độ cong mặt Trái Đất ảnh hởng tới nghiệm
nh thế no. Giới hạn ở trờng hợp nớc sâu, đồng thời tính tới
thực tế l độ sâu trung bình đại dơng lớn hơn nhiều so với bớc
sóng sóng gió v sóng lừng. Trong chơng ny cũng cha tính
tới ảnh hởng của các hải lu lên sóng.
Nhận thấy rằng đa phần các mô hình sóng gió hiện đại (ở
đây cha nói tới mô hình
WAM [303] v một số mô hình tơng
tự nó) dựa trên phơng trình cân bằng năng lợng sóng, trong
đó dùng những tọa độ vuông góc thông thờng


yxr ,


. Những
bi toán loại ny giải trên mặt phẳng ngang, điều ny hon
ton thích hợp khi xét những thủy vực tơng đối hẹp, nh các
biển. Tuy nhiên, sẽ không ổn nếu sử dụng cách tiếp cận ny khi
tính sóng ở đại dơng có kích thớc cùng cỡ với bán kính Trái
Đất. Tính đến độ cong mặt Trái Đất trong trờng hợp ny có thể


g
c

vectơ tốc độ
nhóm;


góc giữa vectơ sóng v trục
x
;
oo
21
, tại
0
biên giới của nguồn
sinh sóng;

21
, những trị số giới hạn của
góc nhìn tới nguồn tại điểm quan trắc.
Phân bố góc của phổ ban đầu biểu hiện bằng
hình cánh hoa

Từ phát biểu tổng quát bi toán (1.86)(1.90) suy ra trong
trờng hợp nớc sâu v vắng mặt dòng chảy, thì các giá trị số
sóng
k

v tần số







. (2.1)
Lu ý rằng hm nguồn ),,,,( tG




có tính chất địa
phơng v, nh đã nêu trong chơng 1, có thể đợc mô tả bằng
những tơng quan thông thờng, vẫn đợc sử dụng trong hệ tọa
độ phẳng truyền thống. Còn vế trái của phơng trình, biểu thị
bình lu năng lợng sóng, đợc xác định bằng dạng của bề mặt
m trên đó sóng lan truyền.
Trong tình huống đang xét, các chùm sóng chuyển động
theo đờng trắc địa
l khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm
gần nhau trên bề mặt. Các phơng trình chuyển động của
chúng (1.86)(1.88) có thể viết lại dới dạng phơng trình
đờng trắc địa [51]:
0
j
i
m
ij
m

x
g
z
g
g
2
1
những ký hiệu
Kristoffel;

q tọa độ tổng quát
21
qq , ;

ik
g độ đo
Riman, cho trên mặt cầu. Xuất phát từ phơng trình (2.2), ta
viết các phơng trình chuyển động của chùm sóng dới dạng:

02
2
1
2
sin


; (2.3)


02


222
cos
cos
cos
cos
g
R
. (2.5)
Bằng cách tách các biến, những phơng trình (2.3)
(2.4) có
thể dễ dng tích phân v nhận đợc







































1
arctg
1
arctg
2
0
2
0
22
0

tức khi truyền chùm sóng trên mặt cầu thì tích

coscos giữ
nguyên không đổi dọc quỹ đạo.
Vậy, nếu chùm sóng truyền lên phía đông bắc từ vĩ độ
0

,
nó cắt vĩ tuyến ny dới một góc )/( 2
00




, thì góc

sẽ giảm
đi v tại vĩ độ
]cosarccos[cos
00




có giá trị 0
0


. Sau đó
chùm sóng bắt đầu truyền "về phía ngợc lại" v gặp vĩ độ xuất


đợc đa ra theo cách sau
[77] (xem hình 2.1):

00


cosRx ;


0




Ry . (2.9)
Khi đó
dt
d
R
dt
dx

cos ,
dt
d
R
dt
dy


trình (2.10) thấy rằng nó trùng với phơng trình
mật độ phổ viết cho trờng hợp phát biểu bi toán trong hẹe tọa
độ phẳng vuông góc },{
yx , ngoại trừ số hạng thứ t ở vế trái.
Nhờ biểu thức (2.8) có thể viết nó dới dạng














S
R
yg
dt
dS
cos
0
tg
2
. (2.11)
Giá trị của biểu thức (2.11) có thể tích phân nh một ớc

thờng viết dới dạng [45]:


cos
2
g
dt
dx
;

sin
2
g
dt
dy
. (2.12)
Giá trị của góc

chấp nhận không đổi dọc theo quỹ đạo
truyền chùm sóng, tức
0



. Còn trong thực tế khi truyền sóng
trên mặt cầu góc

biến thiên tuỳ thuộc vo vĩ độ

theo biểu




0
0
, giá trị


tăng lên
v để ớc lợng cần sử dụng gần đúng bậc cao hơn. Hiệu ứng
ny tăng cùng với tăng kích thớc thủy vực.
Nh vậy lhi chuyển sang hệ tọa
độ phẳng địa phơng sẽ
xuất hiện những sai số do hai nguyên nhân. Nguyên nhân thứ
67 68

nhất liên quan tới sử dụng hệ quy chiếu mặt cầu lên mặt phẳng
[19], thí dụ trong mô hình
NEDWAM [227]. Nguyên nhân thứ
hai l do góc

biến thiên khi truyền chùm sóng trên mặt cầu
m trong cách phát biểu địa phơng bi toán không tính đến.
2.3. Tính truyền sóng lừng trên đại dơng bằng
phơng pháp các đặc trng
Nghiệm đơn giản nhất của bi toán phổ xuất phát (2.1) trên
mặt cầu có thể nhận đợc đối với phơng trình cân bằng năng
lợng đồng nhất (2.1), tức trong trờng hợp hm nguồn có thể
bỏ qua )( 0


sin
arctg
1/cos
sin
arctg,,),,,,(
2
0
2
2
0
2
0
22
00









































g
R
t
StS
(2.14)
Ta sẽ thực hiện tính cụ thể nghiệm nhận đợc cho trờng

0
10
4
0
00
0 khi 0
2 khi

3
8

HHS
tS
)()(sin)(
),,,(

(2.15)
trong đó


)(H hm Hevisaide.
Phát biểu bi toán nh vậy tơng ứng với tình huống tại vĩ
tuyến
0



trên đoạn giữa hai kinh tuyến

21

cos
sin . (2.16)
Thực tế điều ny chỉ sự biến thiên của độ
rộng của hình dải
quạt phân bố góc của mật độ phổ năng lợng do độ cong của
mặt truyền sóng. Vậy nếu nh tại một điểm no đó trên mặt
năng lợng xuất phát của sóng nằm trong khoảng các góc
21



, ứng với hai cung vòng tròn lớn
1
O
v
2
O
, thì về sau
năng lợng đã không phân tán theo ton mặt cầu, m vẫn nh
trớc, giới hạn giữa hai cung
1
O v
2
O ny, ở ngoi sẽ quan sát
thấy "vùng tối".
Ngoi
điều kiện (2.16) dải biến thiên mang năng lợng của
69 70

góc tại điểm tính toán sẽ bị giới hạn bởi sự hữu hạn của độ

3
8
(
0
4
4
0
2
2
0
00
2
2
0
2
2
00






























)sin()sin(
cos
cos
sin
cos
cos
~
cos
cos
cos
)
m
ddSddSm



21
, khi
12
3 , sau đó tìm những giá trị số của
biểu thức (2.14). Kết quả tính toán với những giá trị góc



0

(hay khoảng cách từ nguồn) khác nhau trong khi cố định độ
rộng nguồn


thể hiện trên hình 2.2. Tại đây cũng dẫn những
kết quả tính với các giá trị khác nhau của độ rộng nguồn. Từ
những kết quả nhận đợc thấy rằng: khi sóng lan xa dần khỏi
nguồn v tiến dần tới xích đạo thì độ cao giảm, hơn nữa mức độ
giảm sẽ mạnh nhất đối với các sóng đi ra từ những nguồn không
trải di. Tuy nhiên sau đó, tức sau đờng xích đạo, cùng với sự
tăng khoảng cách bắt đầu quan sát thấy sự tăng dần độ cao
sóng. Hiệu ứng ny trở nên rất rõ nét đối với những nguồn trải
di

9060 ( , đó l biểu hiện trực tiếp của độ cong mặt
truyền sóng.
Ta sẽ so sánh kết quả nhận đợc với nghiệm của bi toán
tơng
tự trên mặt phẳng, tức không tính tới độ cong mặt. Muốn


















32
4
4
2
28
3
3
16
11
1
0
0
01

h l/1 , tức
trong trờng hợp mặt truyền sóng phẳng, tại những khoảng
cách lớn xa nguồn thì độ cao sóng giảm theo luật hình trụ.
71 72 Hình 2.2. Những giá trị tơng đối của độ cao trung bình dọc theo kinh tuyến ứng
với một số kích thớc miền phát sinh


nằm tại vĩ độ

60
0
:
1
1; 2 5; 3 15; 4 30; 5 60; 6 80
Kết quả tính bi toán mặt phẳng dới dạng tỉ số
10
/ hh dẫn
trên hình 2.3. Nh kết quả cho thấy: với những nguồn nhỏ

( )1

, tỉ số
10
/ hh luôn lớn hơn đơn vị. Với những nguồn trải
di
)(


90
,











h
h

00
9090 , (2.19)
nó cho thấy độ cao sóng tính toán trên mặt cầu khác bao nhiêu
so với tính toán trên mặt phẳng.
Nhờ so sánh các độ cao sóng tính toán có v khô
ng kể đến
độ cong Trái Đất đã đa ra đợc những ớc lợng định lợng
cho biết kết quả sẽ biến đổi bao nhiêu trong trờng hợp ny
hoặc trờng hợp kia. Thí dụ, khi sóng truyền từ phía bắc xuống
phía nam ở Thái Bình Dơng, độ cao sóng có tính tới độ cong
mặt đại dơng có thể gấp 2 lần độ cao tính theo mô hình mặt
phẳng. Phải nhận xét rằng sự sanh sánh hai phơng pháp tính
đợc thực hiện trong một phơng án thuận tiẹen nhất đối với
mô hình phẳng, có nghĩa rằng ở đây đa ra ớc lợng "sai số

thờng, những vùng bão di chuyển, biến đổi với thời gian v có
tính bất đồng nhất không gian. Những nguyên nhân ny, cộng
với sự tản mát sóng, tức sự khác nhau về tốc độ truyền của các
thnh phần phổ khác nhau, phải dẫn đến "lm phai mờ" một số
hiệu ứng liên quan tới độ cong của mặt truyền sóng.
ở đây phải lu ý đến một trong số không nhiều công trình
[355] đề cập tới việc nghiên cứu sự lan truyền sóng lừng trên
những khoảng cách ton cầu trong điều kiẹen tự nhiên. Trong
thời gian hai tháng rỡi , sáu trạm sóng phân bố dọc theo cung
vòng tròn lớn từ New Zealand đến Aliaska đã tiến hnh quan
trắc sóng lừng ở Thái Bình Dơng. Những kết quả quan trắc
nhận đợc rất tản mạn, nhng những giá trị lấy trung bình đã
chứng tỏ rằng khi sóng lừng lan tới những khoảng cách không
lớn lắm, tơng đơng với kích thớc vùng bão, thì độ cao sóng
đã giảm rõ rệt. Với sóng tần số 0,07 Hz thì chỉ số giảm độ cao
sóng
(theo công thức
0
h

l
e

, trong đó

l quãng đờng đi
qua) đợc ớc lợng bằng


17

hởng của dòng chảy v nớc nông cha đợc tính đến. Điều
ny hon ton dễ hiểu, vì trong phần lớn các trờng hợp ảnh
hởng của những nhân tố ny lên sóng mang tính chất địa
phơng. Những vấn đề ny sẽ xét chi tiết trong các chơng tiếp
theo. Trong mục ny ta sẽ xét vấn đề về ảnh hởng lên sóng của
các dòng chảy lớn quy mô ton cầu, có thể không có gradient tốc
độ lớn, nhng phần đóng góp có thể tơng đơng với hiệu ứng
mặt cong Trái Đất. Thí dụ điển hình về loại dòng chảy đó l hải
lu Vòng Cực (hay nh ngời ta vẫn gọi
dòng chảy Gió Tây);
dòng chảy ny ảnh hởng tới sự lan truyền sóng ở đại dơng
Nam bán cầu. Nó nằm ở khoảng 40
60S, có tính chất đới v
hớng về phía tây.
Lu
ý rằng ngay trong công trình [355] đã thông báo rằng
sóng bão gần Nam Cực ở Thái Bình Dơng biến đổi hớng của
mình so với hớng tính toán trên bản đồ thời tiết. Trong công
trình [330] mô tả rằng sóng đợc quan sát thấy ở nơi hon ton
nằm trong vùng khuất. Ngay từ trong công trình của K. Kenion
[298] đã có một ứng dụng lý thú với bi toán khúc xạ sóng trên
nền dòng chảy, trong đó đã tính toán bằng giải tích các tia sóng
trong trờng hợp thnh phần dòng chảy
)(xV
y
phụ thuộc tuyến
tính vo tọa độ
x
. K. Kenion đã giải thích những trờng hợp
khúc xạ sóng trên dòng chảy v phác hoạ bức tranh lm sao

R
c
dt
d
g



sin
; (2.21)







coscos
cos
R
V
R
c
dt
d
g
; (2.22)




R
k
kVc
Rdt
d
g
cos
cos
cos
cos
tg
. (2.24)
Tuy nhiên, thay vì giải trực tiếp các phơng trình (2.21)

(2.24), một bi toán khá nặng, ta thử tìm các tích phân động
lợng của hệ (2.21)
(2.24). Điều ny cho phép đơn giản hóa việc
xây dựng nghiệm tiếp theo. Lu ý rằng trong phát biểu bi toán
hiện tại thì tọa độ

l tọa tuần hon. Vì lý do đó, thnh phần
xung tổng quát

k
(theo các phơng trình (1.59) v (1.70)) giữ
77 78

nguyên không đổi dọc theo quỹ đạo truyền chùm sóng, tức
const



V
v vĩ độ

.
Nh vậy, thay vì giải hệ phơng trình (2.21)
(2.24), chỉ cần
giải các phơng trình (2.21) v (2.22); các biểu thức phụ thuộc
(2.25) v (2.26) tham gia vo các phơng trình ny. Tuy nhiên,
thậm chí hệ phơng trình đơn giản hóa ny không phải bao giờ
cũng giải đợc bằng giải tích. Song dù sao thì các tơng quan
(2.25) v (2.26) cũng cho phép tìm hiểu một loạt những quy luật
biến dạng các yếu tố sóng trên dòng chảy. Nếu chùm sóng lan
truyền dọc theo quỹ đạo, xuất phát từ điểm
},{
00


, nơi số sóng
bằng giá trị
0
k , còn hớng vectơ sóng bằng
0

, đến điểm quỹ
đạo
},{ , thì só sóng k v góc

có thể dễ dng tìm đợc nhờ
các tơng quan (2.25) v (2.26):










cos
)(
cos
cos
R
Vk
R
gk
, (2.28)
trong đó
000




coscosRkk .
Các tơng quan (2.27) v
(2.28) mô tả biến thiên của số
sóng
k v góc
















cos
)cos(
2
1
R
gk
k
R
V
(2.29)
Với giá trị tốc độ dòng chảy bằng trị số đã nêu, thì góc

nhận giá trị bằng không hoặc bằng

, tình huống ny tơng
ứng với sự truyền sóng song song với tốc độ dòng chảy


V
g
V
g
Rg
Vk
4
1
2
1
2
2
*
cos (2.30)
Khác với trờng hợp truyền sóng không kể tới ảnh
hởng
dòng chảy đã xét ở mục trớc, ở đây điểm quay ngoặt phụ
thuộc không chỉ vo vĩ độ
, m vo cả tốc độ dòng chảy.
Với các sóngm ban đầu truyền về hớng nam
v những
giá trị nhỏ của tham số 1

gV / biểu thức (2.30) có thể
biểu diễn bằng






rad/s 5,0
, thì góc

biến thiên bổ sung do do dòng chảy khoảng 10, tức điểm quay
ngoặt sẽ dịch theo vĩ độ đi 1000 km về phía nam hay phía bắc tuỳ
thuộc vo hớng của vận tốc dòng chảy (hình 2.4).
Những ớc lợng ảnh hởng dòng chảy lên sóng nhận đợc
ở mục ny chứng tỏ rằng khi truyền sóng hớng tây bắc do các
gió tây v
tây bắc phát sinh, dòng chảy gây nen sự phản xạ
sóng, vì thế m chúng có thể không đạt tới bờ Nam Cực (xem
hình 2.4). Nh vậy ở mạn phía bắc của đới ny phải quan sát
thấy sự giao thoa các sóng tới v sóng phản xạ, lm tăng cờng
độ sóng tại đó. Đồng thời do hiện diện của dòng chảy, hớng các
sóng đông bắc sẽ truyền chệch khỏi cung vòng tròn lớn v xâm
nhập mạnh mẽ hơn vo Nam Cực. Chi tiết hơn về bi toán biến
dạng phổ sóng trên nền dòng chảy bất đồng nhất sẽ xét trong
các chuơng tiếp theo. Trong mục ny chỉ đa ra đánh giá về
mặt động học để thấy tầm quan trọng của việc tính tới dòng
chảy, thậm chí chỉ l với các dòng chảy bất đồng nhất không
gian gradient nhỏ, tới sự lan truyền sóng trên những khoảng
cách ton cầu.
ảnh hởng của dòng chảy tỏ ra tơng đơng với
hiệu ứng độ cong mặt Trái Đất.

Hình 2.4. Biểu diễn sơ đồ các tia truyền sóng ở đại dơng Nam bán cầu trong
điều kiện dòng chảy Vòng Nam Cực: