Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý
MA TRẬN

A. CÁC PHÉP TOÁN VỀ MA TRẬN:
Bài 2.1. Tích AB của các ma trận A và B sẽ thay ñổi như thế nào nếu:
a. ðổi chỗ dòng i và dòng j của ma trận A.
b. Nhân dòng j của ma trận A với số c rồi cộng vào dòng i của nó.
c. ðổi chỗ cột i và cột j của ma trận B.
d. Nhân cột j của ma trận B với số c rồi cộng vào cột i của nó.
Bài 2.2. Ký hiệu A
r x s
là ma trận cấp r x s. Tìm m, n trong các trường hợp sau:
a. A
3 x 4
B
4 x 5
= C
m x n
b. A
2 x 3
B
m x n
= C
2 x 6
c. A
2 x m
B
n x 3
= C







-3 -1
2 1
4 3
, D =






4 -1
2 0

Tìm các ma trận sau (nếu tồn tại) A + B, A + C, AB, BA, CD, DC, D
2
.
Bài 2.4. Cho các ma trận:
A =







c. Tìm ma trận chuyển vị của A.
Bài 2.5. Cho các ma trận: A =








0 2 -1
1 1 -1
-2 -5 4
, B =








1 3 1
2 2 1
3 4 2
, C =






-1
3
4
. Tìm XX
t
, X
t
X, YY
t
, Y
t
Y
Bài 2.7. Cho ma trận A =








1 -2 2
-6 1 4
2 -2 3
. Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X = I
3


Bài 2.9. Cho A =






4 -3
1 0
. CmR A
n
=
3
n
- 1
2
A +
3 - 3
n
2
I
2
, với mọi n ≥ 1, n ∈ N

B. HẠNG CỦA MA TRẬN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 2.9 Tìm dạng bậc thang dòng rút gọn của ma trận:
a.







1 0 -2
-4 -1 5
1 3 7
5 0 -10
b.








1 -3 4 2
2 1 1 4
-1 -2 1 -2
c.








1 2 3 4 5









1 2 0 3
0 -1 2 7
1 0 0 -5
0 1 0 2

Bài 2.11 Tùy theo giá trị của m, tính hạng của ma trận sau:
a.








-1 0 2 1 0
2 1 -1 2 2
1 1 1 3 2
-2 -1 1 m -2
b.






m 1 1 1
1 m 1 1
1 1 m 1
1 1 1 m
e.








3 m 1 2
1 4 7 2
1 10 17 4
4 1 3 3
f.








-1 12 4 8

3
= 2
b.





-x
1
+ 2x
2
= 8
3x
1
+ x
2
+ x
3
= 2
-2x
1
- x
2
= 1
Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý
c.

4
= 4
d.





36.47x + 5.28y + 6.34z = 12.26
7.33x + 28.74y + 5.86z = 15.15
4.63x + 6.31y + 26.17z = 25.22

e.





2x
1
- 3x
2
- 4x
3
+ 5x
4
= -13
4x
1
- 6x

x
1
- 4x
2
+ 3x
3
= -22
2x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
= 12
x
1
+ 7x
2
+ 2x
3
= 34
3x
1
- x
2
- 2x
3
= 0

g.

4
= 1
x
1
+ x
2
+ x
3
= 0
h.



x + y + z + u + t = 15
x + 2y + 3z + 4u + 5t = 35
x + 3y + 6z + 10u + 15t = 70
x + 4y + 10z + 20u + 35t = 126
x + 5y + 15z + 35u + 70t = 210

Bài 2.13 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số thực m ∈ R:
a.





3mx + (3m - 7)y + (m - 5)z = m - 1
(2m - 1)x + (4m - 1)y + 2mz = m + 1
4mx + (5m - 7)y + (2m - 5)z = 0





1 0 1
0 0 2
-1 3 1
b.








1 1 -1
0 0 1
1 1 0
c.








0 0 2
1 2 6
3 7 9





0 0 2
1 2 6
3 7 9

Bài 2.16 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của các ma trận sau (bằng pp Gauss - Jordan)
a.








0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
b.









1 2 4 6
0 1 2 0
0 0 1 2
0 0 0 2
e.








1 -2 1 -1
-1 4 -2 3
2 0 1 3
-2 6 0 5
f.








2 -1 0 3
1 1 2 -1
-1 2 3 1






1 1 -1
0 0 1
2 1 2

a. CmR A
3
= 3A
2
– 3A + I
3

b. Biểu diễn A
4
theoA
2
, A và I
3
. Từ ñó xác ñịnh A
4
dưới dạng tường minh
c. Sử dụng câu a ñể chứng minh rằng A khả nghịch và tìm A
-1
.
Bài 2.19
a. Cho B là ma trận vuông cấp n thỏa B