- Đề & đáp án thi Đại học - Trường THPT Thuận Thành số I
1

http://ductam_tp.violet.vn/

Ngày thi 21/12/2010
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2
m
y x m
x
  


1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1.
2. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đường thẳng
d: x – y + 2 = 0 những khoảng bằng nhau.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình


 
2
cos . cos 1
2 1 sin .
sin cos


DMN ABC

. Đặt AM = x, AN = y. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y.
Chứng minh rằng:
3 .
x y xy
 

Câu V (1,0 điểm). Cho x, y, z
0

thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 
3 3 3
3
16
x y z
P
x y z
 

 

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).
A. Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0,
phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của
hình chữ nhật.

4
(n + 9) = 3
B. Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần
lượt nằm trên hai đường thẳng d
1
: x + y + 5 = 0 và d
2
: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm
C và tiếp xúc với đường thẳng BG.
2. Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d:
3 2 1
2 1 1
x y z
  
 

và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0.
Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng

nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với
d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới

bằng
42
.
Câu VII.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
 
1 4


I 2,0
1 1,0
Với m =1 thì
1
1
2
y x
x
  


a) Tập xác định: D


\ 2
 

0.25
b) Sự biến thiên:

   
2
2 2
1 4 3
' 1
2 2
x x
y
x x

2 2
lim ; lim
x x
y y
 
 
   
,





lim ( 1) 0 ; lim ( 1) 0
x x
y x y x
 
     

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x – 1.
0.25
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

1 2 3
+


0
0
+


+


- 

-
1
3
–
–
+
+

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
- Đề & đáp án thi Đại học - Trường THPT Thuận Thành số I

2 2 2
x m y m m
x m y m m
     
     

0.25
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(
2 ;2 2 )
m m m
  
; B(
2 ;2 2 )
m m m
  

Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình:
2 2
m m m m
    

0.25

0
2
m
m




x x
 

0.25
Khi đó








2
1 sin cos 1 2 1 sin sin cos
PT x x x x x
     



1 sin 1 cos sin sin .cos 0
x x x x x
     



  



 




,k m
Z

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
2
2
x k


  
và
2
x m
 
 



,k m
Z

5 2( 2)
x x
x x x

  



   



0.25

3 1
0
2
5 2.
x
x
x
x
x


  

 



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
- Đề & đáp án thi Đại học - Trường THPT Thuận Thành số I
4

III
Tính tích phân
3
0
3
3. 1 3
x
dx
x x

  

.
1.0
Đặt u =
2
1 1 2
x u x udu dx
     
; đổi cận:
0 1
3 2
x u
x u
  

1
2
6 6ln 1
1
u u u   

0.25 3
3 6ln
2
  

0.25
IV

1.0

Dựng
DH MN H
 

Do







Diện tích tam giác
AMN
là
0
1 3
. .sin 60
2 4
AMN
S AM AN xy
 

0.25
Thể tích tứ diện
.
D AMN
là
1 2
.
3 12
AMN
V S DH xy
 

0.25

Ta có:
AMN AMH AMH
S S S 
0 0 0
1 1 1

    

0.25
Đặt x + y + z = a. Khi đó
   
 
3 3
3 3
3
3
3 3
64 64
4 1 64
x y z a z z
P t t
a a
   
    
(với t =
z
a
,
0 1
t
 
)
0.25
Xét hàm số f(t) = (1 – t)
3
+ 64t


  
GTNN của P là
16
81
đạt được khi x = y = 4z > 0
0.25
D
A
B
C
H
M
N
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
- Đề & đáp án thi Đại học - Trường THPT Thuận Thành số I
5

VI.a

2.0
1

1.0
Do B là giao của AB và BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ:
21
2 1 0
21 13
5

(1; 2); (1; 7); ( ; )
AB BD AC
n n n a b
 
  
(với a
2
+ b
2
> 0) lần lượt là VTPT của các
đường thẳng AB, BD, AC. Khi đó ta có:




os , os ,
AB BD AC AB
c n n c n n
   

2 2 2 2
3
2 7 8 0
2
7
a b
a b a b a ab b
b
a
 

;
7 14 0 5
2 2
2
x
x y
I
x y
y



  


 
 
 
 
  
 






Do I là trung điểm của AC và BD nên toạ độ
 
14 12

 
 
   
 

0.25
Giả sử d cắt d
1
tại M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và cắt d
2
tại N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m)
MN


(3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t).
0.25
Do d  (P) có VTPT
(2; 1; 5)
P
n
 

nên
:
p
k MN kn
  
 
3 2 2
3 5 3

4
3 5
x t
y t
z t
 


 


 

thoả mãn bài toán
0.25
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
- Đề & đáp án thi Đại học - Trường THPT Thuận Thành số I
6

VII.a
Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)
n
, biết rằng n  N thỏa mãn phương trình

13
n
n




 


Vậy n = 7.
0.25
Khi đó z = (1 + i)
n
= (1 + i)
7
=
     
3
2
3
1 . 1 1 .(2 ) (1 ).( 8 ) 8 8
i i i i i i i
 
        
 

0.25

Vậy phần thực của số phức z là 8. 0.25

 
 
nên phương trình BG: 4x – 3y – 8 = 0

0.25

Bán kính R = d(C; BG) =
9
5


phương trình đường tròn: (x – 5)
2
+(y – 1)
2
=
81
25

0.25
2

1.0
Ta có phương trình tham số của d là:
3 2
2
1
x t
y t
z t

M
 

0.25
Lại có VTPT của(P) là
(1;1;1)
P
n

, VTCP của d là
(2;1; 1)
d
u


.
Vì

nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP
, (2; 3;1)
d P
u u n

 
  
 
  

Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên




    


0.25

Giải hệ ta tìm được hai điểm N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5)
0.25

Nếu N(5; -2; -5) ta có pt
5 2 5
:
2 3 1
x y z
  
  


Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt
3 4 5
:
2 3 1
x y z
  
  




1.0
Điều kiện:
0
0
y x
y
 





0.25
Hệ phương trình
 
4 4 4
2 2 2 2 2 2
1 1
log log 1 log 1
4
25 25 25
y x y x
y x
y y y
x y x y x y
 
  
      



0.25

 
 
15 5
; ;
10 10
15 5
; ;
10 10
x y
x y

 


 
 



 
  

 

 

(không thỏa mãn đk)
(không thỏa mãn đk)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.