Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
Đề số 1:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 3,0 điểm)
Cho hai đường thẳng
1
d
và
2
d
có phương trình:

1
d
: y = x + 2
2
d
: y = ax + b
a. Xác định a, b để đường thẳng
2
d
đi qua hai điểm M( 3;0) và N( 0;12).
Vẽ
1
d
và

=
− −
b. Tìm các số tự nhiên
m
sao cho:
3
3m +
chia hết cho
3m +
Câu 4: ( 6,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ một điểm
P
ở trong đường tròn kẻ hai dây
&AB CD
vuông góc với nhau. Chứng minh rằng:
a.
2 2
. .PA PB PC PD R PO= = −
b.
2 2 2 2
PA PB PC PD+ + +
không phụ thuộc vào vị trí điểm
P
.
Câu 5: ( 2,0 điểm)
Cho các số thực
,x y
thoả mãn:
2 2
( 1 )( 1 ) 1x x y y+ + + + =

3 0 4
12 12
a b a
b b
+ = = −
 
⇔
 
= =
 
Vậy: pt đường thẳng
2
d
là y = - 4x +12
* Vẽ đồ thị:
0,5
0,5
2
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
2
* Đường thẳng
1
d
cắt Oy tại điểm A( 0;2)
Đường thẳng
2
d
cắt Ox tại điểm C( 3;0)
Đường thẳng
1

0,5
Câu 2 1
3
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
(4,0 điểm)
Ta có:
*
3 3 3
1 1 1
2 3
2 2 2
3 1 3 3
3 4 2 3
1
1 1 1
2
2 4
+ + +
+
= = =
+ +
+
+
+ + +
*
3
1
2 3
2
3 3

91 16 15x x⇔ + + + =
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
4
4
91 10
3
16 5
x
x
x

+ =

⇔ = ±

+ =


0,5
0,5
1,0
Câu 3
(4,0 điểm)
1
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1
2 3
A

đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi
3x = ±
B
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
2 3−
khi
0x =
Do đó
2
1
2 3
A
x
=
− −
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
1
2
khi
3x = ±
2
1
2 3
A
x
=
− −
đạt giá trị lớn nhất bằng
1
2 3

3 6 3
3 12 9
3 24 21
3 8 5
m m
m m
m m
m m
m m
m m
+ = =
 
 
+ = =
 
 
+ = =
⇔
 
+ = =
 
 
+ = =
 
+ = =
 
Vậy với
0; 1; 3; 5; 9; 21m m m m m m= = = = = =
thì


=
( ) ( )
2 2 2 2
R OH PO OH− − −
=
2 2
R PO−
O
E
B
A
H
D
C
P
1,0
2,0
2
Gọi
E
là điểm đối xứng với
B
qua
O
Ta có
/ /AE CD
vì cùng vuông góc với
AB
AC DE⇒ =


1 1 1 1y y x x x x y y⇒ + + + + + = + − + + −
2 2 0x y
x y
⇔ + =
⇔ = −
2011 2011
2011 2011A x y= + + =
0,5
0,5
0,5
0,5
Hết
- Lưu ý chung toàn bài:
+ Điểm toàn bài là tổng điểm các bài thành phần, vẫn giữ lại 2 số hạng thập phân
không làm tròn số.
+ Nếu thí sinh giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn
cho điểm tối đa bài đó.
Đề số 2:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 3,5 điểm)
7
ĐỀ BÀI
(Đề gồm 01 trang)
Đề số 02
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)

là tham số )
1. Giải hệ phương trình khi
m
= 2 .
2. Tìm
m
để hai đường thẳng
x y m+ =
và
1mx y+ =
cắt nhau tại duy nhất
một điểm nằm trên Parabol:
2
2y x= −
.
Câu 3: (5,0 điểm)
Cho đường thẳng (d): (m - 2) x + (m – 1) y = 1 ( m là tham số )
a. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
b. Khi m
≠
2, m
≠
1 tìm các giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đển
đường thẳng (d) là lớn nhất.
Câu 4: ( 6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (I) đường kính BH
cắt AB tại D. Vẽ đường tròn (K) đường kính HC cắt AC tại E.
Chứng minh rằng:
1. AB.AD = AE.AC
2. DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

2
2
3 12
2 8
x x
y x x
x
− +
= + + −
(1)
Điều kiện:
0x ≠
(1)
( )
( )
2
2
2
2
3
2
x
y x
x
+
⇔ = + −

2
3
2

=
0,5
0,5
0,5
0,5
2
Ta có
3
2y x x
x
= + + −

Khi
x
là số nguyên thì
2x x+ −
là số nguyên do đó
y
là
số nguyên khi
3
x
là số nguyên
1
3
x
x
= ±

⇔

y m x
m x m
= −

⇔

− = −

Với
1m ≠
hệ có nghiệm duy nhất:
1
1
x
y m
= −


= +

Do đó với
1m ≠
thì hai đường thẳng trên cắt nhau tại một
điểm duy nhất I ( -1; m+1)
Để I thuộc (P):
2
2y x= −
thì: m + 1 = -2
⇔
m = -3

0
2 1 0
x y
x y
+ =

⇔

− − − =
0
0
1
1
x
y
= −

⇔

=

Vậy
( )
1;1M −
là điểm cố định của đường thẳng (d)
0,5
1,0

=
−

1
1
OB
m
=
−
0,5
0,5
O
O
A

AA
A

AAAaa
aAaAA
AAAÂA
H
HHHH
H
B
10AA
A AA

3
2
m =
2
1
OH
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
1
2
khi
3
2
m =
2
OH⇒
đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi
3
2
m =
OH⇒
đạt giá trị lớn nhất bằng
2
khi
3
2
m =
1,0

0,5
0,5

2
.AH AD AB=
Trong tam giác vuông ACH:
2
.AH AC AE=

⇒
AD.AB = AC.AE
0,75
0,75
0,5
2
Theo giả thiết,
* Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên:
⇒ ∆
JDH cân tại J
2 2
ˆ ˆ
D H⇒ =
* Tam giác IDH cân tại I
1 1
ˆ ˆ
D H⇒ =
Do đó:
0
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
90IDE D D H H= + = + =
ID DE⇒ ⊥ ⇒
DE là tiếp tuyến của (I)

0,5
0,5
Câu 5
( 2,0 điểm)
• ĐK:
6 3x− ≤ ≤
• Ta có : y luôn dương, do đó:
2
9 2 (3 )( 6) 9y x x= + − + ≥

2
9 3y y⇒ ≥ ⇒ ≥
Dấu bằng xảy ra khi : x = 3; x= - 6
• Xét
2
(3 )( 6) 3 18P x x x x= − + = − − +

2 2
81 3 9 81 3 81
( 2. . ) ( )
4 2 4 4 2 4
x x x= − + + = − + ≤

81
4
P⇒ ≤

⇒
2
(3 )( 6)x x− +


⇔

6
3
x
x
= −


=

0,25
0,75
0,75
0,25
Hết
13
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)
- Lu ý chung ton bi:
+ im ton bi l tng im cỏc bi thnh phn, vn gi li 2 s hng thp phõn
khụng lm trũn s.
+ Nu thớ sinh gii theo cỏch khỏc m lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc thỡ vn
cho im ti a bi ú.
s 3:
Sở Giáo Dục và Đào Tạo
Cao Bằng
Đề thi chọn học sinh Giỏi lớp 9
Cấp tỉnh năm học 2009 - 2010
Môn: Toán

Câu 4 (6 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD (
à
à
0
90A D= =
), tia phân giác của góc C đi qua trung
điểm I của AD.
1. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn tâm I, bán kính IA.
2. Cho AD =2a, tính tích số AB.CD theo a.
3. Gọi H là tiếp điểm của BC với đờng tròn tâm I, bán kính IA. K là giao điểm của
AC và BD. Chứng minh rằng KH song song với BC.
Câu 5 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
14
Đề dự bị
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)
P=
2 2
1 1
a b
a b
+

với
a
>1,
b
>1.
Hết




+







0,5
P=
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 1 1
1
1 1
x x x x x x
x
x
x x x x
+ + + +
+
+

2
1
9
2 5 2 0
2
x
x x
x
+
= + =
1,0



( ) ( )
4
2
2 2 1 0
1
1
4
2
x
x
x x
x
x

=


( )
2 3 5
2 1
ờu 3: ( )
3 3
5
2
3
x
x
N x y y
x x
y
x
+

= =

= +

0,5

y Z
thỡ
5
3
3
Z x
x


( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
2 2 2
3
3 0
x y z x y z
x y z x y z
+ + + +
+ + + +
0,5

( )
2 2 2
2 2 2 2 0x y z xy xz yz+ +
0,5
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0x xy y x xz z y yz z + + + + +
0,5
( ) ( ) ( )
2 2 2
0x y x z y z + +
0,5
3 4,00
1 Tìm các giá trị của m (2,00 điểm)

m OI =
m

0,5
16
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)

2
2 3
3 3
2
0 ( )
3
m
m m m m m
m loai
m
−
⇒ = ⇔ = − ⇔ = −
=

⇔

= −

=> m= -3
DiÖn tÝch tam gi¸c AOB lµ S =
1
.2 3. 3 3 3
2

ICD ICH=
( vì CI là phân giác góc C )
0,5
17
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
Suy ra ∆ICD=∆IHC => IH =ID (=IA=
2
AD
) => H
∈
(I; IA) 0,5
Vì IH vuông góc với BC tại H => BC là tiếp tuyến của
(I;IA) tại điểm H
0,5
2
Tính tích số AB.CD theo a (2,00 diểm)
Cho AD = 2a => IA = ID = a .Vì BA là tiếp tuyến của (I;IA)
tại A nên BA =BH ,ta lại có IA = IH =>∆ABI = ∆HBI =>
·
·
AIB HIB=
0,5
Ta có
·
·
0
180ABC BCD+ =
vì AB//CD mà
·
·

0,5
Mặt khác theo tính chất của tiếp tuyến ta có BH =BA,
CH =CD => AB.CD = HB.HC =a
2
0,5
3
Chứng minh KH song song với BC (2,00 diểm)
K AC BD= ∩
Ta có ∆ABK đồng dạng với ∆CDK (vì AB // CD)
=>
AB BK
CD DK
=

0,5
Theo tính chất tiếp tuyến có AB=BH ;CD=CH =>
BK BH
DK CH
=
1,0
Theo định lý Ta-let đảo ta có HK // với CD 0,5
5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2.00
Đặt
0,0
1
1
1
1
>>


 ÷
 
 
0,5
Dễ dàng chứng minh;
1 1
2, 2 8x y P
x y
+ ≥ + ≥ ⇒ ≥
0,5
Suy ra minP=8
2
2
1
2
2 1 0 1
1
1
2 1 0
2
x
x x x
x
y
y y
y
y

+ =


Cho biểu thức
3 2 1 1
:
1
( 2)( 1) 1 1
a a a a
P
a
a a a a

+ + +

= +

ữ

+ + 1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm
a
để
1 1
1
8
a
P
+


rằng a=0 và f(0)=2
Câu 4 (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, (M không trùng với Avà
B),trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho AM = CN . Gọi E là trung điểm của MN.
Tia DE cắt tia BC tại F, qua M vẽ đờng thẳng song song với AD cắt DF tại H . Chứng
minh rằng
1. Tứ giác MFNH là hình thoi.
19
Đề chính thức
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)
2. ND
2
= NB.NF
3. Chu vi tam giác BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB
Câu 5 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
2
+5y
2
+5z
2
- 4xy - 4yz- 4z+12
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:.
Sở giáo dục và đào tạo
Cao Bằng
Hớng dẫn chấm đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
cấp tỉnh năm học 2009 - 2010

a a a a

+ + +

=


+ +

0,5
( ) ( )
1 1
1 1
.
1 2 2
a a
a
a a a
+
+
= =

1,0
2 Tìm a để (2,00 điểm)
1 1 6 9
1 0
8
8( 1)
a a a
P

Nu x 2 thỡ (1)


2 4
2
2 2
x
y
x x
= = +

0,5
20
Đề chính thức
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)

y Z
thỡ
4
2
2
Z x
x


l c s ca 4,
Tc l
3
1
2 1


=


=

=

(vỡ x nguyờn dng)
Khi: x=3 thỡ y=6 ; x=1 thỡ y=-2 (loi);
x=4 thỡ y=4 ; x=6 thỡ y=3 (vỡ y nguyờn
dng)
0,5
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm (x;y) là
(3;6); (4;4); (6;3)
0,5
2 Chứng minh rằng (2,00 điểm)
A=
2
2 3 5 (1 2 3)
6 2
+ +
+
0,5
=
( )
2
2 3 3 1
6 2
+

(3)
0.5
Vỡ
2
1 0a +
vi mi a nờn phng trỡnh (3) cú
nghim duy nht
2
2
1
a
y
a
=
+
, thay vo (1) ta
c duy nht giỏ tr
x=1- ay.
Vy h phng trỡnh cú duy nht nghim
(x;y) vi mi a
0,5
21
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)
b
Theo cõu a ta cú vi mi a h pt luụn cú
nghim duy nht (x;y) =
2
2 2
1 2
;





+

+


+




+

(vỡ a
2
+1>0 )
0,5
( )
2
2
2 0
0
1
1 0
a
a
a

Theo đầu bài f(4) = 2 nên f(0) = 2 và hàm số
đã cho là hàm số f(x) = 2
0,5
4
6,00
1
Chứng minh tứ giác l hỡnh thoi (2im)
Xét hai tam giác vuông: MAD và NCD ta
có AM = CN;
ã
ã
0
90 ;MAD NCD AD CD= = =
suy
ra MAD = NCD
0,5
Suy ra DM = DN và
ã
ã
ADM CDN=
0,5
Mặt khác
ã
ã
ã
ã
0 0
90 90ADM MDC suy ra NDC MDC+ = + =
suy
ra MND vuông cân tại D, mà E là trung

0,5
Suy ra
ND NF
NB ND
=
0,5
Suy ra ND
2
= NB.NF
0,5
3 Chu vi tam giỏc (2 im)
Gi P l chu vi ca tam giỏc BMF ta cú :
P = BM+MF +BF =BM+BF+FN
0,5
= BM + BF +FC +CN =(BM+CN)+(BF+FC)
0,5
=(BM+AM) +(BF+ FC) (vỡ AM=CN)
0,5
=AB+BC =2AB khụng i
0,5
5 Tỡm giỏ tr nh nht 2,00
P=x
2
+5y
2
+5z
2
-4xy-4yz-4z+12
=(x
2

= =

1,0
Hết
- Lu ý chung toàn bài:
+ Điểm toàn bài là tổng điểm các bài thành phần, vẫn giữ lại 2 số hạng thập phân.
+ Nếu thí sinh giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn
cho điểm tối đa bài đó.
23
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
24