CHƯƠNG III. MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
Một trong những phương pháp giải toán cực trị hiệu quả là dùng các bất
đẳng thức quen thuộc. Nhưng cũng chính phương pháp này lại dễ gây ra
những sai lầm nếu không nắm vững bản chất của nó.
Bài toán 1. Biết rằng x + y + z = 1 và x, y, z dương
Tìm GTLN của
S =






xyz x y y z z x
  

Có bạn đã giải như sau:

   
   
   
2
2
2
z x y z x y
x y z x y z
y z x y z x
   
   
   
(1)


 
     
 
 
   






Như vậy không tồn tại (x,y,z) để tại đó
1
64
S  . Do đó không thể kết luận
1
64
ma x
S 

Lời giải đúng:
Với x,y,z
0

, ta có:
S =
       
3
3

1
, , 0
x y z
x y z
  





Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
1
3
, , 0
x y z
x y y z z x
x y z
x y z
x y z
 


    

   

  



của f(x,y,…) hay minf = m trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)

m với m là hằng số
- Tồn tại (x
0
, y
0
,…) thuộc D sao cho f(x
0
, y
0
,…) = m
Một số chú ý:
1) Nếu không chỉ ra được bộ giá trị (x
0
, y
0
,…) để f(x
0
, y
0
,…) = M thì
không khẳng định được maxf = M, mặc dù có f(x,y,…)

M với mọi
(x, y,…) thuộc D. Khi đó ta phải tìm một cách giải khác
2) Bội giá trị (x
0
, y

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
b) Bất đẳng thức Bunhiacopsky
(ax + by)
2

(a
2
+ b
2
) (x
2
+ y
2
)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

a
+
b



a b


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab

0
3) Trong các bài toán dạng cực trị có điều kiện nếu chỉ chú ý đến điều


 
 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
, , 0
x y z x y y x z x
x y z
       





Tức là x = y = z = 0. Khi đó vế phải của bất đẳng thức bằng 0. Suy ra


, , 0
f x y z


Vậy


, , 0
f x y z

khi x = y = z = 0 (!)
Nhận xét:
Cách giải trên mắc sai lầm ở chỗ là đã sử dụng mệnh đề sai sau đây "Nếu



2 2
; 2
f x x g x x
  . Tìm GTLN của f(x)
Xét lời giải:




f x g x
 với mọi
x R


Dấu bằng xảy ra khi f(0) = g(0) = 0, từ đó suy ra


0
f x

với mọi
x R


Nhận xét:
Điều này sai vì



x y
 


Do x > y và xy = 1 nên
A =
 
2
2 2
x y
xy
x y
x y x y x y

   
  2 2
2
2 2
x y x y
x y x y
 
    
 
(*)
Vậy A có GTNN khi
2
2

2 2
x y

   

Nhận xét: Bài giải trên là sai. Có thể biến đổi như sau:
A =
2 2
2 2 2
2
x y
x y
x y x y
 

    
 
 
 
 

Kết quả đúng là minA =
2 2
khi (x,y) là
2 6 2 6
;
2 2
 
  
 

2
1 0
x x
  

Suy ra minP = 0. Điều này không xảy ra vì không có giá trị nào của x làm
cho P(x) = 0
Xét lời giải 2:
P =
 
 
2
2
2 2 2 2
1 1 1
2 1 2 2 1 1 2
2 2 2
x x x x x x x x
 
          
 
 

Suy ra minP =
1
2

Dễ thấy đáp số này sai vì lúc đó x đồng thời bằng -1 và bằng
1
2

2
1
x x
 
) =
3
4
1
2
x
  

Vậy minP =
2
3 9 1
4 16 2
x
 
   
 
 Bài toán6. Tìm GTNN của biểu thức sau với
0, 0
x y
 

P =
2 3 2 1977

3 2
3 2 2 2
P x xy y x
P x y x
    
 
 
      
 
 
 
 
 

3
0
3991
2
min
2
3 0
x
P khi
x y

 

 

