Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ
DẠNG TỔNG
Giả sử chứng minh A
(n)
 k ta biến đổi A
(n)
về dạng tổng của nhiều hạng tử
và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k.
Ví dụ 1: CMR: n
3
+ 11n  6 với  n  z.
Giải: Ta có n
3
+ 11n = n
3
- n + 12n = n(n
2
- 1) + 12n
= n(n + 1) (n - 1) + 12n
Vì n, n - 1; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp
 n (n + 1) (n - 1)  6 và 12n  6
Vậy n
3
+ 11n  6

Ví dụ 2: Cho a, b  z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b)  11
CMR: (16a +17b) (17a +16b)  121
Giải: Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b)  11




2
- n + 30  6n








(2)n30
(1)3 1) -n(n
6n30
6n - n2





Từ (1)  n = 3k hoặc n = 3k + 1 (k  N)
Từ (2)  n  {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Vậy từ (1); (2)  n  {1; 3; 6; 10; 15; 30}
Thay các giá trị của n vào P ta có
n  {1; 3; 10; 30} là thoả mãn
Vậy n  {1; 3; 10; 15; 30} thì P = (n + 5)(n + 6)  6n.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: 1
3
+ 3
3

+ 3
3
+ 5
3
+ 7
3
= (1
3
+ 7
3
) + (3
3
+ 5
3
)
= 8m + 8N  2
3

Bài 2: 36
2
+ 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24
Ta thấy n và 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ  n(3n + 5) 
2  ĐPCM
Bài 3: a. 5
n+2
+ 26.5
n
+ 8
2n+1


+ 1)  n + 8  n
2
+ 1
Nếu n + 8 = 0  n = -8 (thoả mãn)
Nếu n + 8  0  n + 8 n
2
+ 1














807n
809n
81n8n
81-n8n
2
2
2
2
nn