Cầm Thanh Hải – Phòng KT&KĐCLGD Sở GD&ĐT Quảng Ninh
1

MỘT CÁCH TIẾP CẬN PHÉP BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CĂN I. Đặt vấn đề.
- Khi cần giải bài toán biến đổi biểu thức căn, ta có thể tìm cách:
Chuyển từ phép biến đổi biểu thức căn V(x,y,z,…) => biến đổi biểu thức hữu
tỷ H(x,y,z,…)
- Từ Bài toán biến đổi biểu thức hữu tỷ H(x,y,z,…) => Bài toán biến đổi biểu
thức căn V(x,y,z,…)
1. Cơ sở lý thuyết.
Định nghĩa :
- a=
x
<=> a
2
=x
- b=
3
y
<=> b
3
=y
2. Cách khai thác:
- Từ biểu thức hữu tỉ F(a
2
, a), bằng cách đặt a
2
= x => chuyển sang biểu thức

đẳng thức).
Đó là cơ sở để đề xuất, sáng tạo ra một số bài toán về biến đổi biểu thức căn.
3. Chú ý:
- Xuất phát điểm để sáng tạo bài toán mới là các bài toán biến đổi biểu thức
hữu tỉ (gọi là bài toán gốc);
- Phải chú ý đến tập xác định khi đề xuất bài toán mới;
- Có thể chuyển được mọi bài toán về biến đổi biểu thức hữu tỉ thành bài toán
về biến đổi biểu thức căn thức nhưng không có phương pháp vạn năng để
chuyển được mọi bài toán về biến đổi biểu thức căn thành bài toán về biến đổi
biểu thức hữu tỷ.
- Bài toán mới có thể được giải theo những cách khác nhau.
Cầm Thanh Hải – Phòng KT&KĐCLGD Sở GD&ĐT Quảng Ninh
2

II. Các thí dụ minh họa.

1. Thí dụ 1:
a) BT gốc: Nếu a, b/ a+b+c=0 thì A=
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
a b c b c a c a b
 
     
= 0 (1)
(c/m: gth=>b+c=-a => có (a
2
+b
2
-c
2


.
Có BT 1.1: Cho x, y,z thực thỏa mãn:
x
+
y
+
z
=3. Tính giá trị biểu thức
A=
1
1 2( )
x y z x y z
     
+
1
1 2( )
y z x y z x
     
+
1
1 2( )
z x y z x y
     2. Thí dụ 2:
a) BT gốc: Nếu a, b,c ≠0 /
1
a

c+bc
2
+c
2
a+ca
2
=0 => (a+b)(b+c)(c+a)=0
Hệ quả của (2): nếu có (2) thì
1
n
a
+
1
n
b
+
1
n
c
=
1
n n n
a b c
 
với mọi số tự nhiên lẻ n).
b) Các khai thác:
- KT 1: chọn a=
3
x
; b=

+
1
z
=
1
z y z
 
;
Hoặc: (x+y+z)(
1
x
+
1
y
+
1
z
) = 1 (chọn n=3); hoặc …. Nếu chọn n=7
3. Thí dụ 3:
a) BT gốc: Cho a, b, c≠0 / a+b+c=abc;
1
a
+
1
b
+
1
c
=2 . CMR:
2

2
=4 =>
2
1
a
+
2
1
b
+
2
1
c
=2 đpcm!)
b) Các khai thác:
- KT 1: chọn a=
x
; b=
y
; c=
z
. Có BT 3.1:
CMR nếu có:
x
+
y
+
z
=
xyz

2
-ab-bc-ca) (4)
Hệ quả: Nếu có a
3
+b
3
+c
3
-3abc=0 thì hoặc (a+b+c)=0 hoặc a=b=c
(c/m: gt=>có: a
3
+b
3
+c
3
-3abc=(a+b)
3
+c
3
-3a
2
b-3ab
2
-3abc=
…=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2

x
;
b=
3
y
; c=
3
z
,
có BT 4.1: CMR nếu:
3
x
+
3
y
+
3
z
=0 thì : x+y+z=3
3
xyz
(dễ)
- hoặc BT 4.2: Cho x,y,z≠0 / x+y+z=3
3
xyz
. Tính giá trị biểu thức:
M=(1+
3
x
y

+c
3
=0 => a
3
+b
3
+c
3
-3abc+3abc=0 =>(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-
ca)+3abc=0
=> 3abc=0).
Chọn a=(
x
-
y
); b=(
y
-
z
); c=(
z
-
x
) => a+b+c=0;

z
)(
3
z
-
3
x
).
(đ/số: Từ gth=>(a+b+c)=0 và a
3
+b
3
+c
3
=0 =>abc=0=>x=y hoặc y=z hoặc z=x
=> T=0)
- KT 3: Từ gth=> a
3
+b
3
+c
3
= (a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)+3abc = … =
= (a+b+c)[(a+b+c)

+
3
1
y
+
3
1
z
=
1
m

với m ≠0
Tính giá trị biểu thức: P = x+y+z.
(đặt: a=
3
x
; b=
3
y
; c=
3
z
. Gth => a+b+c=m và
1
a
+
1
b
+

3
]-[b
3
+c
3
] = (b+c)[(a+b+c)
2
+(a+b+c)a+a
2
– (b+c)(b
2
-bc+c
2
) =
… =
= 3(a+b)(b+c)(c+a)
b) Các khai thác:
- KT 1: chọn a=(
x
+
y
-
z
); b=(
y
+
z
-
x
); c=(

=3b-c
2
=3c-a
2
=1. CMR: a=b=c (6).
(c/m: gt=>a
2
+1=3c=>c>0; tương tự có b, c>0.
Giả sử a>b, kết hợp với gth=>b
2
-c
2
=3a-3b>0=>b>c=>c
2
-a
2
=3b-
3c>0=>c>a=>a>a, vô lí.
Tương tự, nếu a<b cũng vô lí.
Vậy a=b. lại kết hợp với gth => b=c. Vậy a=b=c. Khi đó tính được
a=b=c=2±
3
)
b) Các khai thác:
- KT 1: chọn a=
x
; b=
y
; c=
z

+b
2
+ab+1)=0=>a=b vì a
2
+b
2
+ab+1>0)
b) Các khai thác:
- KT 1: chọn a=2x; b=
5 2
y


thì (1) <=> … <=> x(4x
2
+1) + (y-3)
5 2
y

= 0 (1.1)
có BT 7.1: Cho x, y R / x(4x
2
+1) + (y-3)
5 2
y

= 0. Tính giá trị T = 2x
2
+y
(đ/số: T = 5/2)

3
7 1
x

(*)
có bài toán 7.3: Giải ph/trình: 8x
3
-5x-1=
3
7 1
x


Đ/số: x=1; x=
( 2 2) / 2
 8. Thí dụ 8:
a) BT gốc: Nếu a, b/ a
3
+a=b
2
; b
3
+b=a
2
(A) thì: a=b=0.
(c/m: trừ vế-vế => (a-b)(a
2

; b=
2
y

thì hệ (A) <=>
1 2
(3 ) 2 1
x x y
y y x

  


   


(*)
Có bài toán 8.1: Cho x,y thực thỏa mãn hệ (*).
+ Hỏi đơn giản: CM: x+y=3 (vì a=b)
+ Hỏi khó hơn: Tính T=(x-1)
20
+(y-2)
11
+2013 (T=2013 vì a=b=0=>x=1;y=2)
- KT2:
Có bài toán 8.2: Giải hệ PT sau:
1 2
(3 ) 2 1
x x y
y y x

6 5
x

,b=
3
4 3
x

,c=
3
2
x

=>a
3
+b
3
+c
3
=4x+7
Có BT 9.1: Giải ph/trình:
3
6 5
x

+
3
4 3
x


- Có các BT tương tự:
BT 9.2: Giải ph/trình:
3
3 1
x

+
3
5
x

+
3
2 9
x

-
3
4 3
x

=0
BT 9.3: Giải ph/trình:
3
7 1
x

-
3 2
8

6

10. Thí dụ 10:
a) BT gốc: Với a, b, c cùng ≥0 / a+b+c=1; a
2
+b
4
+c
6
=1 (10) thì a=b=0, c=1
hoặc b=c=0,a=1 hoặc c=a=0,b=1
(Giải: Từ g.th => a≥a
2
; b≥b
2
≥b
4
; c≥c
2
≥c
4
≥c
6
(*) => 1=a
2
+b
4
+c
6
≥a+b+c=1

+
24
1
x x
 
+
6
1
x

=1
Đs/ố: x=1

11. Thí dụ 11:
a) BT gốc: Nếu (a-m)(a-n)=0 <=> a
2
-(m+n)a+mn=0 (11) thì a=m hoặc a=n
b) Các khai thác:
- KT 1: Chọn a=
2
1
x x
 
, m=1,n=1-2x thì (11)<=>x
2
-x+2(x-1)
2
1
x x
 

=0
Ta có bài toán 11.2: Giải ph/tr: x
2
+1-(x+1)
2
2 3
x x
 
=0
(Giải: đặt a=
2
2 3
x x
 
, được ph/tr: a
2
-(x+1)a+2(x-1)=0 => a=2; a=x-1;
đ/số: x=1
2

).

12. Thí dụ 12:
a) BT gốc: Giải hệ: x
2
-y=5=y
2
-x (A);
2 3
3

-
5
x

=5 ; có thể thay số 5 bởi số 7 hoặc số khác
(Giải: đặt ẩn phụ, đưa về hệ; đ/s: x=(1+
21
)/2; x=(1-
21
)/2
- KT2: chọn x=
u
; y=v, hệ (A) trở thành: u-v=7=v
2
-
u

Có BT 12.2: Giải ph/tr: x-
7
x

=7 ; có thể thay số 7 bởi số 3 hoặc số khác
(Giải: đặt ẩn phụ, đưa về hệ; đ/s: x=(7-
13
)/2)
- KT3: Chọn v=
3
2
x



(Giải: ẩn phụ, đưa về hệ, đ/s: x=1; x=
1 5
2
 
)

13. Thí dụ 13:
a) BT gốc: (x-m)
2
+(y-n)
2
+(z-t)
2
=0 (*) <=> x=m;y=n;z=t.
b) Các khai thác:
-KT1: chọn x=
3
a

,y=
12
b

,z=
2012
c 
; m=1,n=2,t=3
(*) trở thành: (
3

3
a

+2
12
b

+3
12
b

+k=(a+b+c)/2
(Đ/s: có duy nhất bộ 3 số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: a=4; b=16; c=2021)
Chú ý: có thể chuyển thành bài toán giải phương trình.

- KT2: (x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2
=0 (*) <=> x=y=z.
Chọn x,y,z / x
2
+y
2
+z
2
=xy+yz+zx =k; sẽ có (*)
- Có BT 13.2: Tìm x,y,z R

+ c
2
= ab + bc + ca; a+b+c=3; a, b, c > 0
=> (a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
=0; a+b+c=3 => a=b=c=1 => x=1; y=1/4; x=1/9)
Có thể hỏi khác: Tính giá trị biểu thức A = (x-1)
m
+(4y-1)
n
+(9z-1)
p
. (đ/s: A=0)
Chú ý: khai thác liên hệ giữa 3 biểu thức đối xứng: a+b+c; ab+bc+ca;
a
2
+b
2
+c
2
=> được các bài toán khác.

- KT3: Chọn để (*) trở thành: (
2
1 2)
x  

3 4)
z  
]/
3
z

=0
<=>
4
1
x

+
9
2
y

+
16
3
z

=18-
1
x

-
2
y


z


Chú ý: chọn bộ 3 số khác thay cho bộ 4; 9; 16 để bài toán “ẩn” hơn.
Cầm Thanh Hải – Phòng KT&KĐCLGD Sở GD&ĐT Quảng Ninh
8

14. Thí dụ 14:
a) BT gốc: Từ hệ: x+y=a; x-y=b => tìm được x=(a+b)/2;y=(a-b)/2
b) Các khai thác:
- Thay hệ: x+y=a; x-y=b bởi hệ x+y=a; x
2
-y
2
=c; chẳng hạn chọn
X=
2 2
25
x y
 
; Y=
2 2
13
x y
 
; X+Y=2=>X
2
-Y
2
=12

25
x

-
2
15
x

= 2
(đ/s: x=
51
/2; x=-
51
/2)
Hạ Long, tháng 12 năm 2012