CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A. Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng

2
ax bx c 0
  

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và
a 0


II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Phương trình bậc hai
2
ax bx c 0(a 0)
   2
b 4ac
  
*) Nếu
0
 
phương trình có hai nghiệm phân biệt :

1 2
b b
x ; x


*) Nếu
' 0
 
phương trình có hai nghiệm phân biệt :

1 2
b ' ' b ' '
x ; x
a a
     
 
*) Nếu
' 0
 
phương trình có nghiệm kép :
1 2
b '
x x
a

 

*) Nếu
' 0
 
phương trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - et và ứng dụng :
1. Nếu x
1

  

(Điều kiện để có u và v là
2
S 4P 0
 
)
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình
2
ax bx c 0(a 0)
   
có hai nghiệm :

1 2
c
x 1; x
a
 

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình
2
ax bx c 0(a 0)
   
có hai nghiệm :

1 2
c
x 1; x
a
   

Phương pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân
tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải.
2. Phương trình bậc hai đầy đủ :
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải.
- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với một số phương trình đặc biệt.
3. Phương trình đưa được về phương trình bậc hai :
a/ Phương trình trùng phương :
4 2
ax bx c 0(a 0)
   Phương pháp giải : Đặt t = x
2
(
t 0

) đưa về dạng :
2
at bt c 0
  

b/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu :
Phương pháp giải :
- Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
- Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
- Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện
xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.


4 2
d / x 3x 4 0
  

3 2
e / x 3x 2x 6 0
   

x 2 6
f / 3
x 5 2 x

 
 

Giải
2 2 2
a / 2x 8 0 2x 8 x 4 x 2
        

Vậy phương trình có nghiệm
x 2
 

2
x 0
x 0
b / 3x 5x 0 x(3x 5)
5

         

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt :

1 2
3 7 3 7 5
x 1; x
2.( 2) 2.( 2) 2
   
   
 

*) Cách 2 : Nhẩm nghiệm :

Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phương trình có nghiệm :
1 2
5 5
x 1; x
2 2
    


4 2
d / x 3x 4 0
  

Đặt
2
t x (t 0)
 

x 3 0 x 3
x 2 0 x 2
x 2
                 
 
   

 
  

 
  
 
 


Vậy phương trình có nghiệm
x 3;x 2
   
x 2 6
f / 3
x 5 2 x

 
 
(ĐKXĐ :
x 2; x 5
 
)
Phương trình :

 
  

(thỏa mãn ĐKXĐ)

2
15 17
x 4
2.( 4)
 
 

(thỏa mãn ĐKXĐ)

Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m :
2
x mx m 3 0
   
(1)
a/ Giải phương trình với m = - 2.
b/ Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình. Tính
2 2 3 3
1 2 1 2
x x ; x x
 
theo m.

x 2x 1 0
(x 1) 0
x 1 0
x 1
  
  
  
 

Vậy với m = - 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phương trình :
2
x mx m 3 0
   
(1)

2 2
m 4(m 3) m 4m 12
      

Phương trình có nghiệm
1 2
x ; x 0
  

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
1 2
1 2
x x m (a)
x x m 3 (b)

2 2 2 2
1 2
x x 9 m 2m 6 9 m 2m 15 0
         2
(m) (m)
' ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; 4
          

=> phương trình có hai nghiệm :
1 2
1 4 1 4
m 5;m 3
1 1
 
    

Thử lại : +) Với
m 5 7 0
     
=> loại.
+) Với
m 3 9 0
     
=> thỏa mãn.
Vậy với m = - 3 thì phương trình có hai nghiệm x
1
; x

1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 2 1 2
x x m 3x 3x 3m x 3m 5 x 3m 5
2x 3x 5 2x 3x 5 x m x x 2m 5
           
   
  
   
        
   

Thay
1
2
x 3m 5
x 2m 5
  


 

vào (b) ta có phương trình :

2
2
2
2
(m)
( 3m 5)(2m 5) m 3
6m 15m 10m 25 m 3

7 25
m 0
3 9

    
=> thỏa mãn.
Vậy với
7
m 2; m
3
   
phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Phương trình (1) có nghiệm
2
1
x 3 ( 3) m.( 3) m 3 0 2m 12 0 m 6
              

Khi đó :
1 2 2 1 2 2
x x m x m x x 6 ( 3) x 3
              

E. Các bài đã gặp trong các đề thi học kì lớp 9, tuyển sinh vào lớp 10 trong những
năm gần đây
1. Các bài tập trong tài liệu ôn thi vào lớp 10.
Bài 1. Giải các phương trình :
2
4 2
2
2
2
2
a / x 2 5x 4 0
b / x 29x 100 0
c / x 3x x 1 2 0
d / 11x 2 8x 9 18x 6 0
1 4
e / 4x 7 8x
x x
  
  
    
    
   

Bài 2. Cho phương trình x
2
+ px - 5 = 0 có nghiệm x
1
; x
2
.

(x k 3) x 2(k 3)x 3k 9 0 (1)
 
      
 

a/ Giải phương trình (1) khi k = 3.
b/ Tìm các giá trị của k để phương trình (1) có hai nghiệm dương và một nghiệm âm.
Bài 5. Giải phương trình :
2 2
2 2 2
a / x 2x 1 x 2x 1 2
b / 6x 15x 2x 5x 1 1
c / 8x 8x 3 12x 12x 7 2( 2x 2x 1)
     
    
        

Bài 6. Cho phương trình ẩn x, tham số t :
2 2
x 2(t 1)x t 3 0 (1)
    
a/ Tìm t để phương trình (1) có nghiệm.
b/ Tìm t để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích hai
nghiệm.
Bài 7. Cho phương trình ẩn x, tham số m :
2
mx 5x (m 5) 0 (1)
   
a/ Giải phương trình (1) khi m = 5.
b/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

2( 3) 2 7 0
x m x m
    
(1)
a/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là
1 2
;
x x
. Hãy tìm m để
1 2
1 1
1 1
m
x x
 
 

Bài 2. (Bắc Ninh 1998 - 1999)
1. Cho
1 1
;
2 3 2 3
a b 
 

a/ Hãy tính :
ab
và
a b

P
ab b a ab a b b a
 

 
 
 
  
 
(với 0, 0,
a b a b
  
)

a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tính số trị của biểu thức P khi biết a và b là hai nghiệm của phương trình
2
8 4 0
x x
  
.
2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
2
2 0 (1)
x x m  
a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b/ Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) không thể có hai nghiệm cùng là
số âm.
c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1

c/ Tìm m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình
2
5 0
x x
  
.
Bài 6. (Bắc Ninh 2001 - 2002)
Cho phương trình :
2
2( 1) 2 5 0
x m x m
     a/ Giải phương trình khi
5
2
m


b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 7. (Bắc Ninh 2001 - 2002)
Cho phương trình bậc hai :
2 2
2( 1) 3 2 0
x m x m m
     
(1)
a/ Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn

  
có hai nghiệm là
1 2
,
x x
thì
1 2
b
x x
a
  
và
1 2
.
c
x x
a

.
b/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng - 5.
c/ Tìm số nguyên a để phương trình
2 2
7 0
x ax a
   
có nghiệm.

Bài 10. (Bắc Ninh 2004 - 2005)
Cho phương trình: x
2

1) Giải phương trình (1) khi m = -1.
2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của m.
3) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài 13. (Bắc Ninh 2007 - 2008)
Cho phương trình bậc hai
2 2
2(2 1) 3 4 0
x m x m
    
(x là ẩn) (1)
a/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Hãy tìm m để
1 2
2 2
x x
  

Bài 14. (Bắc Ninh 2008 - 2009)
Cho phương trình x
2
- 2x - 1 = 0 có hai nghiệm là x
1
, x
2

nào ?
- Tài liệu ôn thi đã cung cấp được một số đơn vị kiến thức cần nhớ, một số bài tập.
- Tuy nhiên có nhiều bài tập ở mức độ khó, dạng bài tập cơ bản chưa phong phú để học
sinh luyện tập.
G. Đề xuất
Năm tới, Sở soạn thảo một bộ tài liệu ôn tập riêng của Tỉnh, phù hợp với học sinh hơn.