Chủ đề phơng trình bậc hai một ẩn
A. Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
2
ax bx c 0+ + =
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và
a 0

II. Công thức nghiệm của ph ơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
2
b 4ac =
*) Nếu
0
>
phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1 2
b b
x ; x
2a 2a
+
= =
*) Nếu
0
=
phơng trình có nghiệm kép :
1 2
b

x x
a

= =
*) Nếu
' 0 <
phơng trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - et và ứng dụng :
1. Nếu x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
thì :
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ =





- Quy tắc nhân, chia đa thức.
- Hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
- Phơng pháp quy đồng mẫu thức của hai hay nhiều phân thức. Các phép tính cộng, trừ,
nhân, chia các phân thức đại số.
- Quy tắc biến đổi phơng trình, bất phơng trình.
- Khái niệm căn bậc hai và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.
- Phơng pháp giải hệ phơng trình.
B. Phơng pháp học và làm
- Nắm đợc các đơn vị kiến thức cần nhớ.
- Khi làm bài tập cần đọc kĩ đề bài, xác định đúng dạng bài. Từ đó có phơng pháp phù
hợp để giải.
C. Các dạng bài hay gặp trong bộ môn Toán
I. Ph ơng trình bậc hai không có tham số (Bài tập về giải phơng trình)
1. Phơng trình bậc hai dạng khuyết :
a/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất :
Phơng pháp giải :
- Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.
- Chia cả hai vế cho hệ số bậc hai đa về dạng : x
2
= a
+) a > 0 phơng trình có nghiệm
x a=
+) a = 0 phơng trình có nghiệm x = 0
+) a < 0 phơng trình vô nghiệm
b/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử tự do :
Phơng pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử
chung, đa về phơng trình tích rồi giải.
2. Phơng trình bậc hai đầy đủ :
Phơng pháp giải :

cùng âm)
c/ Tìm tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm :
- Hệ thức đối xứng.
- Hệ thức không đối xứng.
d/ Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số.
e/ Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phơng trình không phụ vào tham số.
f/ Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phơng trình.
D. Một số ví dụ
Bài 1. Giải các phơng trình sau :
2
a / 2x 8 0 =
2
b / 3x 5x 0 =
2
c / 2x 3x 5 0 + + =
4 2
d / x 3x 4 0+ =
3 2
e / x 3x 2x 6 0+ =
x 2 6
f / 3
x 5 2 x
+
+ =

Giải
2 2 2
a / 2x 8 0 2x 8 x 4 x 2 = = = =

Vậy phơng trình có nghiệm

3 4.( 2).5 9 40 49 0; 9 = = + = > =
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1 2
3 7 3 7 5
x 1; x
2.( 2) 2.( 2) 2
+
= = =

*) Cách 2 : Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phơng trình có nghiệm :
1 2
5 5
x 1; x
2 2
= = =

4 2
d / x 3x 4 0+ =
Đặt
2
t x (t 0)=
. Ta có phơng trình :
2
t 3t 4 0+ =
a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
=> phơng trình có nghiệm :
1
t 1 0= >
(thỏa mãn);

x 3;x 2= =
x 2 6
f / 3
x 5 2 x
+
+ =

(ĐKXĐ :
x 2; x 5
)
Phơng trình :
x 2 6
3
x 5 2 x
+
+ =


2 2
2
2
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
(x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x)
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
4 x 6x 3x 30 15x 6x 30
4x 15x 4 0
15 4.( 4).4 225 64 289 0; 17
+
+ =


là các nghiệm của phơng trình. Tính
2 2 3 3
1 2 1 2
x x ; x x+ +
theo m.
c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
2 2
1 2
x x 9+ =
.
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
= - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá trị của
m.
Giải

= +

*)
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 2x x ( m) 2(m 3) m 2m 6+ = + = + =
*)
3 3 3 3 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 3x x (x x ) ( m) 3(m 3)( m) m 3m 9m+ = + + = + = + +
c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm
1 2
x ; x 0
Khi đó
2 2 2
1 2
x x m 2m 6+ =
Do đó
2 2 2 2
1 2
x x 9 m 2m 6 9 m 2m 15 0+ = = =
2
(m) (m)
' ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; 4 = = + = > =
=> phơng trình có hai nghiệm :
1 2
1 4 1 4
m 5;m 3
1 1
+


Hệ thức : 2x
1
+ 3x
2
= 5 (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phơng trình :
1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 2 1 2
x x m 3x 3x 3m x 3m 5 x 3m 5
2x 3x 5 2x 3x 5 x m x x 2m 5
+ = + = = =



+ = + = = = +

Thay
1
2
x 3m 5
x 2m 5
=


= +

vào (b) ta có phơng trình :
2
2

+) Với
7 25
m 0
3 9

= = >
=> thỏa mãn.

Vậy với
7
m 2;m
3
= =
phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Phơng trình (1) có nghiệm
2
1
x 3 ( 3) m.( 3) m 3 0 2m 12 0 m 6= + + + = + = =
Khi đó :
1 2 2 1 2 2
x x m x m x x 6 ( 3) x 3+ = = = =
Vậy với m = 6 thì phơng trình có nghiệm x

2
2
2
2
a / x 2 5x 4 0
b / x 29x 100 0
c / x 3x x 1 2 0
d /11x 2 8x 9 18x 6 0
1 4
e / 4x 7 8x
x x
+ =
+ =
+ =
+ + =
+ + = +
Bài 2. Cho phơng trình x
2
+ px - 5 = 0 có nghiệm x
1
; x
2
.
Hãy lập phơng trình có hai nghiệm là hai số đợc cho trong mỗi trờng hợp sau :
1
a / x
và
2
x
2

+ + + + =
+ + + = + +
Bài 6. Cho phơng trình ẩn x, tham số t :
2 2
x 2(t 1)x t 3 0 (1) + =

a/ Tìm t để phơng trình (1) có nghiệm.
b/ Tìm t để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích hai nghiệm.
Bài 7. Cho phơng trình ẩn x, tham số m :
2
mx 5x (m 5) 0 (1) + =
a/ Giải phơng trình (1) khi m = 5.
b/ Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c/ Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
. Hãy tính theo m giá trị
của biểu thức
2 2
1 2 1 2
A 16x x 3(x x ).= +
Tìm m để A = 0.
Bài 8. Cho phơng trình ẩn x, tham số m :
2 2 3
(m 3)x 2(m 3m)x m 12 0 (1)+ + + + =
a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b/ Gọi x
1
; x

+
a/ Hãy tính :
ab
và
a b+
.
b/ Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là
1 2
;
1 1
a b
x x
b a
= =
+ +
.
2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
2
3 3 4 0x mx m + =
(1)
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt ?
b/ Hãy tìm m để phơng trình (1) có một nghiệm
1
4 2 3x = +
. Khi đó hãy tìm
nghiệm
2
x
của phơng trình đó

, x
2
thỏa mãn x
1
- 2x
2
= 5.
Bài 4. (Bắc Ninh 1999 - 2000)
Cho hai phơng trình bậc hai ẩn x (a là tham số) :
2
2
3 2 0 (1)
1 0 (2)
x x a
x ax
=
+ + =
a/ Giải các phơng trình (1) và (2) trong trờng hợp a = -1.
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai phơng trình trên luôn có ít nhất
một trong hai phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Bài 5. (Bắc Ninh 2000 - 2001)
Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) :
2 2 2
( ) ( ) 0x m n x m n+ + + =
(1)
a/ Giải phơng trình (1) khi m = n = 1.
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phơng trình (1) luôn có nghiệm.
c/ Tìm m, n để phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình
2
5 0x x =

và
2
2 10 0 (2)x x m+ =
a/ Giải hai phơng trình trên với m = - 3.
b/ Tìm các giá trị của m để hai phơng trình trên có nghiệm chung.
c/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phơng trình trên có
nghiệm.
Bài 9. (Bắc Ninh 2003 - 2004)
a/ Chứng minh rằng : Nếu phơng trình bậc hai
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm là
1 2
,x x
thì
1 2
b
x x
a
+ =
và
1 2
.
c
x x
a
=
.
b/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng - 5.
c/ Tìm số nguyên a để phơng trình

1
).
Bài 12. (Bắc Ninh 2006 - 2007)
Cho phơng trình (ẩn x) : 2x
2
+ mx + m - 3 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1) khi m = -1.
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m.
3) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng.
Bài 13. (Bắc Ninh 2007 - 2008)
Cho phơng trình bậc hai
2 2
2(2 1) 3 4 0x m x m + =
(x là ẩn) (1)
a/ Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1). Hãy tìm m để
1 2
2 2x x+ =
Bài 14. (Bắc Ninh 2008 - 2009)
Cho phơng trình x
2
- 2x - 1 = 0 có hai nghiệm là x
1
, x

G. Đề xuất
Năm tới, Sở soạn thảo một bộ tài liệu ôn tập riêng của Tỉnh, phù hợp với học sinh hơn.