Phòng giáo dục và đào tạo bỉm sơn
Trờng thcs ba đình
Hớng dẫn học sinh lớp 9 làm một số dạng toán
về phơng trình bậc hai một ẩn
Tác giả : Trần Thị Hà
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị : Trờng THCS Ba Đình - Bỉm Sơn
Môn: Toán
Năm học: 2011 2012
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011 - 2012
ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 LÀM MỘT SỐ
DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A – ĐẶT VẤN ĐỀ
I – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình bậc hai một ẩn số là một phần kiến thức quan trọng
trong chương trình đại số lớp 9, nó tiếp tục được củng cố ở các lớp bậc
Phổ thông trung học. Trong sách giáo khoa đại số lớp 9, mảng kiến
thức về phương trình bậc hai một ẩn bao gồm: Định nghĩa phương trình
bậc hai một ẩn ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0);
Công thức nghiệm; Định lý Vi ét thuận và đảo; Tính chất và đặc điểm
nghiệm (nếu có); các phương trình qui về bậc hai; Giải bài toán bằng
cách lập phương trình bậc hai.
Vị trí của phương trình bậc hai quan trọng như vậy, đặc biệt là định
lý Vi ét có nhiều ứng dụng rộng rãi, trong các kỳ thi tốt nghiệp Trung

học.
2/.Khảo sát thực tế:
3
Qua đợt kiểm tra khi HS chưa học đề tài về một số bài toán về
phương trình bậc hai một ẩn ở hai lớp 9A; 9D trường trung học cơ
sở Ba Đình thu được kết quả như sau:
Lớp Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu
9A 6,8% 11,2% 42,5% 39,5%
9D 5,7% 9,3% 38,6% 46,4%

Từ thực tế trên, để giúp các em có kết quả học tập tốt hơn, năm học
này tôi đã thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm một số
dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn” .
B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I . CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
1. Đối tượng thực hiện:
+ Đối tượng giúp tôi nghiên cứu và áp dụng đề tài này là lớp
9A; 9D trường trung học cơ sở Ba Đình- Bỉm Sơn – Thanh Hoá.
+ Thời gian thực hiện : Trong năm học 2011- 2012 .
2. Phương pháp thực hiện:
- Đề tài được thực hiện thông qua chương trình dạy học trên lớp và
lồng ghép vào các buổi học tự chọn, các buổi học bồi dưỡng.
- Các vấn đề nâng cao và phát triển trong đề tài được lựa chọn, diễn
đạt một cách đơn giản, dễ hiểu để học sinh lớp 9 có thể tiếp thu
được.
4
- Tham khảo các tài liệu liên quan đến chương trình đại số 9 và đặc
biệt là tham khảo ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp trong tổ toán
của trường.
II – TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

x
2
=
a
c
−
+ Nếu a và c cùng dấu hay
a
c
> 0 : Phương trình vô nghiệm
+ Nếu a và c trái dấu hay
a
c
< 0 : Phương trình có 2 nghiệm
x
1
= -
a
c−
; x
2 =

a
c−
5
c) Phương trình bậc hai khuyết c ( c = 0): ax
2
+ bx = 0
⇔
x(ax +

2
−
∆
> 0 : (1) Có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
2
∆+−
; x
2
=
a
b
2
∆−−
∆
′
= b
’ 2
– ac
∆
′
< 0 : (1) Vô nghiệm
∆
′
= 0 : (1) Có nghiệm kép x
1

; x
2
thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:
S = x
1
+ x
2
=
a
b−
; P = x
1
. x
2
=
a
c
b) Định lý đảo:
Nếu có hai số x
1
; x
2
mà x
1
+ x
2
= S ; x
1
. x
2

; x
2
=
a
b
2
∆−−

2. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.

2.1 Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.
6




>∆
≠
0
0a
* Bài toán:
Cho phương trình mx
2
- 2(m - 1)x + m + 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -2
b) Tìm điều kiện m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Định hướng giải:
Học sinh thường mắc sai lầm cho rằng phương trình (1) có
nghiệm phân biệt chỉ cần

−
b) Điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là:




>∆
′
≠
0
0a

⇒




>+
≠
0 1)m(m - 1) (m
0
2
m

⇒






0
0a
* Bài toán:
Cho phương trình (a + 1)x
2
- a
3
x + a
2
(a - 1) = 0
Tìm a để phương trình có nghiệm kép
Định hướng:
GV: Để phương trình đã cho có nghiệp kép thì phải có điều
gì ?
HS:



=+=∆
≠+
01)-(a1).a4(a-a
01
26
a
Đáp số a = 0 hoặc a = -
2
hoặc a =
2
7
* Bài toán vận dụng:

≠
0 ; Phương trình (1) là phương trình bậc hai, Vô nghiệm
nếu
∆
′
< 0

⇔
m(m - 1)(m
2
+ m + 1) < 0

⇔
m(m - 1) < 0 (do m
2
+ m + 1 > 0)
⇔
0 < m
< 1
Vậy phương trình vô nghiệm khi 0
≤
m < 1
Bài tập áp dụng:
Tìm giá trị của m để phương trình sau vô nghiệm:
a) 5x
2
+ 10x + m = 0
b) 3x
2
+ mx + 1 = 0

Định hướng giải:
a) Với a = 1 ; b =
2
ta có 4x
2
- 2(1 +
2
)x +
2
= 0
∆
′
= (
2
- 1)
2
8
Phương trình có 2 nghiệm x
1
=
2
1
; x
2
=
2
2

b) Ta có
∆



≥∆
′
≠
0
0a

⇒
0
≠
m <
4
x = 3 là nghiệm của phương trình (1)
⇒
m = -
4
9
(Thoả mãn)
Chú ý: Để tìm nghiệm thứ hai ta có 3 cách làm:
Cách 1: Thay m = -
4
9
vào phương trình đã cho và giải
phương trình ta được x
2
=
9
7
Cách 2: Thay m = -

9
21

⇒
x
2
=
9
21
: 3 =
9
7
Bài toán áp dụng:
Một trong các nghiệm của phương trình 5x
2
+ mx + 1 = 0 là x =
1.
Tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại.
Đáp số: * m = - 6
9
* Nghiệm còn lại:
5
1
2.6 Quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai.
Bài toán 1:
Tìm a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ ax + 8 = 0 (1)
x

≠
1 thì x
0
=
1
8
−
−
a
a
;
ta có a
3
- 24a + 72 = 0
⇔
(a + 6)(a
2
- 6a + 12 = 0
⇔
a
= - 6
Với a = - 6 thì (1) là x
2
- 6x + 8 = 0 có nghiệm x
1
= 2 ; x
2
=
4
(2) là x

=+−
=+−
04
02268
2
2
maa
maa

⇒
6a
2
- 18a = 0 hay 6a(a - 3) = 0
- Với a = 0 thì m = 0
(1) là 2x
2
- 13x = 0 có nghiệm x
1
= 0 ; x
2
=
2
13
(2) là x
2
- 4x = 0 có nghiệm x
1
= 0 ; x
2
= 4

0
là nghiệm chung của hai phương trình, thế thì:






=+++
=+−+
022
06)2(22
0
2
0
0
2
0
mmxx
xmx

⇒
(m - 4)x
0
= m - 4
Nếu m
≠
4 thì x
0
= 1. Thay vào (1) ta có 1

≥
k với
x
∀

∈
(a ; b)
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A trong khoảng (a ; b):
- Chứng tỏ rằng A
≤
k với
x
∀

∈
(a ; b)
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Bài toán 1: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = 3x
2
- 6x + 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
B = - 2x
2
- 4x + 1
Hướng dẫn giải:
a) A = 3(x - 1)
2
- 2

x
= m
⇔
mx
2
- 2x + (2m - 1) = 0 (2)
Nếu m = 0 , (1)
⇒
x =
2
1
−
Nếu m
≠
0, với những giá trị khác nhau của x, A có thể có những
giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, vì thế khi gọi m là giá trị của A thì
phải có x để
2
12
2
−
+
x
x
= m tức là mx
2
- 2x + (2m - 1) = 0 có
nghiệm

⇒

+ 4x + 4 = 0
⇔
x = - 2
m = 1 thì (2)
⇒
x
2
- 2x + 1 = 0
⇔
x = 1
Vậy min A = -
2
1

⇔
x = - 2
max A = 1
⇔
x = 1
Cách 2:
A = 1 -
2
)1(
2
2
+
−
x
x
≤

– x + 1 ; c)
2
2
2 3
2
x x
x
+ +
+
* Kết quả khảo sát (Qua một bài kiểm tra 30 phút) sau khi học phần
trên ở lớp 9A (43 HS) như sau:
+ Số học sinh làm tốt: 30 em
+ Số HS làm được xong còn trình bày chưa gãy gọn: 13 em
+ Số HS không làm được: 0
* Với những HS làm tốt Tôi đã cho các em làm thêm những bài
toán nâng cao của dạng đó, với những em còn trình bày chưa tốt
Tôi đã nhắc nhở, phân tích lỗi sai để các em rút kinh nghiệm làm
tốt hơn.
12
3. HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.
3.1 Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
- Nếu ta tính nhẩm được hai giá trị x
1
, x

≠
0) có:
a + b + c = 0 thì x
1
= 1 ; x
2
=
a
c

a - b + c = 0 thì x
1
= - 1 ; x
2
= -
a
c

* Bài toán: Tính nhẩm nghiệm
a) 3x
2
+(3-2m)x - 2m = 0 ; b) mx
2
+(1-m)x - 1 = 0
Đáp số: a) x
1
= - 1 , x
2
=
3

5
3.2 Xét dấu các nghiệm của phương trình:
Cho phương trình ax
2
+bx + c = 0 (a
≠
0) ; gọi S = -
a
b
; P =
a
c
Điều kiện để phương trình:
a) Có 2 nghiệm trái dấu: P < 0
b) Có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu:
∆
> 0 ; P > 0
c) Có 2 nghiệm dương phân biệt:
∆
> 0 ; P > 0 ; S > 0
d) Có 2 nghiệm âm phân biệt:
∆
> 0 ; P > 0 ; S < 0
e) Phương trình có nghiêm kép âm (dương):
∆
= 0 ; S < 0 ;
(S > 0)
* Bài toán:
Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của các phương trình
sau:

= 0 ; S =
9
12
> 0
⇒
Phương trình có nghiệm kép dương.
* Bài toán áp dụng: Cho PT: x
2
– 2(m – 1)x + m + 1 = 0
Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu
b)Có hai nghiệm dương phân biệt; c) Có đúng một nghiệm dương.
3.3 Xác định hệ số của phương trình theo điều kiện về dấu các
nghiệm:
Bài toán:
Cho phương trình x
2
- 3x + k - 1 = 0, Xác định k để phương trình:
a) Có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
b) Có 2 nghiệm trái dấu
Hướng dẫn giải:
a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu thì:



>−=
>−=∆
01
010
kP
k

Bài toán: Cho phương trình
a) x
2
+ 3x - 8 = 0
b) 5x
2
+ 4x + 1 = 0
Tính tổng các nghịch đảo các nghiệm, tổng các bình phương các
nghiệm.
14
Hướng dẫn giải:
a) x
2
+ 3x - 8 = 0 ; ac = - 8 < 0
⇒
∆
> 0

1
1
x
+
2
1
x
=
21
21
xx
xx

- 5 = 4 - 5 = - 1 < 0
⇒
Phương
trình vô nghiệm.
Chú ý: Không thể nói phương 5x
2
+ 4x + 1 = 0 có tổng các
nghiệm bằng -
5
4
, tích các nghiệm bằng
5
1
. Như vậy phải kiểm tra
điều kiện có nghiệm của phương trình trước khi tính hệ thức giữa
các nghiệm.
3.5 Xác định hệ số của phương trình biết hệ thức giữa các
nghiệm:
Phương pháp:
- Xét điều kiện có nghiệm của phương trình (nếu cần)
- áp dụng định lý Vi ét để tính tổng và tích hai nghiệm
- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ (thường dùng):
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1

= (x
1
+ x
2
) (x
1
- x
2
)
* Bài toán: Cho phương trình x
2
- 3x + (k - 1) = 0 ; Xác định k để
phương trình thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) 2x
1
- 3x
2
= 1; b) x
1
2
- x
2
2
= 6 ; c) x
1
2
+ x
2
2
= 3 ;

1
x
x
ta có k - 1 = x
1
.x
2
= 2
⇒
k = 3
b) Giải hệ:
15



=−
=+
6
3
2
2
2
1
21
xx
xx

⇔




≥
0
⇔
k
≤

4
13
x
1
2
+ x
2
2
= 3
⇔
(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 3
⇔
9 - 2(k - 1) = 3

2
thoả mãn:
a) 3x
1
+ 2x
2
= 1 ; b) x
1
2
- x
2
2
= 12 ; c) x
1
2
+ x
2
2
= 1 ; d) x
1
=
2x
2 .

3.6 Tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với các tham số: (không
phụ thuộc vào các tham số)
Muốn tìm 1 hệ thức giữa các nghiệm x
1
; x
2

theo x
1
Hướng dẫn giải:
a) Ta có S = x
1
+ x
2
= k – 1
⇒
k = S + 1
P = P = x
1
. x
2
= k + 1
16

⇒
P = S + 1 + 1
⇔
P = S + 2 hay x
1
.x
2
= x
1
+ x
2
+
2

1
+ x
2
- x
1
.x
2
+ 1 = 0 .
3.7 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó:
- Trường hợp cho từng nghiệm x
1
, x
2
Ta có phương trình ẩn số x là (x - x
1
)(x - x
2
) = 0
- Trường hợp không có x
1
, x
2
riêng
Ta tìm S = x
1
+ x
2
; P = x
1
.x






>=−
==
=+=
0
16
1
4
8
1
4
1
.
2
1
4
3
4
1
2
1
2
PS
P
S


α
,
β
; S =
α
+
β
; P =
α
.
β

⇒
x
2
- Sx + P = 0 hoặc (x -
α
)(x -
β
) = 0
* Bài toán áp dụng:
Bài 1: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó bằng:
a) 7 và 3 ; b) 1 +
2
và 1 -
2
Bài 2: Cho phương trình x
2
- 2kx + 1 = 0 có nghiệm x
1

kxxyy

⇒
Phương trình phải lập là: y
2
- 6ky + 9 =
0
3.8 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) của hệ thức giữa các
nghiệm:
* Bài toán: Cho phương trình x
2
- mx +m - 1 = 0
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
1
2
+ x
2
2
- 6x
1
x
2
Hướng dẫn giải:
a) a = 1
≠
0

∆
= (m - 2)

+ x
2
)
2
- 8x
1
x
2
= m
2
- 8(m - 1) =(m -
4)
2
- 8
≥
-8
Vậy min P = - 8
⇔
m = 4
* Bài toán vận dụng: Cho phương trình x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10
= 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
; x
2

b) Tìm m để P = x
1

2
= 2m + 2 ; x
1
. x
2
= 2m + 10
P = x
1
2
+ x
2
2
+ 10x
1
x
2
= (x
1
+ x
2
)
2
+ 8x
1
x
2
= (2m + 2)
2
+ 8(2m
+10) =

4P
⇒

2
2






S
≥
P Nếu P
≥
0 thì
2
S

≥

P
Nếu x
≥
0 , y
≥
0 thì
2
yx
+

= 7 , X
2
= 4
Vậy



=
=
4
7
y
x
Hoặc



=
=
7
4
y
x
b)



=
=−
66

=+
66
5
'
'
xy
yx Theo định lý Vi ét ta có: x, y
’
là nghiệm phương trình
X
2
- 5X - 66 = 0
⇒
x, y
’
là nghiệm phương trình trên.
⇒
(X
1
= 11 , Y
1
= - 6) hoặc (X
1
= - 6 , Y
1
= 11)
⇒

- Hoặc S = 0 (có một nghiệm không âm)
- Hoặc S < 0 , P
≤
0 (có một nghiệm không âm, một nghiệm
âm)
* Bài toán:
Tìm m để phương trình (m + 1)x
2
- 2x + (m - 1) = 0 (1) có ít
nhất một nghiệm x
≥
0.
Xét m = - 1 thì (1)
⇔
-2x =2
⇔
x = - 1 (loại)
Xét m
≠
-1 , thì (1) là phương trình bậc hai
∆
′
= 2 - m
2

≥
0
⇔

m

(1) có 2
nghiệm âm
Vậy giá trị của m phải tìm là





−>
≤
1
2
m
m

⇔
- 1 < m
≤

2
Chú ý: Tuỳ theo bài mà xét P hay S trước.
* Bài toán vận dụng:
Cho pt: x
2
- 2(m - 1)x + m
2
– 3m = 0
a) Xác định m để PT có hai nghiệm trái dấu.
b) Xác định m để phương trình có đúng một nghiệm âm .
b) So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số

>−
>−
>∆
′
02
02
0
2
1
x
x
Đáp số: 8 < m <
6
49
Cách 2: Đặt x – 2 = y, phương trình trở thành:
3(y + 2)
2
- 14(y + 2) + 2m = 0
⇔
3y
2
- 2y + 2m - 16 = 0
Cần tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Ta phải có:





>



−=−
≥
1)(
22
xmx
mx
(2)
(1)
⇔
2x
2
- 2mx + m
2
- 1 = 0
(1) có nghiệm duy nhất khi có 1 nghiệm của (2) thoả mãn x
≥
m.Đặt
x - m = y
(2)
⇔
2y
2
+ 2my + m
2
- 1 = 0 (3)
Tìm m để (3) có 1 nghiệm thoả mãn y
≥
0 ; có 3 trường hợp:

(1)
⇔
(x
2
+ 2x)(x
2
+ 2x – 8) = m Đặt x
2
+ 2x + 1 = y
Ta có: (y - 1)(y - 9) = m
⇔
y
2
- 10y + 9 - m = 0 (2)
(1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt .
⇔





>
>
>∆
′
0
0
0

Sau một thời gian thực hiện đề tài“Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm
một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn” sự tiến bộ và
lòng say mê học toán của các em học sinh đã thể hiện rõ, kết quả đạt
được như sau:
1. VỀ MẶT KIẾN THỨC:
Nhìn chung các em học sinh đã biết làm các bài toán về
phương trình bậc hai một ẩn, đã biết vận dụng rất linh hoạt những
kiến thức về phương trình bậc hai đã học trong Chương IV - Sách
giáo khoa đại số lớp 9 để làm một số bài toán có liên quan.
22
Lớp 9A là lớp học khá nên các em tiếp thu rất nhanh, một số
em đã mở rộng để có những bài tập rất phong phú. Riêng lớp 9D là
lớp học ở mức trung bình so với toàn khối 9 thì các em rất thích thú
khi học, 100% các em đã biết cách làm bài. Qua việc giải một số
dạng toán trên các em được củng cố kiến thức về phương trình bậc
hai một cách cơ bản, sâu sắc, đặc biệt là nắm vững ứng dụng của
định lý Vi ét để vận dụng thành thạo khi làm bài tập, đó chính là
một yêu cầu quan trọng khi các em học phân môn đại số 9, là cơ sở
để các em ôn tập tốt cho kỳ thi vào phổ thông trung học sắp tới.
2. VỀ THÁI ĐỘ:
Rèn cho học sinh tính cẩn thận, kiên trì, trình bày khoa học, có
căn cứ và lập luận chặt chẽ. Biết nhìn nhận vấn đề một cách linh
hoạt, sáng tạo.Vận dụng toán học vào thực tế và các môn khoa
học khác.
3. VỀ CHẤT LƯỢNG:
Qua kiểm tra ở hai lớp 9A, 9D trường THCS Ba Đình sau khi đã
được học đề tài trên như sau:( Kết quả của một bài kiểm tra 60 phút)
Lớp 9A:
Điểm
giỏi

sự đóng góp ý kiến của các Thầy cô giáo để đề tài được hoàn chỉnh
hơn, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. Xin trân trọng cảm ơn
!
24
Ba Đình, ngày 10 tháng 4 năm
2012
NGƯỜI VIẾT
(Đã ký)
Trần Thị Hà
25