A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG:
1. Lý do chọn đề tài
Xu thế đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay là phát huy tính tích cực học
tập của học sinh. Học sinh là chủ thể, người quyết định việc tiếp nhận tri thức toán nói
chung và việc vận dụng vào giải bài tập toán nói riêng. Do đó, quá trình giảng dạy giáo
viên phải giúp các em tiếp cận với các dạng toán mà sự vận dụng của các em còn quá
bở ngỡ.
Dạng toán “Chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng trong hình học 9 ”
là một vấn đề phức tạp và khó đối với mọi đối tượng học sinh nói chung đặc biệt đối với
các em có hạn chế về tư duy Toán học. Khi gặp các dạng bài tập này không ít học sinh
lúng túng, không biết nên bắt đầu từ đâu, hướng giải quyết thế nào. Đây là những vấn
đề khó khăn mà các thầy cô giáo và các bậc phụ huynh rất trăn trở.
Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời giúp các em có được một cách
nhìn nhận mới, giúp các em xây dựng phương pháp giải loại toán này trên nền tảng kiến
thức cơ bản đã được trang bị trong chương trình toán THCS (Đường thẳng song song và
Định lý Talet, tam giác đồng dạng, các hệ thức trong tam giác, tính chất đường phân
giác trong tam giác) qua đó giúp các em nâng cao chất lượng học toán, phát triển các
phẩm chất trí tuệ như: cách nhìn nhận vấn đề, khai thác vấn đề, phát huy tính độc lập,
linh hoạt, sáng tạo trong quá trình giải toán.
Chính lẽ đó tôi đúc kết lại một số kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải
toán chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng” nhằm nâng cao kỹ năng giải
toán hình học nói chung và giải toán “Chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng
trong hình học lớp 9” nói riêng. Qua đó giúp các em cho học sinh có điều kiện học toán
tốt hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong quá trình thực hiện đề tài này tôi tập trung đi sâu phân tích, khai thác,
nhìn nhận, xây dựng một số giải pháp nhằm định hướng học sinh cách tìm tòi lời
giải dạng toán “Chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng trong hình học lớp
9”. Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của trường THCS Tam Thanh.
3. Thời gian nghiên cứu

= ; = ; = ; =
d b c b d a c a

2.2. Lý luận về phương pháp phân tích trong toán học
2.3. Trong hình học việc chứng minh đẳng thức mà hai vế của nó là tích độ
dài các đoạn thẳng thì phương pháp chủ yếu của nó thường gắn chặt với kiến thức
của hình học, chẳng hạn đó là kết quả của những đường thẳng song song định ra
trên một cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, hoặc là kết quả của những cặp
tam giác đồng dạng, hoặc là kết quả quan hệ giữa cạnh và đường cao trong tam
giác vuông, hoặc là kết quả của tính chất các đường phân giác trong một tam giác
2. Cở sở thực tiễn.
Trường THCS Tam Thanh trong những năm gần đầy đã có sự quan tâm nhiều
hơn của chính quyền địa phương và của lãnh đạo cấp trên. Phụ huynh học sinh xã
Tam Thanh đã dần dần nhận thức được tầm quan trọng của việc học, do đó đã có sự
quan tâm đến việc học tập của con em. Đó là điều kiện thuận lợi cho việc nâng cao
chất lượng dạy và học.
2
Bên cạnh những thuận lợi trên thì ở trường THCS Tam Thanh cũng còn nhiều
khó khăn, cụ thể là: trường THCS Tam Thanh là trường vùng sâu vùng xa nên cơ
sở vật chất và thiết bị dạy học còn nghèo nàn, thiếu đồng bộ; chất lượng đại trà của
học sinh còn thấp, khả năng tư duy của học sinh về các môn tự nhiên, đặc biệt là
môn toán còn hạn chế. Do đó đã ảnh hưởng không nhỏ đến việc giảng dạy bộ môn
Toán học ở trường THCS Tam Thanh.
3
B. PHẦN NỘI DUNG
I. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS Tam Thanh tôi nhận thấy đa số học sinh
đều có tâm lí “sợ học Toán” đặc biệt là phân môn Hình học.
Khi đứng trước một bài toán hình học nói chung, dạng toán “Chứng minh đẳng
thức tích độ dài các đoạn thẳng trong bài tập hình học lớp 9 ” nói riêng các em thường

Tổng
số HS
Điểm ≥ 5
Điểm <5
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
Bài số 1
9A 24 0 0 4 16,7 6 25,0 11 45,8 3 12,5
9B 24 0 0 5 20,8 6 25,0 9 37,5 4 16,7
Từ thực trạng trên đã đặt ra một yêu cầu mới trong tôi là cấn phải nâng cao
chất lượng dạy và học môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng. Vậy cần
phải dẫn dắt học sinh đi theo con đường nào để đạt kết quả cao trong học tập môn
Toán? Trong bài viết tôi xin trình bày một số giải pháp nhằm định hướng học sinh
cách tìm tòi lời giải dạng toán “Chứng minh đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng
trong hình học lớp 9” để giúp học sinh khắc phục những khó khăn trong việc giải các
bài toán Hình học.
II. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
4
Quá trình thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải toán chứng minh
đẳng thức tích độ dài các đoạn thẳng” tôi đã thực hiện các giải pháp như sau:
Giải pháp 1: Dạy chắc kiến thức cơ bản
Giáo viên phải dạy chắc kiến thức cơ bản cho học sinh về:
-Đường thẳng song song và định lý Talet
-Tam giác đồng dạng
-Hệ thức trong tam giác vuông
-Tính chất đường phân giác trong tam giác
Giải pháp 2: Xây dựng thói quen sử dụng phương pháp phân tích đi lên trong
giải toán hình học.
Đây là việc làm rất bổ ích cho học sinh trong quá trình tiếp cận giải toán. Các
bế tắc của học sinh được khai thông từ đây. Qua việc phân tích của giáo viên các

Chẳng hạn để chứng minh AB.AC = AH.BC tức chứng minh
AB AH
BC AC
=
hoặc
AB BC
AH AC
=
. Ta cần có các cặp tam giác đồng dạng.
Việc dự đoán các cặp tam giác đồng dạng cần chứng minh từ các tỉ lệ thức
trên theo hai cách như sau:
Dự đoán 1: Cặp tam giác có các đỉnh là các điểm của các tử số và mẫu số
5
của các tỉ số, đó là
AB, AH
và
BC, AC
do đó ta cần có hai tam giác là ABH và
CBA
Dự đoán 2: Cặp tam giác có các đỉnh là các điểm có mặt trong cùng một tỉ số
của tỉ lệ thức, đó là
;
AB AH
BC AC
nên ta cần có là hai tam giác là ABC và HAC.
Lưu ý: - Nếu đẳng thức cần chứng minh dạng a.b = c.d thì ta có thể dự lập được 2
cặp tam giác hy vọng chứng minh nó đồng dạng với nhau.
- Nếu đẳng thức cần chứng minh dạng a
2
= c.d thì chỉ có thể dự lập được

Chứng minh: MA.MB = MC.MD.
M
O
D
C
B
A
Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm lời giải
Bước 1: Phân tích để lập tỉ lệ thức từ đẳng thức tích ban đầu.
MA.MB = MC.MD
MA MD
MC MB
⇔ =
.
Bước 2: Dự lập các cặp tam giác đồng dạng (theo hai cách nói trên)
- Cách 1: = ⇒MAD ∽ MCB
- Cách 2: = ⇒ MAC ∽ MDB
Bước 3: Chọn cặp tam giác cần chứng minh đồng dạng (Dựa vào giả thiết bài
toán kết hợp với trực giác trên hình vẽ để chọn cặp tam giác đồng dạng phù hợp)
Chẳng hạn MAD và MCB có nên chúng đồng dạng theo trường hợp
(g.g)
Bước 4: Lựa chọn kiến thức, chứng minh hai tam giác đồng dạng.
MAD và MCB có ⇒MAD ∽ MCB (g.g)
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ 2. (Bài 34 SGK Toán 9 tập 2 tr 80): Cho (O)
và một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O). Qua M
kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.
Chứng minh MT
2
= MA.MB.

và
MAT
có nên ∆MTB ∽ ∆MAT (g.g)
4.2.2. Các bài toán sử dụng kiến thức về hệ thức trong tam giác vuông
7
Ví dụ 3. Cho (O) và một điểm S ở ngoài đường tròn.
Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SB với đường tròn (A,
B là hai tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB và
OS.
Chứng minh OI.OS = R
2
.
O
I
S
B
A
Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm tòi lời giải
Cách 1:
B
1
:
2 2
OI OA
OI.OS = R OI.OS = OA
OA OS
⇔ ⇔ =
B
2
: Xét hai tam giác OIA và OAS

A
Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm tòi lời giải câu (c)
Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC như sau:
Ngoài cách tìm tòi lời giải như nói trên (
AE AC
AE.AB AF.AC
AF AB
= ⇔ =
;
1
2
C : AFB
AE AC
AF AB
C : ACB




⇒
∆ ∆
=
∆ ∆
xÐt AEC vµ
xÐt AEF vµ
)
Ở đây ta chú ý ABH và ACH đều là các tam giác vuông nên lựa chọn
vận dụng kiến thức hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Sẽ có ngay: Với ABH ta có:
2

Do ở câu (c) ta đã chứng minh được CD// AE và đã có CD// BF.
B
1
:
EC CD
EF.CD = EC.FB
EF FB
⇔ =
B
2
:
EC CD
EF FB
= ⇐
CD//BF
B
3,4
: Cần chứng tỏ CD//BF để suy ra điều cần chứng minh.
4.2.4. Các bài toán sử dụng kiến thức về tính chất đường phân giác trong tam
giác.
Ví dụ 6: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ
dây cung CD ⊥ AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của
cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm
của AM và CB. Chứng minh :
a. AB. KC = AC.KB
b. MA là tia phân giác của góc CMD.
c. Tứ giác OHCI nội tiếp
d. Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng
là tiếp tuyến của đường tròn tại M.
M

a. Tam giác BNI cân
b. AE.BN = EB.AN
c. EI//BC
D
E
I
O
//
\
\
P
N
M
C
B
A
Hướng dẫn học sinh thực hiện tìm tòi lời giải câu b
Ta có sơ đồ phân tích:
BN EB
AE.BN = EB.AN =
AN AE
⇔

⇐
NE là phân giác
(hay NM là phân giác )
⇐
M phải là điểm chính giữa cung AB (gt)
Ví dụ 8.
Cho tam giác ABC, AM trung tuyến, gọi MD,

ME AMC MAC (gt)
MC
MB MC (gt)
DA
DB
EA
DA EA
=
EC
DB EC









= ⇐ ∆
= ⇐ ∆
⇐
=
lµ ph©n gi¸c cña
lµ ph©n gi¸c cña
4.3. Một số bài toán thực hành áp dụng
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn đường
kính AH cắt AB, AC lần lượt tại E,F.
a. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao.
b. Chứng minh AE.AB = AF.AC.

b. Chứng minh EC.CF = R
2
. (R bán kính nữa đường tròn)
III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Qua trình thực hiện, kiểm nghiệm đề tài ta có kết quả như sau:
1. So sánh kết quả kiểm tra 45 phút bài số 1 hình học 9 và kết quả kiểm tra học
kỳ I năm học 2011 - 2012 ở hai lớp 9A và 9B Trường THCS Tam Thanh tôi thu được
kết quả như sau:
Bài
kiểm
tra
Lớp
Tổng
số HS
Điểm ≥ 5
Điểm <5
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
Bài số 1
9A 24 0 0 4 16,7 6 25,0 11 45,8 3 12,5
9B 24 0 0 5 20,8 6 25,0 9 37,5 4 16,7
Học kì I
9A 24 1 4,2 5 20,8 11 45,8 7 29,2 0 0
9B 24 2 8,3 6 25,0 10 41,7 6 25,0 0 0
So sánh đối chiếu với kết quả điều tra và kết quả đạt được rõ ràng có sự tăng
trưởng về chất lượng học toán của học sinh.
11
2. Điều đặc biệt hơn là tâm lý “lo sợ” học toán của học sinh đã giảm hẳn, học
sinh phấn khởi say sưa với học toán hơn, yêu thích môn toán hơn, do đó đã góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán của Trường THCS Tam Thanh nói

tham khảo và góp ý để đề tài thực sự là một tài liệu hữu ích, được bạn bè đồng
nghiệp áp dụng rộng rãi, nhằm nâng cao chất lượng môn Toán nói riêng và chất
lượng giáo dục nói chung.
II. ĐỀ XUẤT
1. Đối với giáo viên :
Tạo tâm lý thoải mái, có thái độ nhẹ nhàng và thân thiện với học sinh khi các
em gặp những vướng măc trong giải toán.
Cần thường xuyên tự trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm thực tiễn; tự
bồi dưỡng và đổi mới phương pháp giảng dạy.
2. Đối với tổ chuyên môn:
13
Tổ chuyên môn tổ chức cho các tổ viên góp ý xây dựng cho đề tài để đề tài
mang lại hiệu quả cao hơn.
3. Đối với chuyên môn nhà trường:
Chuyên môn nhà trường cần tổ chức các hội thảo chuyên môn theo chủ đề
của năm học để giáo viên được tham gia học hỏi và trao đổi kinh nghiệm.
Tam Thanh, ngày 23 tháng 4 năm 2012
NGƯỜI VIẾT
Lò Văn Xơi
Mục lục
A. Phần mở đầu
I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG:
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Thời gian nghiên cứu 1
4. Phạm vi nghiên cứu và giới hạn của đề tài 1
5. Đối tượng nghiên cứu 1
6. Phương pháp nghiên cứu 2
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận 2