A-ĐẶT VẤN ĐỀ
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong giai đoạn đổi mới hiện nay trước yêu cầu của sự nghiệp CNH- HĐH
đất nước, để tránh nguy cơ tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấp
bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Cùng với việc thay đổi về
nội dung cần có sự thay đổi về phương pháp dạy học.
Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động tư duy sáng tạo của Học sinh; phù hợp đặc điểm của từng lớp học, từng
môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm,rèn
luyện kỷ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại
niềm vui hứng thú trong học tập cho học sinh.
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn Toán được nhiều học sinh
yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó
khăn và trở ngại cho không ít học sinh và giáo viên, thậm trí ta có thể dùng từ
“SỢ” học. Từ việc học sinh sợ học dẫn tới giáo viên cũng ngại dạy và ngày càng
học sinh học yếu hơn. Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp. Đây là phần có
trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và thường xuyên xuất hiện trong
các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải
tư duy cao, khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà một chủ điểm quan
trọng của hình học không gian tổng hợp đó là “TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI
ĐA DIỆN” nhưng qua thực tiễn giảng dạy tại Trường THPT Quan Sơn những
năm qua trong các kỳ thi các em học sinh thường bỏ qua bài tập dạng này.
Như chúng ta đã biết trong giảng dạy đã chia ra 4 mức độ của nhận thức là
1, Nhận biết 2, Thông hiểu
3, Vận dụng 4, Sáng tạo
Như vậy việc đưa ra các bài tập tuỳ theo mức độ của nhận thức của học sinh
là việc cơ bản khi giảng dạy. Để làm tốt việc dạy học phân hóa đối tượng và
đưa ra các bài tập phù hợp thì việc phân dạng, loại bài tập với giáo viên và giúp
học sinh phân dạng toán cũng rất quan trọng và cần thiết cho học sinh dễ hiểu,
tạo sự thích thú đam mê trong học tập và khám phá
Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại, ngày càng yêu thích và

V = Bh
(B là diện tích đáy , h là độ dài đường cao)
Qua hai công thức trên ta thấy để tính được thể tích của khối đa diện yêu cầu
chúng ta phải xác định được 2 yếu tố đó là tính được diện tích đáy và độ dài của
đường cao.
Để xác định chân đường cao học sinh cần lưu ý:
-Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.
-Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường
tròn ngoại tiếp mặt đáy.
- Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân
đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.
-Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên
giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy.
-Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên
giao tuyến của hai mp đó.
Để tính độ dài đường cao và diện tích đáy học sinh cần ghi nhớ và vận dụng
tốt:
- Các hệ thức lượng trong tam giác, đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác
vuông.
- Các khái niệm liên quan đến góc, khoảng cách và cách xác định.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:
Trường THPT Quan Sơn đặt trên vùng kinh tế đặc biệt khó khăn, trình độ
dân trí còn thấp, phụ huynh học sinh chưa nhận thức được tầm quan trọng của
việc học tập của con cái nên chưa có sự quan tâm và đầu tư đúng hướng. Năng
lực học tập của học sinh còn hạn chế do đầu vào lớp 10 quá thấp, khả năng tự
học, tự tìm tòi sáng tạo của học sinh gần như chưa có. Đa số học sinh không có
đầy đủ đồ dùng học tập, sách giáo khoa, sách tham khảo. Ngoài thời gian tới
trường các em lại phải giúp bố mẹ công việc gia đình, có những em còn là lao
động chính để nuôi sống gia đình không có nhiều thời gian dành cho học tập.
Nên các khái niệm các em thường nắm không vững, hay quên và khó vận dụng

.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

Hướng dẫn học sinh giải:
3
S
A
E
B
C
D
Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy. SE
là đường cao của khối chóp.
AE=
3
2
AD=
3
3a
Ta có
∠
SAD=60
0
nên SE=AE.tan60
0
=a
S
ABC
=
4
3

=6a
2
.
6
(
2
AB AC BC
p
+ +
=
)
mặt khác S
ABC
=pr
⇒
r=
p
S
=
6
3
2
a
Trong
∆
SDK ta có SD=KDtan60
0
= r.tan60
0
= 2a.

Suy ra SO là đường cao của khối chóp
Ta có S
ABC
=1/2.AB.AC.sin120
0
=
4
3
2
a
và BC=2BD=2.ABsin60
0
=a.
3
OA=R=
s
cba
4

=a
⇒
SO=OA.tan60
0
=a.
3
Do vậy V
SABC
=
3
1

ABCD
=4a
2
Ta có: S
ADM
=1/2AD.AM= a
2
và S
CDN
=1/2.CD.CN= a
2
Nên S
BMDN
=S
ABCD
-S
ADM
-S
CDN
=4a
2
-2a
2
=2a
2
.
mặt khác
222
111
SBSASH

tích của S.ABC.
Hướng dẫn học sinh:
Gọi I là trung điểm của BC; SA vuông góc với đáy
Trong tam giác ABC ta có AI =
2
BC
=
2
a

SA= AI. Tan60
0
=
3
.
2 2
a
=
3
4
a

Do đó V
SABC
=
3
1 1 1 3
. . . .
3 3 2 12
ABC

=a
2
IB=
22
ABIA +
=a
5
và BC=
22
JBCJ +
=a
5

Ta có S
ABCD
=
1
2
AD(AB+CD)=3a
2
S
IBA
=
1
2
.IA.AB=a
2
và S
CDI
=

5
33
2
=
mà SI=IH.tan60
0
=
a
5
3.9
.
Do đó V
ABCD
=
3
1
SI.S
ABCD
=
5
153
a
3

Ví dụ 7: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1

AC
1
B=30
0
A
B
D
C
I
H
J
S
7
S

⇒
AC
1
=AB.cot30
0
=3a. Trong tam giác ACC
1
ta có CC
1
=
2
2
1
ACAC −
=2a

thể tích khối trụ đó.
Hướng dẫn học sinh:
B
1
C
1
A
1
B
C
A
8

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên S
ABC
=
4
3
2
a
mặt khác A
1
A=

A
1
B=

A
1

4
3.
3
a
Ví dụ 9:
Cho khối trụ tam giác ABCA
1
B
1
C
1
có đáy là ABC là tam giác vuông cân với
cạnh huyền AB=
2
.Cho biết (ABB
1
) vuông góc với đáy,A
1
A=
3
,Góc A
1
AB
nhọn, góc giữa (A
1
AC) và đáy bằng 60
0
. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.
Hướng dẫn học sinh:
ABC vuông cân tại C và AB=

A
1
G chính là đường
cao .Từ G hạ GH
⊥
AC tại H
⇒
góc A
1
HG=60
0
. Đặt AH=x(x>0)
Do
∆
AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x
2∆
HGA
1
ta có A
1
G=HG.tan60
0
=x.
3
trong
∆
A

G.S
ABC
=
10
53
Chú ý: Trong quá trình giảng dạy tùy từng đối tượng học sinh, tình huống
trực tiếp trên lớp ta có thể bổng sung các câu hỏi phụ để dẫn dắt học sinh trung
bình yếu cũng có thể tiếp cận và lĩnh hội được nội dung của phương pháp. Đối
với học sinh khá giỏi có thể lấy các ví dụ yêu cầu cao hơn hoặc các câu hỏi cần
mức độ tư duy cao hơn.
Với ví dụ 8,9 là các ví dụ yêu cầu cao hơn trong việc xác định và tính độ dài của
đường cao nên ví dụ này ta giành cho học sinh khá giỏi.
TÍNH THỂ TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP :
Nhận xét : Trong nhiều bài toán nếu tính trực tiếp như trên có thể gặp khó
khăn với 2 lí do: Hoặc khó xác định và tính chiều cao, hoặc tính được diện tích
đáy nhưng cũng không dễ dàng. Khi đó trong nhiều trường hợp ta có thể hướng
học sinh đi theo con đường khác:
- Phân chia khối đa diện cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản
mà các khối này dễ tính hơn
- So sánh thể tích khối đa diện cần tính với các khối khác đã biết thể tích.
A1
B1
C1
A
C
B
G
H
10
Tinh thần của phương pháp là ta sử dụng phân chia lắp ghép các khối đa

SAH và
∆
SA
1
E đồng dạng
⇒

11
SA
SA
EA
AH
=
Khi đó V
SABC=
3
1
AH.S
SBC
=
3
1
AH.SB.SC.sinBSC.

V
SA
1
B
1
C

3
1
sin
3
1
111
SC
SC
SB
SB
EA
AH
BSCSCSBEA
BSCSCSBAH
V
V
CBSA
SABC
==
Nên
1 1 1
1 1 1
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
S
A

trên (ABC)
KhiđóA
1
H=A
1
A.sinA
1
AH=2a.sin60
0
=a.
3

⇒
V
LT
=A
1
H.S
ABC
=
4
3
4
3.
.3.
32
aa
a =
Mặt khác ta nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp: CA
1


do đó
ACBA
V
11
=
3
1
V
LT
=
4
3
a
Ví dụ 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạch AB bằng a. Các cạnh bên tạo
với đáy một góc 60
0
. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và
vuông góc với SA. Tính thể tích của S.DBC
Hướng dẫn học sinh:
Gọi H,H’ là hình chiếu của S,D lên (ABC). Vì tam giác ABC đều nên H là
trọng tâm tam giác và góc SAI bằng 60
0

⇒
SH=AH.tan60
0
=a ; SA=
0
2 3

. Mặt phẳng FEA chia khối hộp
thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó
Hướng dẫn học sinh:
Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A
1
D
1
,A
1
B
1
,B
1
B,D
1
D lần lượt tại J,I,H,K(hv)
Gọi V
1
,V
2
lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp
Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc
nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB
1
và chóp KFJD
1
thì phần dưới là hình
chóp AIJA
1
Ba tam giác IEB

723
.
2
.
2
.
2
1
.
3
1

3
1
111 KFJDHIEB
V
abccba
IBEBHBV ====

8
3
.
2
3
.
2
3
.
2
1

25
72
.2
8
3 abcabcabc
=−
V
2
= V
hh
-V
1
=
72
47abc
do vậy
47
25
2
1
=
V
V
A
I
C
S
D
HH’
B

Hướng dẫn học sinh:
Gọi H,H’ là hình chiếu của A và M lên (BCD).
⇒
MH’//AH
⇒
'
AA'
AM MH
AH
=
Mà
1
'.
'
3
1
.
3
BCD
MBCD
ABCD
BCD
MH S
V
MH
V AH
AH S
= =

⇒

E
F
J
14
Mà V
ABCD
=V
MBCD
+V
MABC
+V
MABD
+V
MACD
⇒
' ' ' '
1
' ' ' '
MA MB MC MD
AA BB CC DD
+ + + =
(đpcm)

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD, M là điểm nằm trong tứ diện cách đều các mặt của
tứ diện một khoảng r . Gọi h
a
,h
b
,h
c

'
3
1
.
3
BCD
MBCD
ABCD
BCD
MH S
V
MH
V AH
AH S
= =

⇒

'
AA'
MBCD
ABCD
V
MA
V
=
( đpcm)
A
D
C

r r r r
h h h h
⇒ + + + =

⇒
1 1 1 1 1
a b c d
r h h h h
= + + +
(đpcm)
DÙNG CÔNG THỨC THỂ TÍCH ĐỂ TÌM KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM
TỚI MẶT PHẲNG HOẶC TÍNH DIỆN TÍCH CỦA ĐA GIÁC:
Có rất nhiều cách để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng hoặc
diện tích của đa giác nhưng trong nhiều trường hợp việc xác định và tính taons
không dễ dàng thì ta có thể sử dụng công thức thể tích để thực hiện:

Ví dụ 1: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông
góc với đáy , AB=a, BC=b, SA=c. Tính khoảng cách từ A đến (BCD)
Hướng dẫn học sinh:
Ta có BC vuông góc với SA và AB nên BC vuông góc với SB

⇒
tam giác SBC vuông tại B.
Ta có
2 2 2 2
;AC a b SB b c= + = +
Mà
1
3
SABC

A
B
C
S
Ví dụ 2: Cho chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với
đáy. AB = a, AC = 2a, SA = a.Mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại K cắt SB
tại H. Tính SK và diện tích AHK.
Hướng dẫn học sinh:
Ta có: SK
⊥
(AHK)
Ta có BC
⊥
AB; BC
⊥
SA
⇒
BC
⊥
(SAB)
⇒
BC
⊥
AH mà AH
⊥
SC

⇒
AH
⊥

Bài 3: Cho chóp đều S.ABCD có AB=a góc giữa mặt bên và đáy bằng 60
0
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
( )SA ABCD⊥
,
AB a
=
,
3SC a
=
,
SA BC
=
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Bài 5: Tính thể tích của khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
( )SA ABC⊥
,
AB a
=
,
2AC a
=
,
3SA a
=
.
Bài 6: Cho tam giác cân ABC, có
2AB AC b

17
Bi 8: Cho chúp S.ABCD cú hai mt phng (SAB) v (SAD) cựng vuụng gúc
vi ỏy,cũn ỏy ABCD l hỡnh ch nht bit AB=a; BC=2a v SA=3a. Tớnh th
tớch khi chúp S.ABCD
Bi 9: Cho chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a; (SAC) vuụng gúc vi
ỏy; gúc ASC bng 90
0
v SA to vi ỏy gúc . Tớnh th tớch khi chúp.
Bi 10: Cho chúp S.ABC cú gúc BAC bng 90
0
, gúc ABC bng ; tam giỏc
SBC u cnh a, (SBC) vuụng gúc vi (ABC). Tớnh th tớch khi chúp.
Bi 11: (H-A 2012) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh
a. Hỡnh chiu vuụng gúc ca S lờn (ABC) l im H thuc cnh AB tha món
HA=2HB. Gúc gia SC v (ABC) bng 60
0
. Tớnh th tớch ca S.ABC v khong
cỏch gia SA v BC.
Bi 12: (H-A 2010): Cho khi chopS.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng
cnh a. Gi M,N ln lt l trung im ca AB,AD. Gi H l giao im ca CN
v DM. Bit SH vuụng gúc vi ỏy ABCD v SH=
3a
. Tớnh th tớch ca
S.CDNM.
Bi 13: (H-A 2011) Cho chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng cõn ti B
AB=BC=2a. Hai (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi ỏy . Gi M l trung
im AB Mt phng i qua SM v song song vi BC, ct Ac ti N. Bit gúc
gia (SBC) v (ABC) bng 60
0
. Tớnh th tớch khi chúp S.BCNM.

a. Tớnh di on
'AC
.
b. Tớnh th tớch khi lng tr.
Bi 17: (H KB 2011)Cho lng tr ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cú ỏy ABCD l hỡnh
ch nht. AB = a, AD =
3a
. Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A
1
trờn mt
phng (ABCD) trựng vi giao im AC v BD. Gúc gia hai mt phng
(ADD
1
A
1
) v (ABCD) bng 60
0
. Tớnh th tớch khi lng tr ó cho v khong
cỏch t im B
1
n mt phng (A
1

. Mặt phẳng (SMN) chia khối tứ diện S.ABC thành 2 khối đa
diện (H) và (H’) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh C. Hãy tính thể tích của
(H) và (H’).
Bài 20: Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’. Tính tỉ số thể tích cua hai khối
chóp A’.ABCD và D’.BCC’.
Bài 21: Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhât., hai mặt bên (SAB) và
(SAD) vuông góc với đáy. Mặt phẳng (α) chứa AB và vuông góc với SD cắt SD,
SC tại D’ và C’. Biết AB=a; AD=b và SA=c. Tính tỉ số thể tích của các khối
BCC’ADD’ và SABC’D’.
Bài 22: Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong miền tam giác BCD; kẻ
MB’//AB (B’
∈
(ACD)); MC’//AC (C’
∈
(ABD)); MD’//AD(D’
∈
(ABC)). Chứng
minh BM cắt AB’ trên CD và
'
MACD
BACD
V
MB
V AB
=
từ đó suy ra:
' ' '
1
MB MC MD
AB AC AD

không còn cảm thấy sợ hay bỏ qua các câu bài tập có trong các đề thi TN và
ĐH- CĐ. Hy vọng các em có thể hoàn thành tốt 2 kỳ thi sắp tới.
C- KẾT LUẬN:
19
Với đặc thù trong một lớp học có rất nhiều đối tượng học sinh khác nhau nên
trong quá trình giảng dạy để thực hiện quá trình dạy học phân hóa đối tượng.
Tôi lựa chọn các bài tập trong lúc giảng dạy cũng như bài tập về nhà với mức độ
khác nhau phù hợp với từng đối tượng học sinh. Thực hiện linh hoạt trong việc
đặt các câu hỏi dẫn dắt để học sinh tiếp cận bài toán dễ hơn. Đối với học sinh
trung bình tôi chỉ giới thiệu dạng bài tập tính thể tích khối đa diện bằng phương
pháp trực tiếp và gián tiếp nhưng với yêu cầu xác định chiều cao ở dạng đơn
giản. Còn với học sinh khá giỏi yêu cầu đạt được phải cao hơn nên ngoài việc
thực hiện yêu cầu như học sinh trung bình các em còn phải biết vận dụng thể
tích để tính các yếu tố khác liên quan cũng như vận dụng thể tích để chứng minh
các bài toán khác. Trong đề tài này tôi đã xây dựng hệ thống các ví dụ một cách
có hệ thống, theo dạng từ mức độ đơn giản và nâng dần mức độ phức tạp và yêu
cầu cao hơn. Trong các tiết ôn tập buổi chiều tôi đã hướng dẫn học sinh một
cách chi tiết, từng bước một nhờ vậy mà học sinh tiếp cận khá tốt, thông qua các
ví dụ đó các em một mặt hệ thống lại được kiến thức một mặt hoàn thiện kỹ
năng giải nhanh bài tập một cách vững chắc. Đồng thời mỗi dạng toán tôi cho
các em hệ thống bài tập tương tự để các em về nhà luyện tập thêm. Với sự cố
gắng của bản thân trong quá trình giảng dạy và sự nổ lực của các em học sinh
trong học tập hy vọng rằng chất lượng giáo dục của Quan sơn sẽ ngày càng được
nâng lên.

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học phần thể
tích của khối đa diện rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp để đề tài
hoàn thiện hơn. Qua đó mong muốn cung cấp cho các em một tài liệu học tập bổ
ích đáp ứng nhu cầu học tập của các em học sinh.