Mục lục
Phần I. MỞ ĐẦU.........................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài....................................................................................................1
2. Mục nghiên cứu.....................................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu............................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu........................................................................................1
Phần II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM................................................3
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm................................................................3
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.................................5
3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề...........................................................6
4. Hiệu qủa của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động của bản thân , đồng
nghiệp và nhà trường...............................................................................................17
Phần III. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ.......................................................................18
1. Kết luận................................................................................................................18
2. Kiến nghị.............................................................................................................18

1


Phần I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Việt Nam đang trong quá trình hội nhập với thế giới và quá trình toàn cầu
hóa cũng như chúng ta đang trong quá trình công nghiệp hóa hiện đại hóa đất
nước tiến tới tự động hóa. Điều đó đòi hỏi đội ngũ cán bộ, công nhân phải có
năng lực chuyên môn vững vàng, óc tư duy sáng tạo, tính kỷ luật cao.
Để đáp ứng nhu cầu lao động của xã hội những năm qua Bộ Giáo Dục &
Đào Tạo đã và đang cải cách giáo dục để đào tạo ra nguồn nhân lực dồi dào đảm
bảo về chất và lượng. Việc đổi mới trên nhiều phương diện về nội dung, chương
trình, phương pháp dạy và học cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá.
Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động tư duy sáng tạo của học sinh. Phù hợp đặc điểm của từng lớp học, từng

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu
tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài;
- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS);
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin;
- Phương pháp quy lạ về quen.

2


Phần II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Có rất nhiều bài toán thực tế mà việc giải nó lại quy về việc tìm GTLN –
GTNN của một hàm số nào đó. Ví dụ như làm thế nào để xây một bể nước dung
tích là V mà tiết kiệm vật liệu nhất, hay để làm một đường dây dẫn điện mà chi
phí thấp nhất…Trong đề tài này tôi đưa ra một ví dụ cụ thể và tập trung vào
phân tích bài toán, từ đó rút ra quy trình chung để giải chúng.
Có nhiều cách để tìm GTLN – GTNN của hàm số, trong đề tài này tôi sử
dụng công cụ đạo hàm để phù hợp với học sinh ôn thi quốc gia năm nay.
Nhắc lại về khái niệm GTLN – GTNN và các dạng toán
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
∃M : f ( x ) ≤ M ∀x ∈ D

- Nếu  ∃x ∈ D : f x = M thì M được gọi là GTLN của hàm số trên tập
( 0)
 0
f ( x) = M
D, ký hiệu: max
D
∃m : f ( x ) ≥ m∀x ∈ D

như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị
diện tích là bằng nhau [6].

1.2. Phân tích
Toán học hóa
* Nhận xét rằng, vì “độ dày của thành bể và đáy là nhau, các viên gạch có
kích thước như nhau và số viên gạch trên cùng một đơn vị diện tích là bằng
nhau” nên số viên gạch cần dùng để xây sẽ ít nhất khi tổng diện tích bề mặt các
thành và đáy của lòng bể là nhỏ nhất.
* Bài toán giờ trở thành tìm kích thước của hình hộp chữ nhật để tổng
diện tích của mặt đáy và 4 mặt xung quanh là nhỏ nhất.
* Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của bể là x, y, z(x, y, z > 0). Vì đáy
là hình vuông nên chiều dài và chiều rộng bằng nhau. Tức là x = y. Theo giả
thuyết thì bể nước có thể tích là 108m3 nên ta có:
108
2
xyz = 108 ⇔ x z = 108 ⇒ z = 2
x
* Gọi S là tổng diện tích bề mặt của bể nước, ta có:
432
S = x 2 + 4 xz = x 2 +
x
Việc cần làm bây giờ là ta đi tìm x để hàm số S đạt GTNN.
1.3. Tìm GTNN của hàm số.
4


Bài toán trở thành:
2
Tìm GTNN của hàm số S ( x ) = x +

+
+∞

108
Do đó hàm số S(x) đạt GTNN khi x = 6.
Vậy chiều dài, chiều rộng, chiều cao của bể lần lượt là: 6m, 6m, 3m.
1.4. Quy trình chung
Qua phân tích trên, chúng ta có thể rút ra một quy trình chung để giải quyết
các bài toán thực tế mang tính tối ưu như trên theo các bước sau:
Bước 1. Toán học hóa bài toán
Thực chất là đại số hóa, gọi các đại lượng cần tìm và đã cho trong bài toán.
Từ điều kiện của bài toán thiết lập được một hàm số phụ thuộc vào một
biến
Bước 2. Tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên, tùy theo yêu cầu của
bài toán.
Chúng ta thường dùng công cụ đạo hàm ở bước này, mặc dù có thể sử dụng
công cụ khác.
Bước 3. Kết luận bài toán ban đầu.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Quan Sơn đặt trên vùng có điều kiện kinh tế đặc biệt khó
khăn, trình độ dân trí còn thấp, phụ huynh hộc sinh chưa nhận thức được tầm
quan trọng việc học tập của con cái nên chưa có sự quan tâm và đầu tư đúng
hướng. Năng lực học tập của học sinh còn hạn chế do đầu vào lớp 10 quá thấp,
khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo của học sinh gần như chưa có. Đa số học
sinh chưa có đầy đủ đồ dùng học tập, sách giáo khoa, sách tham khảo. Ngoài
thời gian tới trường các em còn phải giúp cha mẹ công việc gia đình, có những
em còn là lao động chính nuôi sống cả gia đình không có thời gian học tập. Nên
5



B
Đặt B’C = x km; x ∈ [ 0;9]

Ta có: BC = x 2 + 36 ; AC = 9-x
Chi phí xây dựng đường ống là:

6km

C ( x) = 130.000 x 2 + 36 + (9 − x )50.000

B’’’

x
C
km
 13 x

− 5÷
Hàm C( x), xác định và liên tục trên [ 0;9] và C ' ( x ) = 10000  2
 x + 36


Để chi phí thấp nhất, thì C(x) phải nhỏ nhất

A

 13 x

5
C ' ( x ) = 0 ⇔ 10000 


14 + 5 5
km [4].
12

Hướng dẫn giải
Đặt BM = x (km) (0 < x < 7)
Thời gian đi bộ từ M đến C là: tMC =
Thời gian đi từ A đến kho là: t =

t'=

x

−

1
6

7−x
( h)
6

x 2 + 25 7 − x
+
4
6

; t'=0⇔


Áp dụng đạo hàm lập bảng biến thiên ta được d nhỏ nhất khi t =

17
(giờ), khi đó
7

ta có d ≈ 3, 25 hải lý.
Các bài tập tương tự
Bài 1. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn
đảo ở C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là
4 km. Mỗi dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt trên mặt đất mất 3000
USD. Hỏi điểm S trên bờ biển cách A. Mỗi dây điện đặt dưới nước mất 5000
USD, còn đặt trên mặt đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ biển cách A bao
nhiêu để khi mắc dây điện từ bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến
C là ít tốn kém nhất [6]?
A. 15/4km.
C. 13/4 km.
C
B. 5/2km.
D. 19/4km.

B

S

A

Bài 2. Một ngọn Hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB là
5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người
canh Hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h

x
x

8


P '( x ) = 2 −

200
; P '( x ) = 0 ⇔ x = 10
x2

Lập bảng biến thiên ta được Pmin = 40 khi x = 10, y = 10
Chọn A
Ví dụ 2. Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng,
biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800 (m).
Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn
nhất?
A. 200m × 200m .
B. 300m ×100m .
C. 250m ×150m .
D. Đáp án khác[6].
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: x (cm) và y (cm)
(x, y > 0)
Diện tích miếng đất: S = xy
Theo đề bài thì: 2(x + y) = 800 hay y = 400 – x. Do đó S = x(400-x) với x > 0.
Đạo hàm: S’(x) = -2x + 400. Cho S’(x) = 0 thì x = 200
Lập bảng biến thiên ta được Smax = 40000 khi x = 200 và y = 200
Chọn A

4+π
4+π
C. Chiều rộng bằng a(4 + π ) , chiều cao bằng 2a(4 + π ) .

A. Chiều rộng bằng

D. Đáp án khác [6].

Hướng dẫn giải
Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt
π
x
là , tổng 3 cạnh của hình chữ nhật là a − π x . Diện tích cửa sổ là:

9





÷
πx
a − π x − 2x
a
π

π

S = S1 + S 2 =
+ 2x

4+π

a
,
4+π

Chọn A

Các bài tập tương tự
Bài 1. Người ta sử dụng một tấm bìa cứng hình chữ nhật có diện tích là
2
400cm để làm bìa cho một quyển sách. Lề trái và lề phải là 3,5cm, lề trên và lề
dưới là 2cm (như hình vẽ). Để có được phần diện
tích phần viết chữ (phần gạch sọc) lớn nhất thì
bìa cứng này có chiều rộng bằng bao nhiêu?
A.

20 7
7

B. 40 7

C. 20 7
D.

40 7
[4].
7

Bài 2. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa

B. 5cm.

C.

C
y cm

7 2
cm.
2

D. 4 2 cm [6].

Dạng 3. Bài toán liên quan đến diện tích, thể tích.
10


Ví dụ 1. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn
góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không
nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x = 6cm.
B. x = 3cm.
C. x = 2cm.
D. x = 4cm [3].
Hướng dẫn giải
Ta có, thể tích hình hộp nhận được là: V = Bh = x( 12-x) = 12x – x2
Sử dụng đạo hàm ta có: V’ = 12 – 2x.
Vmax khi x = 6


Để tiết kiệm nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần của hố ga là nhỏ nhất.
Sử dụng đạo hàm ta có f ( x ) nhỏ nhất là 1200 khi x = 10 ⇒ y = 16.
Vậy diện tích đáy hố ga là: xy = 160 cm2 . Chọn B
Ví dụ 2. Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn
định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách
dưới đây:
11


Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc
thùng có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:
A. 35cm; 25cm.
B. 40cm; 20cm.
C. 35cm; 25cm.
D. 30cm; 30cm [4].
Hướng dẫn giải
Gọi một chiều dài của mảnh tôn là x cm( 0 < x < 60), khi đó chiều còn lại
của mảnh tôn là 60 – x cm, giả sử quấn cạnh có chiều dài là x thì bán kính đáy là
r=

x
− x 3 + 60 x
; h = 60 − x . Ta có: V = π r 2 h =
.
2π
4π

3
2

Ví dụ 4. Cho một tấm tôn hình chữ nhật ABCD có AD = 60 cm. Ta gập
tấm tôn theo hai cạnh MN và QP vào phía trong sao cho BA trùng với CD để
được lăng trụ đứng khuyết hai đáy. Khối lăng trụ có thể tích lớn nhất khi x bằng
bao nhiêu?

12


A. x = 20cm .

B. x = 22, 5cm .

C. x = 25cm

D. x = 29cm [4].

Hướng dẫn giải
Ta có thể tích của khối lăng trụ là: V = h. SNAP . Để thể tích khối lăng trụ là
lớn nhất thì diện tích tam giác NAP lớn nhất.
Ta có: SNAP = 30(30 - x)2(2x - 30) = S(x)
 x = 20
S '( x) = 30[−2(30 − x)(2 x − 30) + 2(30 − x) 2 ]; S ' = 0 ⇔ 
; với 0 < x < 60.
 x = 30

S(x) max khi x = 20cm

Chọn A

Các bài tập tương tự

6
3
, h=
.
3
3

B. r =

3
6
, h=
.
3
3

C. r =

6
3
, h=
.
2
2

D. r =

3
6
, h=


A. 5(s).
Hướng dẫn giải

B. 6(s).

C. 1(s).

D. 2(s) [6].

2
Vận tốc của chất điểm: v(t ) = ∫ a ( t ) dt = t − 7t + C

Do

vận

tốc

ban

đầu

bằng

10(m/s)

nên

v(0)

nhất ?
A. t = 4 s.
B. t = 3 s.
C. t = 2 s
D. t = 1 s [2].
Bài 1. Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quảng
đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút), hàm số
đó là s = 6t2 – t3. Thời điểm t ( giây) mà tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động
đạt giá trị lớn nhất?
A. 3(s).
B. 6(s).
C. 2(s).
D. 4(s) [4].
Dạng 5. Các bài toán liên quan đến hiệu quả kinh tế.
Ví dụ 1. Một sinh viên A sau khi tốt nghiệp đại học đến một công ti kinh
doanh bất động sản để phỏng vấn xin việc. Hội đồng phỏng vấn đưa ra một bài
toán kinh tế như sau: Công ty hiện nay đang chuẩn bị cho thuê 50 căn hộ chung
cư. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi
căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000
đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi mỗi tháng công ty thu
được tối đa bao nhiêu tiền từ việc cho 50 căn hộ chung cư trên?
A. 100.000.000 đồng
B. 110.250.000 đồng

C. 103.250.000 đồng
D. 101.250.000 đồng [4].

Hướng dẫn giải
15


là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng
thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi
lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?
A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái tivi.
B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái tivi.
C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái tivi.
D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái tivi [6].
Bài 2. Một giáo viên đang đau đầu vì vấn đề lương thấp và phân vân xem
có nên tạm dừng niềm đam mê với con chữ để chuyển hẳn sang kinh doanh đồ
uống trà sữa hay không? Ước tính nếu 1 ly trà sữa là 2000đ thì trung bình hàng
tháng có khoảng 1000 lượt khách tới uống tại quán, trung bình mỗi khách trả
thêm 10000đ tiền bánh tráng ăn kèm. Nay người giáo viên muốn tăng thêm mỗi
ly trà sữa 5000đ thì sẽ mất 100 khách trong tổng số trung bình. Hỏi giá một ly
trà sữa nên là bao nhiêu để tổng thu nhập lớn nhất?
A. Giảm 15 ngàn đồng.
16


B. Tăng 5 ngàn đồng.
C. Giữ nguyên không tăng giá.
D. Tăng thêm 2,5 ngàn đồng [6].
18 Trong trang này: Bài tập 1 được trích từ TLTK số [6], Bài tập 2 được trích từ TLTK
số [6].

4. Hiệu qủa của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động của bản thân ,
đồng nghiệp và nhà trường
Sau thời gian nghiên cứu và phân dạng bài max - min trong thực tế. Qua
thời gian thực nghiệm bằng các tiết ôn tập buổi chiều cho học sinh lớp 12A 1
trường THPT Quan Sơn tôi nhận thấy kết quả như sau:
Trước thực nghiệm tôi cho học sinh làm bài 45 phút kết quả như sau:


Điểm từ 9 -10

Điểm từ 7-8

Điểm từ 5 -6

Điểm dưới 4

29

4

6

15

4

13,8%

20,7%

51,7%

13,8%

Qua kết quả trên cho thấy đa số các em sau thời gian được ôn tập đã có
thể tự tin trong việc làm toán tối ưu trong thực tế, các em có hứng thú hơn khi
học chuyên đề này.

XÁC NHẬN CỦA
HIỆU TRƯỞNG
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………

Thanh Hóa, ngày 28 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa giải tích 12 - Trần Văn Hạo - Nhà xuất bản giáo dục, 2008.
[2]. Sách bài tập giải tích 12 - Vũ Tuấn - Nhà xuất bản giáo dục, 2008.
[3]. Các đề minh họa môn toán lần 1, lần 2 năm 2017 của Bộ Giáo Dục.
[4]. Các đề thi thử quốc gia môn toán năm 2017 của các trường học trên cả
nước.
[5]. Ôn luyện trắc nghiệm thi trung học phổ thông quốc gia – Phạm Hoàng Quân
– Nhà xuất bản đại học sư phạm, 2017
[6]. Tham khảo một số tài liệu trên mạng Internet
- Nguồn: http://thuviendethi.violet.vn
- Nguồn: http://hocmai.com.vn