Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng
trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Nói đến học toán người ta
thường nghĩ ngay đến các con số, các ký hiệu, hình vẽ và các mối liên hệ phức tạp giữa
chúng. Sự phong phú và đa dạng của môn học này được thể hiện qua phạm vi ứng
dụng của nó trong thực tế; đặc biệt là môn hình học. Hình học không gian là một môn
khoa học nghiên cứu về hình dạng, độ lớn và vị trí không gian của vật thể; là một môn
học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Rất nhiều em cảm thấy ngán ngại khi học
môn này, có em thuộc định lý, tính chất nhưng không biết vận dụng vào giải bài tập, có
em biết vẽ hình nhưng không đọc được hình… Vì thế, việc truyền đạt kiến thức liên
quan đến hình học không gian đòi hỏi người Thầy phải kiên nhẫn, hướng dẫn các thao
tác theo một trình tự nhất định, từng bước giúp các em chủ động tìm ra hướng giải các
bài tập có liên quan đến hình học không gian.
Hoạt động chủ đạo và thường xuyên trong quá trình học toán của học sinh là
hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo và khắc sâu kiến thức.
Do vậy việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho
học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt
được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp
học sinh độc lập suy nghĩ và chủ động để giải bài tập và củng cố kiến thức.
Sách giáo khoa Hình học 11 (chuẩn và nâng cao) có nêu nội dung về “khoảng
cách”, phần lý thuyết thì rất đơn giản nhưng phần bài tập thì thật không hề đơn giản
đối với học sinh. Nếu giáo viên chỉ nêu định nghĩa như sách giáo khoa rồi dừng lại làm
bài tập thì rất nhiều học sinh lung túng. Do kỹ năng giải toán hình học không gian nói
chung và giải bài toán liên qua đến tính khoảng cách hình học trong không gian nói
riêng của học sinh lớp 12 còn rất yếu nên các em thường bị mất điểm khi gặp những
câu hỏi có liên quan đến nội dung này trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh hàng
năm. Trong bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, băn khoăn lớn
nhất và phổ biến nhất của các em là xác định khoảng cách, vì nếu không xác định
đúng khoảng cách thì không thể tính khoảng cách môt cách chính xác.

bỉ và đan xen một chút sáng tạo của học sinh. Vì tìm được cách giải một bài toán là
một phát minh.
Để giải một bài toán tính khoảng cách, ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1 : Đọc đề và phân tích đề
• Bước 2 : Dựng hình phù hợp với nội dung của đề bài.
• Bước 3 : Liên hệ nội dung cần chứng minh với các định lý, công thức có liên
quan để giải bài toán.
Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào
giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng
hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số
bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với các bước cụ thể, nhận biết các
dạng bài tập, từng bước giúp các em hình thành kỹ năng, kỹ xảo, chủ động giải quyết
các tình huống xảy ra trong quá trình giải toán, là cơ sở để các em khắc sâu kiến thức.
2
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
2. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài
a. Những khó khăn và những sai lầm mà học sinh thường mắc phải.
Trong đề tuyển sinh đại học năm 2013 vừa qua, trong đề thi của bốn khối A, A
1
,
B và D song song với bài toán tính thể tích khối đa diện thì còn thêm câu hỏi tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Các em đều có chung một cảm nhận là
câu này khó, không làm được! qua tìm hiểu và trao đổi với các em thì nguyên nhân
chính là vẽ hình chưa chuẩn xác, không xác định khoảng cách và lúng túng trong tính
toán do nhớ sai công thức.
Mặc dù kiến thức về khoảng cách , các em đã được học ở cuối học kỳ II của lớp
11, nhưng vào thời điểm đó thầy và trò phải tập trung vào ôn tập cho kỳ thi học kỳ II
nên việc truyền đạt của thầy và tiếp thu của trò chưa thật chu đáo.
Bài toán tính khoảng cách là một nội dung phức tạp bởi tính trừu tượng, phong

• 19 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 20,7 %
• 31 bài điểm 5 tỷ lệ 33,7 %
• 37 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 40,2 %
Kết quả này đã phản ánh khá trung thực về khả năng tiếp thu và vận dụng của học
sinh trong giải quyết bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,
3
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Cũng chính kết quả khiếm tốn này đã làm tôi suy nghĩ, trăn trở nhiều hơn về quá trình
hướng dẫn, truyền đạt của mình, cần phải hướng dẫn chi tiết và cụ thể hơn thông qua
các bước đi phù hợp với khả năng nhận thức của các em.
b. Biện pháp khắc phục.
Khắc phục những hạn chế nêu trên, cần có những bước đi thật cụ thể:
+ Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ dễ đến
khó, chú ý vào các dạng toán cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần
với các dạng toán có liên quan.
+ Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn học sinh
ta cần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của các em.
+ Cần tạo điều kiện cho các em có sự chuẩn bị bị ở nhà theo tổ nhóm, qua mỗi dạng
toán cần hướng dẫn các em nhận xét để rút ra những bài học kinh nghiệm nhằm khắc
sâu kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính khoảng cách.
+ Giáo viên cần hướng dẫn các em dựng hình và đọc được các chi tiết trên hình, làm
cơ sở định hướng công việc cần làm theo một trình tự nhất định, qua đó nâng cao nhận
thức của các em trong nhận định và giải quyết công việc trong cuộc sống sau này.
+ Qua mỗi bài tập, giáo viên cần hướng dẫn các em nhận xét là cở sở phân tích, suy
luận để giải quyết các bài sau khác sau này.
Thông qua từng dạng bài tập, từng bước tôi sẽ hướng dẫn học sinh xác định
được đoạn thẳng nào là khoảng cách cân tìm dựa trên cơ sở các khái niệm về khoảng
cách mà các em đã được học ở lớp 11.
Các giải pháp tôi nêu ra ở phần sau là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã

mặt phẳng
( )
α
.
Kí hiệu:
( )
,( )d O
α
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song
Cho đường thẳng
∆
song song với mặt phẳng
( )
α
.
Khoảng cách từ đường thẳng
∆
đến mặt phẳng
( )
α
là
khoảng cách từ một điểm bất kì của
∆
đến mặt phẳng
( )
α
.
Kí hiệu:
( )

β
O
H
)
M
)
α
)
α
B
B’
)
α
A
A’
∆
∆
a
M
N
b
∆
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Nhận xét:
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt
phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt

⊥ ⇔ ⊥
a (P),b (P)
b a b a'
a'
a
b
P
+ Hai mặt phẳng vuông góc
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa
một đường thẳng vuông góc
với một mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông góc với
nhau.

⊥
⇒ ⊥

⊂

a (P)
(Q) (P)
a (Q)
Q
P
a
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau thì bất
cứ đường thẳng a nào nằm
6
)


(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P), a d
d
Q
P
a
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau và A là
một điểm trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và
vuông góc với (Q) sẽ nằm
trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)

⊥

∈

⇒ ⊂

∈


⊥

học sinh từng bước chủ động , tự tin khi giải các bài toán tính khoảng cách trong hình
học không gian.
PHẦN HAI
Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian
a. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Bài toán tính khoảng các từ một điểm đến một mặt phẳng gồm 2 phần:
 Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
1) Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho mặt phẳng (P) và điểm M không nằm trên mặt phẳng (P). Để xác định khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) cần thực hiện các bước sau:
• Bước 1: Dựng mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)
• Bước 2: Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q)
7
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
• Bước 3: Kẻ MH vuông góc với giao tuyến d
( ) ( )
( ) ,( )H d MH P MH d M P∈ ⇒ ⊥ ⇒ =
2) Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
2 2 2
1 1 1
h b c
= +
Trong quá trình giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,
giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh sử dụng bổ đề: Cho mặt phẳng
( )
α
và hai điểm A,

α
. Xét điểm E nằm trên đường thẳng đi
qua hai điểm A, M sao cho:
ME
k
MA
=
. Khi đó
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
( )
α
và
khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng
( )
α
có
mối quan hệ như thế nào?
Để giải quyết bài toán cơ bản này, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Hai điểm A và E nằm cùng phía với mặt phẳng
( )
α
Trường hợp 2: Hai điểm A và E nằm khác phía với mặt phẳng
( )
α
Trường hợp 1. Hình vẽ
Cho mặt phẳng
( )
α
và điểm A không nằm trên mặt
phẳng

α
và J là điểm bất kì thuộc d. Tính khoảng
8
α
H
E
M
A
P
α
D
C
Q
I
P
A
M
E
H
J
c
A
b
B
C
H
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
cách từ điểm J đến mặt phẳng
( )

Gọi P là hình chiếu vuông góc của E trên mặt phẳng
( )
( )EP
α α
⇒ ⊥

( )
,( )EP d E
α
⇒ =
( )
( )
/ /
, ,
AH
AH EP
EP
M P H
E AM
α
α
⊥


⊥ ⇒
 


∈


IQ d I AH
α
⇒ = = =
Với cách dựng hình: IJCQ là hình chữ
nhật
IQ JC⇒ =
4) Tính khoảng cách từ điểm J đến mặt phẳng
( )
α
Gọi C là hình chiếu vuông góc của J trên mặt phẳng
( )
α
( )JC
α
⇒ ⊥
Mà:
IQ JC=
( IJCQ là hình chữ nhật)
( )
,( )
2
h
JC d J IQ
α
⇒ = = =
C cũng là hình chiếu vuông góc của D
trên mặt phẳng
( )
α
( )CD

E
P
H
M
A
Q
N
I
R
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
( )
α
. H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt
phẳng
( )
α
và
AH h
=
. Trên tia đối của tia MA lấy
điểm E sao cho:
ME
k
MA
=
.
1) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng
( )
α

/ /
, ,
AH
AH EP
EP
M P H
E AM
α
α
⊥


⊥ ⇒
 


∈

thaúng haøng
Áp dụng dịnh lí Thales vào tam giác AMH, ta có:
( )
,( ) .
EP ME
k EP d E AH k hk
AH MA
α
= = ⇒ = = =
Gọi R là hình chiếu vuông góc của
N trên mặt phẳng
( )

α


⇒

∈ ∈


3) Tính khoảng cách từ điểm Q đến mặt phẳng
( )
α
( ) ( ) ( )
/ / ,( ) ,( )EQ d Q d E hk
α α α
⇒ = =
Nhận xét. Qua hai trường hợp đã xét ở trên có thể rút ra một số nhận xét như sau:
 Đối với các bài toán: Cho mặt phẳng
( )
α
và một điểm A không nằm trên mặt phẳng
( )
α
, biết
( )
,( )d A h
α
=
; yêu cầu tính khoảng cách của một số điểm E, P,Q,… đến mặt
phẳng
( )

Hướng dẫn Bài giải
Tìm hình chiếu vuông góc của A trên
mặt phẳng (SBC) ?
Tìm một mặt phẳng chứa điểm A và
vuông góc với mặt phẳng (SBC) ?
Đó là mặt phẳng (SAB), thật vậy:
( )
BC SA
BC SAB
BC AB
⊥

⇒ ⊥

⊥

( )
( )
( ) ( )
BC SAB
SAB SBC
BC SBC
⊥

⇒ ⊥

⊂


Xác định giao tuyến của (SAB) và (SBC)

4 4AH SA AB a a a
= + = + =
( )
2 5
,( )
5
a
AH d A SBC⇒ = =
Tìm hình chiếu vuông góc của A trên
mặt phẳng (SBD) ?
Tìm một mặt phẳng chứa điểm A và
vuông góc với mặt phẳng (SBD) ?
Đó là mặt phẳng (SAC), thật vậy:
Gọi
O AC BD
= ∩
2) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SO
AK SO
⇒ ⊥
( )
BD SA
BD SAC BD AK
BD AC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥



⊂


Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)
( ) ( )
SAC SBD SO∩ =
( )
AK SO
AK SBD
AK BD
⊥

⇒ ⊥

⊥

( )
,( )AK d A SBD⇒ =
Trong tam giác vuông SAO, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 9
4 4AK SA OA a a a
= + = + =
( )
3
,( )
2
a
AK d A SBD⇒ = =

Gọi
O ED FC= ∩
Chứng minh:
ED FC
⊥
( )
FC SE
FC SED
FC ED
⊥

⇒ ⊥

⊥

( )
( )
( ) ( )
FC SED
SFC SED
FC SFC
⊥

⇒ ⊥

⊂


Khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SFC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của E trên SO

có:
2 2
5
2
a
ED AE AD= + =
CDF
∆
có OD là đường cao
2 2 2 2
1 1 1 5
OD CD FD a
⇒ = + =
5
a
OD⇒ =
12
B
S
A
C
D
E
F
O
H
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Xác định giao tuyến của (SFC) và (SED)
( ) ( )

( )
BC SOM⊥

OH BC⇒ ⊥
Chứng minh:
( )
OH SBC⊥
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông:
2 2 2
1 1 1
h b c
= +
1) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)
( )
. S ABCD
SO ABCD
AC BD O

⇒ ⊥

∩ =

laø hình choùp ñeàu
Gọi M, H theo thứ tự lần lượt là hình chiếu vuông góc
của S trên BC và SM
( )
BC OM
BC SOM BC OH
BC SM

OH SO OM a a a
= + = + =
13
A
B
C
D
O
M
H
K
S
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
( )
6
,( )
6
a
OH d O SBC⇒ = =
Hai điểm O, D nằm cùng phía với mặt
phẳng (SBC) và
( )OD SBC B∩ =
( )
( )
,( )
2
,( )
d D SBC
BD

0
30SBC =
.
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
theo
a
Trích đề tuyển sinh Đại học Khối D năm 2011
Hướng dẫn Bài giải
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau
thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với giao
tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Dựng
SH BC⊥

( )H BC∈
Chứng minh:
( )
SH ABC⊥
2) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
Trong tam giác vuông SHB, ta có:
0
.cos30 3BH SB a= =
4
4
4 3
BC BC a
HC BC BH a a
⇒ = = =
− −

( )
HK SM
HK SAC
HK AC
⊥

⇒ ⊥

⊥


( )
,( )HK d H SAC⇒ =
14
A
B
C
M
H
K
S
) 30
0
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Vì:
4
BC
HC
=

d H SAC HC
= =
( ) ( )
6 7
,( ) 4 ,( )
7
a
d B SAC d H SAC⇒ = =
Bài toán 5 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
·
·
0
90ABC BAD= =
,
, 2BA BC a AD a= = =
.Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và
2SA a=
.Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD
vuông và tính (theo a) khoảng cách từ điểm H đến
mặt phẳng (SCD)
Trích đề tuyển sinh Đại học Khối D năm 2007
Hướng dẫn Bài giải
Chứng minh
ACD∆
vuông tại C
Chứng minh:
( )

,( )
,( )
d B SCD
EB
d A SCD EA
=
2) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD)
Kẻ
AK SC⊥

( )K SC∈
( )
CD SAC CD AK⊥ ⇒ ⊥
( )
AK SC
AK SCD
AK CD
⊥

⇒ ⊥

⊥


( )
,( )AK d A SCD⇒ =
Trong tam giác ABC, ta có:
2 2 2 2
2AC AB BC a= + =
Trong tam giác vuông SAC, ta có:

( )
,( )
,( )
d H SCD
SH
d B SCD SB
=
Vì:
2
3
SH
SB
=
( ) ( )
2
,( ) ,( )
3
d H SCD d B SCD⇒ =
( )
2 2 2 2
1 1 1 1
,( )AK d A SCD a
AK SA AC a
= + = ⇒ = =
Gọi
1
2
EB
E AB CD
EA

2
,( ) 3
d H SCD
SH
d B SCD SB
= =
( ) ( )
2
,( ) ,( )
3 3
a
d H SCD d B SCD⇒ = =
Bài toán 6 Hình vẽ
Cho lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A BC D
có đáy ABCD là hình chữ
nhật,
, 3AB a AD a= =
. Hình chiếu vuông góc của
điểm
1
A
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm
của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng
( )
1 1
ADD A
và
( )

Gọi
( )
1
O AC BD A O ABCD= ∩ ⇒ ⊥
Gọi E là trung điểm của AD
1
OE AD
A E AD
⊥

⇒

⊥

( ) ( )
( )
( )
1 1
1 1 1 1
,
,
ADD A ABCD AD
A E ADD A A E AD
OE ABCD OE AD
∩ =

⊂ ⊥


⊂ ⊥

A
B
H
D
)
C
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
0 0
1
3
.tan 60 tan 60
2 2
AB a
AO OE= = =
Diện tích đáy ABCD:
2
. 3
ABCD
S AB AD a= =
1 1 1 1
3
. 1
3
.
2
ABCD A B C D ABCD
a
V AO S⇒ = =
(đvtt)

1
CH BD
CH A BD
CH AO
⊥

⇒ ⊥

⊥

( ) ( )
1 1 1
,( ) ,( )CH d C A BD d B A BD⇒ = =
Trong tam giác vuông
BCD
, ta có:
( )
1 1
2 2 2 2
1 1 1 4 3
,( )
3 2
a
CH d B A BD
CH CB CD a
= + = ⇒ = =
Bài toán 7 Hình vẽ
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình
vuông, tam giác A’AC vuông cân,
'A C a=

A C a
AA AC⇒ = = =
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
2
' '
2 2 2
AC a a
AB BC B C= = = ⇒ =
( ) ( )
' ' ' ' ' ' 'B C ABB A B C ABB⇒ ⊥ ⇒ ⊥
17
A’
A
H
D’
C’
B’
D
C
B
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
3
' ' '. ' '
1 1 2
' '. ' '. . '
3 6 48
ABB C C ABB ABB
a
V V B C S B C AB BB

( )
,( ')AH d A BCD⇒ =
Trong tam giác vuông
'ABA
, ta có:
( )
2 2 2 2
1 1 1 6 6
,( ')
' 6
a
AH d A BCD
AH AA AB a
= + = ⇒ = =
Bài toán 8 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
a
,
cạnh bên SA vuông góc với đáy,
·
0
120BAD =
, M là
trung điểm của cạnh BC và
·
0
45SMA =
.Tính theo
a
thể

45SMA =
nên là tam giác
vuông cân tại A, tính độ dài SA
1) Thể tích khối chóp S.ABCD
·
·
0
0
60
120
ABCD
ABC
BAD


⇒ =

=


laø hình thoi
ABC∆
có:
·
0
60
3
2
BA BC a
AM BC

SMA SA AM
a
AM


⊥


= ⇒ = =



=


2
3
2 .
2
ABCD ABC
a
S S AM BC
∆
= = =
2 3
.
1 1 3 3
. . .
3 3 2 2 4
S ABCD ABCD

SAM
, ta có:
( )
2 2 2 2
1 1 1 8 6
,( )
3 4
a
AH d D SBC
AH SA AM a
= + = ⇒ = =
Bài toán 9 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a
,
mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo
a
thể
tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng (SCD)
Trích đề tuyển sinh Đại học Khối B năm 2013
Hướng dẫn Bài giải
19
A
H
S
B
K
D

( ) ( )
( )
( )
,
SAB ABCD AB
SAB ABCD SH ABCD
SH SAB SH AB
=






3
2
.
1 1 3 3
. . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
a a
V SH S a= = =
(vtt)
Cỏch suy lun v trỡnh by tng t
cõu 2 ca bi toỏn 6 v bi toỏn 8
2) Khong cỏch t im A n mt phng (SCD)
Ta cú:
( )
/ / / /AB CD AB SCD


( ) ( )
,( ) ,( )HE d H SCD d A SCD = =
Trong tam giỏc vuụng
SHK
, ta cú:
( )
2 2 2 2
1 1 1 7 21
,( )
3 7
a
HE d A SCD
HE SH HK a
= + = = =
Bi toỏn 10 Hỡnh v
Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng ti A
ã
0
30 ,ABC =
SBC l tam giỏc u cnh
a
v mt bờn
SBC vuụng gúc vi ỏy. Tớnh theo
a
th tớch khi
chúp S.ABC v tớnh khong cỏch t im C n mt
phng (SAB)
Trớch tuyn sinh i hc Khi A, A
1


=


1) Thể tích khối chóp S.ABC
Gọi H là trung điểm của BC
SH BC
⇒ ⊥

( ) ( )
( ) ( )
( )
SBC ABC
SBC ABC BC SH ABC
SH BC
⊥

∩ = ⇒ ⊥


⊥

;
.
1 1
. . .
3 6
S ABC ABC
V SH S SH AB AC
∆


SH
là đường cao của tam giác đều SBC cạnh a
3
2
a
SH⇒ =

3
.
1 1
. . .
3 6 16
S ABC ABC
a
V SH S SH AB AC
∆
= = =
(đvtt)
Tính gián tiếp thông qua công thức
tính thể tích của khối chóp
( )
. .
1
,( ) .
3
S ABC C SAB SAB
V V d C SAB S
∆
= =

 
= − = − =
 ÷
 ÷
 

2
1 1 13 3 39
. . .
2 2 4 2 16
SAB
a a a
S SM AB
∆
⇒ = = =( )
. .
1
,( ) .
3
S ABC C SAB SAB
V V d C SAB S
∆
= =

( )
3
.

SB SC SD= = =

3
2
a
AB BC CD DA= = = =
21
B
A
H
S
O
C
D
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Hướng dẫn Bài giải
Cần chứng minh: Tam giác SAC có

2
AC
OS OA OC= = =
1) Chứng minh:
SA SC
⊥
Gọi
O AC BD= ∩
BD
SD CD SBD BCD
SB BC

ABCD là hình thoi
AC BD
⇒ ⊥
SBD
∆
có:
SB SD
SO BD
OB OD
=

⇒ ⊥

=

( )
BD SO
BD SAC
BD AC
=

⇒ ⊥

=

( )
( )
( ) ( )
BD SAC
SAC ABCD

( )
21
,( )
7
a
SH d S ABCD⇒ = =
Bài toán 12 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác
đều nội tiếp trong đường tròn đường kính
2AD a=
,
SA vuông góc với mặt đáy và
6SA a=

1) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SCD)
2) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)
22
B
A
H
S
K
C
D
E
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Hướng dẫn Bài giải
Tìm một mặt phẳng chứa điểm A và
vuông góc với mặt phẳng (SCD) ?

=

( )
( )
( ) ( )
CD SAC
SAC SCD
CD SCD
⊥

⇒ ⊥

⊂


Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC
AH SC⇒ ⊥
( )
CD SAC CD AH⊥ ⇒ ⊥
( )
AH SC
AH SCD
AH CD
⊥

⇒ ⊥

⊥



BC AE
=

⇒ ⊥

=

( )
( )
( ) ( )
BC SAE
SAE SBC
BC SBC
⊥

⇒ ⊥

⊂


Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SE
AK SE
⇒ ⊥
( )
BC SAE BC AK⊥ ⇒ ⊥
( )
AK SE
AK SBC
AK BC
⊥

B
A
2a
C
D
a
E
30
0
(
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
( )
6
,( )
3
a
AK d A SBC⇒ = =
Bằng cách hướng dẫn phân tích nội dung đề bài, dựng hình và thực hiện các
bước đi cụ thể, từng bước các em cũng đã biết tự mình giải quyết một số tình huống
trong các bài tập tương tự.
Bên cạnh bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, các em còn
được hướng dẫn phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
b. Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài toán: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng

K
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
3SH a=
.
1) Tính thể tích khối chóp S.CDNM
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC
theo a
Trích đề tuyển sinh Đại học Khối A năm 2010
Hướng dẫn Bài giải

( )
CDNM ABCD AMN BCM
S S S S
∆ ∆
= − +
1) Thể tích khối chóp S.CDNM
( ) ( )
SH ABCD SH CDNM⊥ ⇒ ⊥
.
1
.
3
S CDNM CDNM
V SH S=
( )
2 2 2
2
5

của DM và SC
( )
,HK d DM SC⇒ =
2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC
Kẻ
HK SC⊥

( )K SC∈
·
·
CDM DAM DCN ADM∆ = ∆ ⇒ =
Trong
CDN∆
,ta có:
·
·
·
·
0 0
90 90DNC DCN DNC ADM DM CN+ = ⇒ + = ⇒ ⊥
( )
DM CN
DM SHC
DM SH
⊥

⇒ ⊥

⊥


5
a
DH
DH DN DC a a a
= + = + = ⇒ =
Trong tam giác vuông DHC, ta có:
2 2
2 2 2 2
4
5 5
a a
HC CD DH a= − = − =
Trong tam giác vuông SHC, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 5 19
3 4 12HK SH HC a a a
= + = + =
25
D
A
B
C
N
M