0
MỘT TRĂM BÀI TẬP
HÌNH HỌC LỚP 9. Phần 1: 50 bài tập cơ bản.

1


2. Chứng minh: góc DEA=ACB.
3. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân
giác của góc MAN.
5. Chứng tỏ: AM
2
=AE.AB.
Giợi ý: y
A
x
N
E D
M O
B C Ta phải c/m xy//DE.
Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ góc xAB=
2
1
sđ cung AB.
Mà sđ ACB=
2
1
sđ AB. góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt)
xAB=AED hay xy//DE.
4.C/m OA là phân giác của góc MAN.
3

Bài 2:
Cho(O) đ?ờg kính AC.trên đạ OC lấ để B và vẽđ?ờg tròn tâm O’, đ?ờg kính
BC.Gọ M là trung để củ đạ AB.TừM vẽdây cung DE vuông góc vớ AB;DC cắ đ?ờg
tròn tâm O’ tạ I.
1.Tứgiác ADBE là hình gì?
2.C/m DMBI nộ tiế.
3.C/m B;I;C thẳg hàng và MI=MD.
4.C/m MC.DB=MI.DC
5.C/m MI là tiế tuyế củ (O’)
Gợ ý: D
I

A M O B O’ C
E
3.C/m B;I;E thẳg hàng.
Do AEBD là hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nộ tiế chắ nử đ?ờg
tròn)BEDC; CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua 1 để B có hai đ?ờg

BID+DMB=2vđcm.
Hình 2 4

2. BC cắ (O) ởE.Cmr:MR là phân giác củ góc AED.
3. C/m CA là phân giác củ góc BCS.
Gợ ý:
D S

A M

O
B E C

AEM=MED.
4.C/m CA là phân giác củ góc BCS.
-Góc ACB=ADB (Cùng chắ cung AB)
-Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS)
-Mà góc DSM=DCM(Cùng chắ cung MD)

2. C/m ME là phân giác củ góc AED.
3. C/m: Góc ASM=ACD.
4. Chứg tỏME là phân giác củ góc AED.
5. C/m ba đ?ờg thẳg BA;EM;CD đ?ng quy.
Gợ ý:
A
S
D
M

B E C
ABD=ACD (Cùng chắ cung AD)
Do MECD nộ tiế nên MCD=MED (Cùng chắ cung MD)
Do MC là đ?ờg kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nộ tiếGóc
MEA=ABD. Góc MEA=MEDđcm
3.C/m góc ASM=ACD.
Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD)
Mà góc SMD=SCD(Cùng chắ cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắ cung
SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD.
Vậ Góc A SM=ACD.
4.C/m ME là phân giác củ góc AED (Chứg minh nhưcâu 2 bài 2)

Gợ ý:

A N E
O I B D M C
F
A’
1/C/m AEDB nộ tiế.(Sửdụg hai để D;E cùng làm vớ hai đ?u đạ AB…
2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chứg minh đ?ợ hai tam giác vuông DBA và
A’CA đ?ng dạg.
3/ C/m DEAC.
Do ABDE nộ tiế nên góc EDC=BAE(Cùng bù vớ góc BDE).Mà góc
BAE=BCA’(cùng chắ cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà góc
ACA’=1v nên DEAC.
4/C/m MD=ME=MF.
Gọ N là trung để AB.Nên N là tâm đ?ờg tròn ngoạ tiế tứgiác ABDE. Do
M;N là trung để BC và AB MN//AC(Tính chấ đ?ờg trung bình)
Do DEAC MNDE (Đ?ờg kính đ qua trung để mộ dây…MN là đ?ờg trung trự
củ DE ME=MD.
 Gọ I là trung để AC.MI//AB(tính chấ đ?ờg trung bình)
A’BC=A’AC (Cùng chắ cung A’C).
Do ADFC nộ tiế Góc FAC=FDC(Cùng chắ cung FC) Góc A’BC=FDC hay
DF//BA’ Mà ABA’=1vMIDF.Đ?ờg kính MIdây cung DFMI là đ?ờg trung
trự củ DFMD=MF. Vậ MD=ME=MF.


FE).Góc AMB=FME.(2)
Từ(1)và(2) suy ra :EFMABM đpcm.
3/C/m AMPFMQ.
Ta có EFMABM (theo c/m trên)
MF
AM
FE
AB
 ma AM=2AP;FE=2FQ (gt)

FM
AM
FQ
AP
MF
AM
FQ
AP

2
2
và góc PAM=MFQ (suy ra từ EFMABM)
Vậy: AMPFMQ.
4/C/m góc:PQM=90
o
.
Do góc AMP=FMQ PMQ=AMF PQMAFM góc MQP=AFM Mà góc
AFM=1vMQP=1v(đcm).
B O C F I
D G E

Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung;
Góc BE F=FED =45
o
;BE=ED(hai cạh củ hình vuông ABED).BFE=E FD
BF=FDBF=FC=FD.đcm.
3/C/m GE FB nộ tiế:
Do BFC vuông cân ởF Cung BF=FC=90
o
. sđóc GBF=
2
1
Sđcung
BF=
2
1
.90
o
=45
o
.(Góc giữ tiế tuyế BG và dây BF)
Mà góc FED=45

BC=FC.
Hình 7 9

Cho ABC có 3 góc nhọ nộ tiế trong (O).Tiế tuyế tạ B và C củ đ?ờg tròn cắ nhau tạ
D.TừD kẻđ?ờg thẳg song song vớ AB,đ?ờg này cắ đ?ờg tròn ởE và F,cắ AC ởI(E nằ
trên cung nhỏBC).
1. C/m BDCO nộ tiế.
2. C/m: DC
2
=DE.DF.
3. C/m:DOIC nộ tiế.
4. Chứg tỏI là trung để FE. A
F

O I
B C

E
D
sđcung EC(Góc giữ
tiế tuyế và mộ dây)
Sđgóc E FC=
2
1
sđcung EC(Góc nộ
tiế)góc ECD=DFC.
DCE DFCđcm.
3/C/m DOIC nộ tiế: Hình 8 10

Bài 9:
Cho (O),dây cung AB.Từđể M bấ kỳtrên cung AB(MA và MB),kẻdây cung
MN vuông góc vớ AB tạ H.Gọ MQ là đ?ờg cao củ tam giác MAN.
1. C/m 4 để A;M;H;Q cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn.
2. C/m:NQ.NA=NH.NM
3. C/m Mn là phân giác củ góc BMQ.
4. Hạđạ thẳg MP vuông góc vớ BN;xác đ?nh vịtrí củ M trên cung AB đ?
MQ.AN+MP.BN có giác trịlớ nhấ.
Giả:Có 2 hình vẽcách c/m tư?ng tựSau đy chỉC/m trên hình 9-a. M
P
A I H B

MAN
+ 2S
MBN
=2(S
MAN
+ S
MBN
)=2S
AMBN
=2.
2
MNAB

=AB.MN
Vậ: MQ.AN+MP.BN=AB.MN
Mà AB không đ?i nên tích AB.MN lớ nhấ MN lớ nhấMN là đ?ờg kính
M là để chính giữ cung AB.

Bài 10:
Hình
9b

Hình
9a 11

Cho (O;R) và (I;r) tiế xúc ngoài tạ A (R> r) .Dựg tiế tuyế chung ngoài BC (B
nằ trên đ?ờg tròn tâm O và C nằ trên đ? ờg tròn tâm (I).Tiế tuyế BC cắ tiế tuyế tạ A

và EAOI(Tính chấ tiế tuyế).Ap dụg hệthứ lư?ng trong tam giác vuông có:
AH
2
=OA.AI(Bình phư?ng đ?ờg cao bằg tích hai hình chiế)
Mà AH=
2
BC
và OA=R;AI=r 
4
2
BC
RrBC
2
=Rr
4/S
BCIO
=? Ta có BCIO là hình thang vuông S
BCIO
=
BC
ICOB


2

S=
2
)( rRRr 



4. Tìm tậ hợ các để K khi M thay đ?i trên OB.
Giả:
A

O M B

H

K
I
Cùng chắ cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45
o
.
OKH vuông cân ởKOH=KH
4/Tậ hợ các để K… Do OKKB OKB=1v;OB không đ?i khi M di đ?ng K nằ
trên đ?ờg tròn đ?ờg kính OB.
Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính giữa cung AB.Vậy quỹ tích điểm K
là
13

Bài 12:
Cho (O) đ?ờg kính AB và dây CD vuông góc vớ AB tạ F.Trên cung BC lấ để
M.Nố A vớ M cắ CD tạ E.
1. C/m AM là phân giác củ góc CMD.
2. C/m EFBM nộ tiế.
3. Chứg tỏAC2=AE.AM
4. Gọ giao để CB vớ AM là N;MD vớ AB là I.C/m NI//CD
5. Chứg minh N là tâm đ?ờg trèon nộ tiế CIM
Giả:
C
N M

A F O B
I
D AMB+EFB=2vđcm.
3/C/m AC
2

đ?ờg tròn)
EFB=1v(Do ABEF) 14

3. Gọ I là giao để củ BC và DE.C/m AB
2
=AI.AH.
4. BH cắ (O) ởK.C/m AE//CK.

B
E H
I D
O A
K C
1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn: H là trung để EBOHED(đ?ờg
kính đ qua trung để củ dây …AHO=1v. Mà OBA=OCA=1v (Tính chấ tiế tuyế)
A;B;O;H;C cùng nằ trên đ?ờg tròn đ?ờg kính OA.
2/C/m HA là phân giác củ góc BHC.
Do AB;AC là 2 tiế tuyế cắ nhau BAO=OAC và AB=AC
cung AB=AC(hai dây băg nhau củ đ?ờg tròn đOA) mà BHA=BOA(Cùng chắ
cung AB) và COA=CHA(cùng chắ cung AC) mà cung AB=AC COA=BOH
CHA=AHBđcm.

AOC cân ởOOCA=CAO; góc
CAO=ANB(cùng phụvớ góc
AMB)góc ACD=ANM.
Mà góc ACD+DCM=2v
DCM+DNM=2v DCMB nộ tiế.
2/C
/m: AC.AM=AD.AN 15 M
C

A O B
K
D
H I

N
MNIHMN là IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH. Vậ cách dựg I:TừO dựg đ?ờg vuông góc vớ
CD.Từtrung để H củ MN dựg đ?ờg vuông góc vớ MN.Hai đ?ờg này cách nhau ởI.
Do H là trung để MNAhlà trung tuyế củ vuông AMNANM=NAH.Mà

P O
G
B F C

E
M D

4/C/m: DE.DG=DF.DH .
Xét hai tam giác DEH và DFG có:
Do EHAD nộ tiế HAE=HDE(cùng chắ cung HE)(1)
Và EHD=EAD(cùng chắ cung ED)(2)
Vì F=G=90oDFGC nộ tiếFDG=FCG(cùng chắ cung FG)(3)
FGD=FCD(cùng chắ cung FD)(4)
Nhưg FCG=BCA=HAB(5).Từ(1)(3)(5)EDH=FDG(6).
Từ(2);(4) và BCD=BAD(cùng chắ cungBD)EHD=FGD(7)
Từ(6)và (7)EDHFDG
DG
DH
DF
ED
 đcm.
5/C/m: E;F;G thẳg hàng:
Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt)
Do ABCD nộ tiếBAC+BMC=2v;do GDEA nộ tiếEDG+EAG=2v. EDG=BDC mà
EDG=EDB+BDG và BCD=BDG+CDGEDB=CDG GFC=BEFE;F;G thẳg hàng.

1/C/m AHED nộ tiế(Sửdụg hai để

4. AI kéo dài cắ đ?ờg thẳg BM tạ N.Chứg minh AC=BN
5. C/m: NMIC nộ tiế.

N M
A
K

B I C
KBC=KCB Vậ BMC=2ACB
3/C/m BC
2
=2AC.KC
Xét 2  vuông ACB và ICK có C chungACBICK

CK
CB
IC
AC
 IC=
2
BC

KBC).
Do I là trung để BC
và KIBC(gt)
KBC cân ởK
Hình
16 18

3. C/m H;O;K thẳg hàng.
4. Gọ giao để HKvà CM là I.Khi C di đ?ng trên nử đ?ờg tròn thì I chạ trên đ?ờg
nào? C

H
A O B
I
P Q K M 2/C/m CHMK là hình vuông:
Do  vuông HCM có 1 góc bằg 45
o
nên CHM vuông cân ởH HC=HM, tư?ng

BCAACM=MCB=45
o
.
cungAM=MB=90
o
.
dây AM=MB có O là
trung để AB OMAB hay
gócBOM=BKM=1v
BOMK nộ tiế. Hình
17
x A B
M
H I O J

N K 19
bằg nhau)OJK=OCKCJ cùng làm vớ hai đ?u đạ OK nhữg góc bằg nhauOKCJ nộ tiế
KOC=KJC (cùng chắ cung KC);KJC=DAC(cùng chắ cung DC)KOC=DACOK//AD
mà ADHJOKHOHDKC nộ tiế.



20

M
I

H

B
O
ABài 19:
Cho nử đ?ờg tròn (O) đ?ờg kính AB,bán kính OCAB.Gọ M là 1 để trên cung
BC.Kẻđ?ờg cao CH củ tam giác ACM.
1. Chứg minh AOHC nộ tiế.
2. Chứg tỏCHM vuông cân và OH là phân giác củ góc COM.
3. Gọ giao để củ OH vớ BC là I.MI cắ (O) tạ D.Cmr:CDBM là hình thang cân.
4. BM cắ OH tạ N.Chứg minh BNI và AMC đ?ng dạg,từđ suy ra: BN.MC=IN.MA. C N
D


.
Do CMBD là thang cânCD=BM cungCD=BM mà cung
AC=CBcungAD=CM… và CAM=CBM(cùng chắ cung CM)
INB=CMA đcm

Bài 20:
Cho  đ?u ABC nộ tiế trong (O;R).Trên cnạ AB và AC lấ hai để M;N sao cho
BM=AN.
1. Chứg tỏOMN cân.
2. C/m :OMAN nộ tiế.
3. BO kéo dài cắ AC tạ D và cắ (O) ởE.C/m BC
2
+DC
2
=3R
2
.
4. Đ?ờg thẳg CE và AB cắ nhau ởF.Tiế tuyế tạ A củ (O) cắ FC tạ I;AO kéo dài cắ BC
tạ J.C/m BI đ qua trung để củ AJ.

F
1/C/m AOHC nộ tiế:
(họ sinh tựchứg
minh)
2/C/mCHM vuông
cân:
Do OCAB trạ trung
để OCung
AC=CB=90
o


K
O

A I

E
M

B J C
AOC=120
o
AOE=60
o
AOE là tam giác đ?u có ADOEOD=ED=
2
R

Ap dụg Pitago ta có:OD
2
=OC

1
BF mà AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) và AJBCAI//BC có A là trung để
BFI là trung để CF. Hay FI=IC.
Do AK//FI.Ap dụg hệquảTalét trong BFI có:
BI
BK
EI
AK


Do KJ//CI.Ap dụg hệquảTalét trong BIC có:
BI
BK
CJ
KJ

Mà FI=CIAK=KJ (đcm)


Bài 21:
Cho ABC (A=1v)nộ tiế trong đ?ờg tròn tâm (O).Gọ M là trung để cạh
AC.Đ?ờg tròn tâm I đ?ờg kính MC cắ cạh BC ởN và cắ (O) tạ D.
1. C/m ABNM nộ tiế và CN.AB=AC.MN.
2. Chứg tỏB,M,D thẳg hàng và OM là tiế tuyế củ (I).
3. Tia IO cắ đ?ờg thẳg AB tạ E.C/m BMOE là hình bình hành.
4. C/m NM là phân giác củ góc AND.
A

E
Hay BDDC. Qua để D có hai đ?ờg thẳg BD và DM cùng vuông góc vớ
DCB;M;D thẳg hàng.
C/m OM là tiế tuyế củ (I):Ta có MO là đ?ờg trung bình củ ABC (vì M;O là
trung để củ AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay
MOIC;M(I)MO là tiế tuyế củ đ?ờg tròn tâm I.
3/C/m BMOE là hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I là trung để MC;O là
trung để BCOI là đ?ờg trung bình củ MBCOI//BM hay OE//BMBMOE là
hình bình hành.
4/C/m MN là phân giác củ góc AND:
Do ABNM nộ tiế MBA=MNA(cùng chắ cung AM)
MBA=ACD(cùng chắ cung AD)
Do MNCD nộ tiế ACD=MND(cùng chắ cung MD)
ANM=MNDđcm. 
Bài 22:
Cho hình vuông ABCD có cạh bằg a.Gọ I là để bấ kỳtrên đ?ờg chéo AC.Qua I
kẻcác đ?ờg thẳg song song vớ AB;BC,các đ?ờg này cắ AB;BC;CD;DA lầ lư?t
ởP;Q;N;M.
1. C/m INCQ là hình vuông.
2. Chứg tỏNQ//DB.
3. BI kéo dài cắ MN tạ E;MP cắ AC tạ F.C/m MFIN nộ tiế đ?ợ trong đ?ờg


I

B Q C Hay NQACNQ//DB.
3/C/m MFIN nộ tiế: Do MPAI(tính chấ hình vuông)MFI=1v;MIN=1v(gt)
hai để F;I cùng làm vớ hai đ?u đạ MN…MFIN nộ tiế.
Tâm củ đ?ờg tròn này là giao để hai đ?ờg chéo hình chữnhậ MFIN.
4/C/m MPQN nộ tiế:
Do NQ//PMMNQP là hình thang có PN=MQMNQP là thang cân.Dễdàng C/m
thang cân nộ tiế.
TÍnh S
MNQP
=S
MIP
+S
MNI
+S
NIQ
+S
PIQ
=
2
1
S
AMIP
+
2




Bài 23:
Cho hình vuông ABCD,N là trung để DC;BN cắ AC tạ F,Vẽđ?ờg tròn tâm O đ?ờg
kính BN.(O) cắ AC tạ E.BE kéo dài cắ AD ởM;MN cắ (O) tạ I.
1. C/m MDNE nộ tiế.
2. Chứg tỏBEN vuông cân.
3. C/m MF đ qua trự tâm H củ BMN.
4. C/m BI=BC và IE F vuông.
5. C/m FIE là tam giác vuông.
Q B
A

M
D N C

Hình
22

1/C/m MDNE n
ộ tiế.

Ta có NEB=1v(góc nt chắ nử

(t/c hv);MBF=45
o
(cmt)MAF=MBF=45
o
MABF nộ tiế.MAB+MFB=2v mà
MAB=1v(gt)MFB=1v hay MFBM(2)
Từ(1)và (2)M;H;F thẳg hàng.
4/C/m BI=BC: Xét 2vuông BCN và BIN có cạh huyề BN chung;NBC=NEC (cùng chắ cung
NC).Do MEN=MFN=1vMEFN nộ tiếNEC=FMN(cùng chắ cung FN);FMN=IBN(cùng phụvớ
góc INB)IBN=NBCBCN=BIN.BC=BI
*C/m IEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắ cung EB) và ECB=45
o
EIB=45
o

Do HIN+HFN=2vIHFN nộ tiếHIF=HNF (cùng chắ cung HF);mà HNF=45
o
(do EBN vuông
cân)HIF=45
o
. Từvà EIF=1v đcm
5/ * C/mBM là đ?ờg trung trự củ QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)ABI cân ởB.Hai vuông ABM
và BIM có cạh huyề BM chung;AB=BIABM=BIMABM=MBI;ABI cân ởB có BM là phân
giác BM là đ?ờg trung trự củ QH.
*C/mMQBN là thang cân: Tứgiác AMEQ có A+QEN=2v(do ENBM theo cmt) AMEQ nộ
tiếMAE=MQE(cùng chắ cung ME) mà MAE=45
o
và ENB=45
o
(cmt) MQN=BNQ=45


N D Mà HAM=MHC (cùng phụvớ góc ACH).
Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)MCNH là hình chữnhậ MH//CN hay MHC=HCNHKM=HCN.
4/C/m: M;N;I;K cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn.
1/C/m AMHK nộ tiế:
Dùng tổg hai góc đ?i)
2/C/m: JA.JH=JK.JM
Xét hai tam giác:JAM
và JHK có: AJM=KJH
(đ?).Do AKHM nt
HAM=HKM( cùng
chắ cung HM)
JAMJKH
đcm
3/C/m HKM=HCN
vì AKHM nộ tiế
HKM=HAM(cùng
chắ cung HM)

Hình
24