TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p đ ng tròn (O). Các đ ng cao AD, BE, CF c t nhauọ ộ ế ườ ườ ắ
t i ạ
H và c t đ ng tròn (O) l n l t t i M,N,P.ắ ườ ầ ượ ạ
Ch ng minh r ng:ứ ằ
1. T giác CEHD, n i ti p .ứ ộ ế
2. B n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đ ng tròn.ố ể ằ ộ ườ
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đ i x ng nhau qua BC.ố ứ
5. Xác đ nh tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF.ị ườ ộ ế
L i gi i:ờ ả
1. Xét t giác CEHD ta có:ứ
∠ CEH = 90
0
( Vì BE là đ ng cao)ườ
∠ CDH = 90
0
( Vì AD là đ ng cao)ườ
=> ∠ CEH + ∠ CDH = 180
0H
(
(
2
-
-
2
1

AD
AE
=
=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 90
0
; ∠C là góc chung
=> ∆ BEC ∼ ∆ADC =>
AC
BC
AD
BE
=
=> AD.BC = BE.AC.
4. Ta có ∠C
1
= ∠A
1
( vì cùng ph v i góc ABC)ụ ớ
∠C
2
= ∠A
1
( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung BM)ộ ế ắ
=> ∠C
1
= ∠ C
2
=> CB là tia phân giác c a góc HCM; l i có CB ủ ạ ⊥ HM => ∆ CHM cân t i C ạ
=> CB cũng là đ ng trung tr c c a HM v y H và M đ i x ng nhau qua BC.ươ ự ủ ậ ố ứ

đ ng tròn (O).ườ
5. Tính đ dài DE bi t DH = 2 Cm,ộ ế
AH = 6 Cm.
L i gi i:ờ ả
1. Xét t giác CEHD ta có:ứ
∠ CEH = 90
0
( Vì BE là đ ng cao)ườ
ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN
TRÂN
1

TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9H

1
3
2
1
1
O

E

D

C


1
= ∠A
1
(1).
Theo trên DE =
2
1
BC => tam giác DBE cân t i D => ạ ∠E
3
= ∠B
1
(2)
Mà ∠B
1
= ∠A
1
( vì cùng ph v i góc ACB) => ụ ớ ∠E
1
= ∠E
3
=> ∠E
1
+ ∠E
2
= ∠E
2
+ ∠E
3

Mà ∠E

1.Ch ng minh AC + BD = CD.ứ
2. Ch ng minh ứ ∠COD = 90
0
.
3.Ch ng minh AC. BD = ứ
4
2
AB
.
4.Ch ng minh OC // BMứ
5.Ch ng minh AB là ti p tuy n c a đ ng tròn đ ng kínhứ ế ế ủ ườ ườ
CD.
5.Ch ng minh MN ứ ⊥ AB.
6.Xác đ nh v trí c a M đ chu vi t giác ACDB đ t giá tr nhị ị ủ ể ứ ạ ị ỏ
nh t.ấ
L i gi i:ờ ả

/

/

y

x

N

C

D

=> AC. BD =
4
2
AB
.
4.Theo trên ∠COD = 90
0
nên OC ⊥ OD .(1)
Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: DB = DM; l i có OM = OB =R => OD là trung tr cấ ế ế ắ ạ ự
c a BM => BM ủ ⊥ OD .(2). T (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc v i OD).ừ ớ
5.G i I là trung đi m c a CD ta có I là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác COD đ ng kính CD cóọ ể ủ ườ ạ ế ườ
IO là bán kính.
Theo tính ch t ti p tuy n ta có AC ấ ế ế ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => t giác ACDB là hình thang.ứ
L i có I là trung đi m c a CD; O là trung đi m c a AB => IO là đ ng trung bình c a hình thangạ ể ủ ể ủ ườ ủ
ACDB
⇒
IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB t i O => AB là ti p tuy n t i O c a đ ng tròn đ ng kínhạ ế ế ạ ủ ườ ườ
CD
6. Theo trên AC // BD =>
BD
AC
BN
CN
=
, mà CA = CM; DB = DM nên suy ra
DM
CM
BN
CN
=

+ ∠I
1
= 90
0
(2)
( vì ∠IHC = 90
0
).o

1

2

1

H

I

C

A

B

K


225129
2222
=+=+ HCOH
= 15 (cm)
Bài 5 Cho đ ng tròn (O; R), t m t đi m A trên (O) k ti p tuy n d v i (O). Trên đ ng th ng d l yườ ừ ộ ể ẻ ế ế ớ ườ ẳ ấ
đi m M b t kì ( M khác A) k cát tuy n MNP và g i K là trung đi m c a NP, k ti p tuy n MB (B làể ấ ẻ ế ọ ể ủ ẻ ế ế
ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN
TRÂN
3

TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9
ti p đi m). K AC ế ể ẻ ⊥ MB, BD ⊥ MA, g i H là giao đi m c a AC và BD, I là giao đi m c a OM vàọ ể ủ ể ủ
AB.
1. Ch ng minh t giác AMBO n i ti p.ứ ứ ộ ế
2. Ch ng minh năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m tứ ể ằ ộ
đ ng tròn .ườ
3. Ch ng minh OI.OM = Rứ
2
; OI. IM = IA
2
.
4. Ch ng minh OAHB là hình thoi.ứ
5. Ch ng minh ba đi m O, H, M th ng hàng.ứ ể ẳ
6. Tìm qu tích c a đi m H khi M di chuy n trên đ ng th ngỹ ủ ể ể ườ ẳ
d
L i gi i:ờ ả
1. (HS t làm).ự
2. Vì K là trung đi m NP nên OK ể ⊥ NP ( quan h đ ng kínhệ ườ

d

K, A, B cùng nhìn OM d i m t góc 90ướ ộ
0
nên cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính OM. ằ ườ ườ
V y năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m t đ ng tròn. ậ ể ằ ộ ườ
3. Ta có MA = MB ( t/c hai ti p tuy n c t nhau); OA = OB = R ế ế ắ
=> OM là trung tr c c a AB => OM ự ủ ⊥ AB t i I .ạ
Theo tính ch t ti p tuy n ta có ấ ế ế ∠OAM = 90
0
nên tam giác OAM vuông t i A có AI là đ ng cao.ạ ườ
Áp d ng h th c gi a c nh và đ ng cao => OI.OM = OAụ ệ ứ ữ ạ ườ
2
hay OI.OM = R
2
; và OI. IM = IA
2
.
4. Ta có OB ⊥ MB (tính ch t ti p tuy n) ; AC ấ ế ế ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ⊥ MA (tính ch t ti p tuy n) ; BD ấ ế ế ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> T giác OAHB là hình bình hành; l i có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.ứ ạ
5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ⊥ AB; cũng theo trên OM ⊥ AB => O, H, M th ng hàng( Vì quaẳ
O ch có m t đ ng th ng vuông góc v i AB).ỉ ộ ườ ẳ ớ
6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. V y khi M di đ ng trên d thì H cũng di đ ngậ ộ ộ
nh ng luôn cách A c đ nh m t kho ng b ng R. Do đó qu tích c a đi m H khi M di chuy n trênư ố ị ộ ả ằ ỹ ủ ể ể
đ ng th ng d là n a đ ng tròn tâm A bán kính AH = Rườ ẳ ử ườ
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông A, đ ng cao AH. V đ ng tròn tâm A bán kính AH. G i HD làở ườ ẽ ườ ọ
đ ng kính c a đ ng tròn (A; AH). Ti p tuy n c a đ ng tròn t i D c t CA E.ườ ủ ườ ế ế ủ ườ ạ ắ ở
1.Ch ng minh tam giác BEC cân.ứ
2. G i I là hình chi u c a A trên BE, Ch ng minh r ng AI = AH.ọ ế ủ ứ ằ
3.Ch ng minh r ng BE là ti p tuy n c a đ ng tròn (A; AH).ứ ằ ế ế ủ ườ
4.Ch ng minh BE = BH + DE.ứ

cho AP > R, t P k ti p tuy n ti p xúc v i (O) t i M.ừ ẻ ế ế ế ớ ạ
1. Ch ng minh r ng t giác APMO n i ti p đ c m tứ ằ ứ ộ ế ượ ộ
đ ng tròn.ườ
2. Ch ng minh BM // OP.ứ
ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN
TRÂN
4

TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9
3. Đ ng th ng vuông góc v i AB O c t tia BM t i N. Ch ngườ ẳ ớ ở ắ ạ ứ
minh t giác OBNP là hình bình hành.ứ
4. Bi t AN c t OP t i K, PM c t ON t i I; PN và OM kéo dài c tế ắ ạ ắ ạ ắ
nhau t i J. Ch ng minh I, J, K th ng hàng.ạ ứ ẳ
L i gi i: ờ ả
1. (HS t làm).ự
2.Ta có ∠ ABM n i ti p ch n cung AM; ộ ế ắ ∠ AOM là góc tâmở
ch n cung AM => ắ ∠ ABM =
2
AOM∠
(1) OP là tia phân giác ∠
AOM ( t/c hai ti p tuy n c t nhau ) => ế ế ắ ∠ AOP =
2
AOM∠
(2)
T (1) và (2) => ừ ∠ ABM = ∠ AOP (3)

X

(


0
(vì PA là ti p tuy n ); ế ế ∠NOB = 90
0
(gt NO⊥AB).
=> ∠PAO = ∠NOB = 90
0
; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5)
T (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai c nh đ i song song và b ng nhau).ừ ạ ố ằ
4. T giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ứ ⊥ AB => ON ⊥ PJ
Ta cũng có PM ⊥ OJ ( PM là ti p tuy n ), mà ON và PM c t nhau t i I nên I là tr c tâm tam giác POJ.ế ế ắ ạ ự
(6)
D th y t giác AONP là hình ch nh t vì có ễ ấ ứ ữ ậ ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 90
0
=> K là trung đi m c aể ủ
PO ( t/c đ ng chéo hình ch nh t). (6)ườ ữ ậ
AONP là hình ch nh t => ữ ậ ∠APO = ∠ NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau Ta có PO là tia phân giác ế ế ắ ∠APM => ∠APO = ∠MPO (8).
T (7) và (8) => ừ ∆IPO cân t i I có IK là trung tuy n đông th i là đ ng cao => IK ạ ế ờ ườ ⊥ PO. (9)
T (6) và (9) => I, J, K th ng hàng.ừ ẳ
Bài 8 Cho n a đ ng tròn tâm O đ ng kính AB và đi m M b t kì trên n a đ ng tròn ( M khácử ườ ườ ể ấ ử ườ
A,B). Trên n a m t ph ng b AB ch a n a đ ng tròn k ti p tuy n Ax. Tia BM c t Ax t i I; tiaử ặ ẳ ờ ứ ử ườ ẻ ế ế ắ ạ
phân giác c a góc IAM c t n a đ ng tròn t i E; c t tia BM t i F tia BE c t Ax t i H, c t AM t i K.ủ ắ ử ườ ạ ắ ạ ắ ạ ắ ạ
1) Ch ng minh r ng: EFMK là t giác n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế
2) Ch ng minh r ng: AIứ ằ
2
= IM . IB.
3) Ch ng minh BAF là tam giác cân.ứ
4) Ch ng minh r ng : T giác AKFH là hình thoi.ứ ằ ứ
5) Xác đ nh v trí M đ t giác AKFI n i ti p đ c m t đ ngị ị ể ứ ộ ế ượ ộ ườ
tròn.


I

H

F

M

B

O

A

2. Ta có ∠IAB = 90
0
( vì AI là ti p tuy n ) => ế ế ∆AIB vuông t i A có AM ạ ⊥ IB ( theo trên).
Áp d ng h th c gi a c nh và đ ng cao => AIụ ệ ứ ữ ạ ườ
2
= IM . IB.
3. Theo gi thi t AE là tia phân giác góc IAM => ả ế ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lí do ……)
=> ∠ABE =∠MBE ( hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)ộ ế ắ ằ
Theo trên ta có ∠AEB = 90
0
=> BE ⊥ AF hay BE là đ ng cao c a tam giác ABF (2).ườ ủ
ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN
TRÂN
5


3. Ch ng minh r ng CEFD là t giác n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế
L i gi i: ờ ả
1. C thu c n a đ ng tròn nên ộ ử ườ ∠ACB = 90
0
( n i ti p ch n n aộ ế ắ ử
đ ng tròn ) => BC ườ ⊥ AE.
∠ABE = 90
0
( Bx là ti p tuy n ) => tam giác ABE vuông t i B có BC làế ế ạ
đ ng cao => AC. AE = ABườ
2
(h th c gi a c nh và đ ng cao ), mà ABệ ứ ữ ạ ườ
là đ ng kính nên AB = 2R không đ i do đó AC. AE không đ i.ườ ổ ổ
2. ∆ ADB có ∠ADB = 90
0
( n i ti p ch n n a đ ng tròn ).ộ ế ắ ử ườ
=> ∠ABD + ∠BAD = 90
0
(vì t ng ba góc c a m t tam giác b ng 180ổ ủ ộ ằ
0
)
(1)
∆ ABF có ∠ABF = 90
0
( BF là ti p tuy n ).ế ế
=> ∠AFB + ∠BAF = 90
0
(vì
t ng ba góc c a m t tam giácổ ủ ộ
b ng 180ằ

( Vì là hai góc k bù) nênề
suy ra ∠ECD + ∠EFD = 180
0
, m t khác ặ ∠ECD và ∠EFD là hai góc đ i c a t giác CDFE do đó tố ủ ứ ứ
giác CEFD là t giác n i ti p.ứ ộ ế
Bài 10 Cho đ ng tròn tâm O đ ng kính AB và đi m M b t kì trên n a đ ng tròn sao cho AM < MB.ườ ườ ể ấ ử ườ
G i M’ là đi m đ i x ng c a M qua AB và S là giao đi m c a hai tia BM, M’A. G i P là chân đ ng ọ ể ố ứ ủ ể ủ ọ ườ
vuông góc t S đ n AB.ừ ế
ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN
TRÂN
6

TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9
1.G i S’ là giao đi m c a MA và SP. Ch ng minh r ng ∆ PS’M cân.ọ ể ủ ứ ằ
2.Ch ng minh PM là ti p tuy n c a đ ng tròn .ứ ế ế ủ ườ
L i gi i: ờ ả
1. Ta có SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 90
0
; ∠AMB = 90
0
( n i ti p ch nộ ế ắ
n a đ ng tròn ) => ử ườ ∠AMS = 90
0
. Nh v y P và M cùng nhìn ASư ậ
d i m t góc b ng 90ướ ộ ằ
0
nên cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính AS.ằ ườ ườ
V y b n đi m A, M, S, P cùng n m trên m t đ ng tròn. ậ ố ể ằ ộ ườ
2. Vì M’đ i x ng M qua AB mà M n m trên đ ng tròn nên M’ cũngố ứ ằ ườ
n m trên đ ng tròn => hai cung AM và AM’ có s đo b ng nhau ằ ườ ố ằ


O

S'

M'

M

A

B

S

P

=> ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) (1)ộ ế ắ ằ
Cũng vì M’đ i x ng M qua AB nên MM’ ố ứ ⊥ AB t i H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc v i AB)ạ ớ
=> ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (vì so le trong) (2).
=> T (1) và (2) => ừ ∠AS’S = ∠ASS’.
Theo trên b n đi m A, M, S, P cùng n m trên m t đ/ tròn => ố ể ằ ộ ∠ASP=∠AMP (n i ti p cùng ch nộ ế ắ
AP )
=> ∠AS’P = ∠AMP => tam giác PMS’ cân t i P.ạ
3. Tam giác SPB vuông t i P; tam giác SMS’ vuông t i M => ạ ạ ∠B
1
= ∠S’
1
(cùng ph v i ụ ớ ∠S). (3)
Tam giác PMS’ cân t i P => ạ ∠S’

+ ∠M
2
= ∠PMO = 90
0
=> PM ⊥ OM t i M => PM là ti p tuy n c a đ ng tròn t i Mạ ế ế ủ ườ ạ
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). C nh AB, BC, CA ti p xúc v i đ ng tròn (O) t i các đi m D,ạ ế ớ ườ ạ ể
E, F . BF c t (O) t i I , DI c t BC t i M. Ch ng minh :ắ ạ ắ ạ ứ
1. Tam giác DEF có ba góc nh n.ọ
2. DF // BC. 3. T giác BDFC n i ti p. ứ ộ ế 4.
CF
BM
CB
BD
=

L i gi i: ờ ả
1. (HD) Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau ta có AD = AF => tam giácế ế ắ
ADF cân t i A => ạ ∠ADF = ∠AFD < 90
0
=> sđ cung DF < 180
0
=> ∠DEF <
90
0
( vì góc DEF n i ti p ch n cung DE). ộ ế ắ
Ch ng minh t ng t ta có ứ ươ ự ∠DFE < 90
0
; ∠EDF < 90
0
. Nh v y tam giácư ậ

4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có ∠ DBM = ∠BCF ( hai góc đáy c a tam giác cân).ủ
∠BDM = ∠BFD (n i ti p cùng ch n cung DI); ộ ế ắ ∠ CBF = ∠BFD (vì so le) => ∠BDM = ∠CBF .
=> ∆BDM ∼∆ CBF =>
CF
BM
CB
BD
=
Bài 12 Cho đ ng tròn (O) bán kính R có hai đ ng kính AB và CD vuông góc v i nhau. Trên đo nườ ườ ớ ạ
th ng AB l y đi m M (M khác O). CM c t (O) t i N. Đ ng th ng vuông góc v i AB t i M c t ti pẳ ấ ể ắ ạ ườ ẳ ớ ạ ắ ế
tuy n ế
ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN
TRÂN
7

TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9
t i N c a đ ng tròn P. Ch ng minh :ạ ủ ườ ở ứ
1. T giác OMNP n i ti p.ứ ộ ế
2. T giác CMPO là hình bình hành.ứ
3. CM. CN không ph thu c vào v trí c a đi m M.ụ ộ ị ủ ể
4. Khi M di chuy n trên đo n th ng AB thì P ch y trên đo nể ạ ẳ ạ ạ
th ng c đ nh nào.ẳ ố ị
L i gi i: ờ ả
1. Ta có ∠OMP = 90
0
( vì PM ⊥ AB ); ∠ONP = 90
0
(vì NP là ti pế
tuy n ).ế
Nh v y M và N cùng nhìn OP d i m t góc b ng 90ư ậ ướ ộ ằ

Xét hai tam giác OMC và MOP ta có ∠MOC = ∠OMP = 90
0
; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM
l i có MO là c nh chung => ạ ạ ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1)
Theo gi thi t Ta có CD ả ế ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2).
T (1) và (2) => T giác CMPO là hình bình hành.ừ ứ
3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ∠MOC = 90
0
( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 90
0
(n i ti p ch n n aộ ế ắ ử
đ ng tròn ) => ườ ∠MOC =∠DNC = 90
0
l i có ạ ∠C là góc chung => ∆OMC ∼∆ NDC
=>
CM CO
CD CN
=
=> CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R
2
không đ i => CM.CNổ
=2R
2
không đ i hay tích CM. CN không ph thu c vào v trí c a đi m M.ổ ụ ộ ị ủ ể
4. ( HD) D th y ễ ấ ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 90
0
=> P ch y trên đ ng th ng c đ nh vuôngạ ườ ẳ ố ị
góc v i CD t i D. ớ ạ
Vì M ch ch y trên đo n th ng AB nên P ch ch y trên do n th ng A’ B’ song song và b ng AB.ỉ ạ ạ ẳ ỉ ạ ạ ẳ ằ
Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đ ng cao AH. Trên n a m t ph ng b BC ch aở ườ ử ặ ẳ ờ ứ


2

1

1

I

F

E

O

2

O

1

H

C

B

A

1

8

TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9
3. Xét hai tam giác AEF và ACB ta có ∠A = 90
0
là góc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Ch ng minhứ
trên)
=> ∆AEF ∼∆ ACB =>
AE AF
AC AB
=
=> AE. AB = AF. AC.
* HD cách 2: Tam giác AHB vuông t i H có HE ạ
⊥
AB => AH
2
= AE.AB (*)
Tam giác AHC vuông t i H có HF ạ
⊥
AC => AH
2
= AF.AC (**)
T (*) và (**) => AE. AB = AF. ACừ
4. T giác AFHE là hình ch nh t => IE = EH => ứ ữ ậ ∆IEH cân t i I => ạ ∠E
1
= ∠H
1
.
∆O
1

1
EF = 90
0

=> O
1
E ⊥EF .
Ch ng minh t ng t ta cũng có Oứ ươ ự
2
F ⊥ EF. V y EF là ti p tuy n chung c a hai n a đ ng tròn .ậ ế ế ủ ử ườ
Bài 14 Cho đi m C thu c đo n th ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. V v m t phía c a ABể ộ ạ ẳ ẽ ề ộ ủ
các n a đ ng tròn có đ ng kính theo th t là AB, AC, CB và có tâm theo th t là O, I, K.ử ườ ườ ứ ự ứ ự
Đ ng vuông góc v i AB t i C c t n a đ ng tròn (O) t i E. G i M. N theo th t là giao đi m c aườ ớ ạ ắ ử ườ ạ ọ ứ ự ể ủ
EA,
EB v i các n a đ ng tròn (I), (K).ớ ử ườ
1.Ch ng minh EC = MN.ứ
2.Ch/minh MN là ti p tuy n chung c a các n a đ/tròn (I), (K).ế ế ủ ử
3.Tính MN.
4.Tính di n tích hình đ c gi i h n b i ba n a đ ng trònệ ượ ớ ạ ở ử ườ
L i gi i: ờ ả
1. Ta có: ∠BNC= 90
0
( n i ti p ch n n a đ ng tròn tâm K)ộ ế ắ ử ườ

1

H

1


(vì là hai góc k bù). (1)ề
∠AMC = 90
0
( n i ti p ch n n c đ ng tròn tâm I) => ộ ế ắ ử ườ ∠EMC = 90
0
(vì là hai góc k bù).(2)ề
∠AEB = 90
0
(n i ti p ch n n a đ ng tròn tâm O) hay ộ ế ắ ử ườ ∠MEN = 90
0
(3)
T (1), (2), (3) => t giác CMEN là hình ch nh t => EC = MN (tính ch t đ ng chéo hình ch nh t )ừ ứ ữ ậ ấ ườ ữ ậ
2. Theo gi thi t EC ả ế ⊥AB t i C nên EC là ti p tuy n chung c a hai n a đ ng tròn (I) và (K) ạ ế ế ủ ử ườ
=> ∠B
1
= ∠C
1
(hai góc n i ti p cùng ch n cung CN). ộ ế ắ T giác CMEN là hình ch nh t nên => ứ ữ ậ ∠C
1
= ∠N
3

=> ∠B
1
= ∠N
3
.(4) L i có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân t i K => ạ ạ ∠B
1
= ∠N
1

Ta có S
(o)
=
π
.OA
2
=
π
25
2
= 625
π
; S
(I)
=
π
. IA
2
=
π
.5
2
= 25
π
; S
(k)
=
π
.KB
2

π
= 100
π

≈
314 (cm
2
)
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A. Trên c nh AC l y đi m M, d ng đ ng tròn (O) có đ ngở ạ ấ ể ự ườ ườ
kính MC. đ ng th ng BM c t đ ng tròn (O) t i D. đ ng th ng AD c t đ ng tròn (O) t i S.ườ ẳ ắ ườ ạ ườ ẳ ắ ườ ạ
1. Ch ng minh ABCD là t giác n i ti p .ứ ứ ộ ế
ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN
TRÂN
9

TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9
2. Ch ng minh CA là tia phân giác c a góc SCB.ứ ủ
3. G i E là giao đi m c a BC v i đ ng tròn (O). Ch ng minh r ng các đ ng th ng BA, EM,ọ ể ủ ớ ườ ứ ằ ườ ẳ
CD đ ng quy.ồ
4. Ch ng minh DM là tia phân giác c a góc ADE.ứ ủ
5. Ch ng minh đi m M là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác ADE.ứ ể ườ ộ ế
L i gi i: ờ ả 3

2

3


A

C

H×nh a
F

1

2

C

A

B

E

D

S

M

O


trên đ ng tròn đ ng kính BC => ABCD là t giác n i ti p.ườ ườ ứ ộ ế
2. ABCD là t giác n i ti p => ứ ộ ế ∠D
1
= ∠C
3
( n i ti p cùng ch n cung AB). ộ ế ắ
∠D
1
= ∠C
3
=>
¼
¼
SM EM=
=> ∠C
2
= ∠C
3
(hai góc n i ti p đ ng tròn (O) ch n hai cung b ng nhau)ộ ế ườ ắ ằ
=> CA là tia phân giác c a góc SCB.ủ
3. Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh v y BA, EM, CD là ba đ ng cao c a tamư ậ ườ ủ
giác CMB nên BA, EM, CD đ ng quy.ồ
4. Theo trên Ta có
¼
¼
SM EM=
=> ∠D
1
= ∠D
2

Câu 2 : ∠ABC = ∠CME (cùng ph ụ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cùng bù ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS
=>
»
»
¼
¼
CE CS SM EM= => =
=> ∠SCM = ∠ECM => CA là tia phân giác c a góc SCB.ủ
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và m t đi m D n m gi a A và B. Đ ng tròn đ ng kính BD c tở ộ ể ằ ữ ườ ườ ắ
BC t i E. Các đ ng thạ ườ ẳng CD, AE l n l t c t đ ng tròn t i F, G.ầ ượ ắ ườ ạ
Ch ng minh :ứ
1. Tam giác ABC đ ng d ng v i tam giác EBD.ồ ạ ớ
2. T giác ADEC và AFBC n i ti p .ứ ộ ế
3. AC // FG.
4. Các đ ng th ng AC, DE, FB đ ng quy.ườ ẳ ồ
L i gi i: ờ ả
1. Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có ∠BAC = 90
0
( vì tam giác ABC vuông
t i A); ạ ∠DEB = 90
0
( góc n i ti p ch n n a đ ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ
=> ∠DEB = ∠BAC = 90
0
; l i có ạ ∠ABC là góc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB .
. Theo trên ∠DEB = 90
0
=>
DEC = 90
0