Ch ng baươ
ng d ng bi n i ứ ụ ế đổ Fourier phân tích tín hi u s v h x lý sàệ ố ệ ử ố
Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy
số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số.
3.1 bi n i ế đổ Fourier c a dãy sủ ố
3.1.1 Biến đổi Fourier thuận
3.1.1a Định nghĩa : N u dãy ế x(n) tho mãn i u ki n :ả đ ề ệ
∞<
∑
∞
−∞=
n
nx )(
[3.1-1]
thì s t n t i phép bi n i ẽ ồ ạ ế đổ Fourier nh sau :ư
nj
n
j
enxe
X
.
)()(
ωω
−
∞
−∞=
∑
=
[3.1-2]
Bi n i ế đổ Fourier ã chuy n dãy s đ ể ố x(n) th nh h m ph c à à ứ X(e
j

v i phép bi n iớ ế đổ
Fourier c a h m liên t c àủ ụ x(t) :
∫
∞
∞−
−
•
==
dtetxtxFT
tj
X
ω
ω
).()()]([
.
Bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier c a dãy s ủ ố x(n) [3.1-2] l su t phát t bi u th c bi n i à ấ ừ ể ứ ế đổ Fourier c a h m liên t càủ ụ
x(t), vì khi h m d i d u tích phân l dãy r i r c thì ph i thay d u tích phân b ng d u t ng .à àướ ấ ờ ạ ả ấ ằ ấ ổ
Do tính ch t tu n ho n c a h m m à àấ ầ ủ ũ e
j
ω
, nên X(e
j
ω
) l h m tu n ho n c a bi n à à àầ ủ ế
ω
v i chu k ớ ỳ 2π :
)()()()(
.).2.()2.(
ωωωω
ππ

∈
(
0 , 2
π
).
S d ng bi n i ử ụ ế đổ Fourier cho phép nghiên c u ph c a tín hi u s v c tính t n s c a h x lý s . N uàứ ổ ủ ệ ố đặ ầ ố ủ ệ ử ố ế
x(n) l tín hi u s thì à ệ ố
)()]([
∞
=
j
enxFT
X
l ph c a tín hi u à ổ ủ ệ x(n), còn v i ớ h(n) l c tính xung c a h x lý s thìà đặ ủ ệ ử ố
)()]([
∞
=
j
enhFT
H
l c tính t n s c a h x lý s . à đặ ầ ố ủ ệ ử ố
3.1.1b Sự tồn tại của biến đổi Fourier
Theo nh ngh a, bi n i đị ĩ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] ch t n t i n u dãy ỉ ồ ạ ế x(n) tho mãn i u ki n kh t ng tuy tả đ ề ệ ả ổ ệ
i đố [3.1-1]. i u ó có ngh a l , n u dãy àĐ ề đ ĩ ế x(n) tho mãn i u ki n ả đ ề ệ [3.1-1] thì chu i ỗ [3.1-2] s h i t v h m àẽ ộ ụ ề X(e
j
ω
), nên
x(n) t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier. Ng c l i, n u dãy ượ ạ ế x(n) không tho mãn i u ki n ả đ ề ệ [3.1-1] thì chu i ỗ [3.1-2] s phân k ,ẽ ỳ
vì th h m àế X(e
j

)(nrect
N
119
Gi i :ả a.
∞==
∑∑
∞
=
∞
−∞=
0
1
)(
nn
nu
H m à u(n) không tho mãn ả [3.1-1] nên không t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier.
b.
∞==
∑∑
∞
=
∞
−∞=
0
22
)(
n
n
n
n

u(n) tho mãn ả [3.1-1] nên t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier :
( )
∑∑∑
∞
=
−−
∞
=
−−
∞
−∞=
−−−
===
0
1
0
..
.).()](
2222[
n
n
j
n
njn
n
njnn
eeenunu
FT
ωωω
V y :ậ

Hàm
δ
(n) tho mãn ả [3.1-1] nên t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier :
1.1
0.
).()]([
===
−
∞
−∞=
−
∑
ωω
δδ
j
n
nj
eennFT
[3.1-7]
e) Chu i ỗ [3.1-1] i v i đố ớ
δ
(n - k) h i t nên nó ộ ụ có bi n i ế đổ Fourier :
ωω
δδ
jk
n
nj
eennFT
kk
−

ωω
j
j
n
n
j
n
nj
e
e
eenrectnrectFT
N
N
NN
−
−
−
=
−
∞
−∞=
−
−
−
===
∑∑
1
1
1
0

nj
n
j
X
ωω
ωω
−==
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
[3.1-11]
H m ph n th c : à ầ ự
∑
∞
−∞=
==
n
j
R
nnxe
XX
).cos().()](Re[)(
ωω
ω
[3.1-12]
H m ph n o : à ầ ả
∑

+=
[3.1-15]
Argumen :
[ ]






==
)(
)(
)()(
ω
ω
ωϕ
ω
R
I
j
X
X
X
arctgeArg
[3.1-16]
X(e
j
ω
) c g i l h m biên t n s , nó l h m ch n v i x ng qua tr c tung : à à à à àđượ ọ độ ầ ố ẵ đố ứ ụ X(e


)()(
ωω
jj
ee
XA
=
[3.1-18]
Còn :
)()()]([
ωϕωθ
ω
=+
j
eArg
A
[3.1-19]
Hàm pha :
)]([)()(
ω
ωϕωθ
j
eArg
A
−=
[3.1-20]
V i ớ
)]([
ω
j

eKhi
eArg
A
A
A
M t cách t ng quát, có th vi t :ộ ổ ể ế












=










= −− )(








−−=
)(
)(
)()(
1
2
ω
ω
ωϕωθ
π
j
eA
j
eA
[3.1-21]
Ví dụ 3.2 : Hãy xác nh các hàm ph n th c và ph n o, mô un và argumen, l n và pha c ađị ầ ự ầ ả đ độ ớ ủ
hàm t n s ầ ố
ωω
ω
jj
ee
X
−

ωωωωω
ω
=+=
j
e
X
Argumen :
ω
ωω
ωω
ωϕ
−=






−=
)cos().cos(
)sin().cos(
)(
2
2
arctg
Hàm l n : độ ớ
)cos()(
2
ω
ω

−∞=
−
==
n
n
znxznxZT
X
)()()]([(
, v i ớ
+−
<<
xx
RRX
zzRC ||:)]([
Bi u di n s ph c ể ễ ố ứ z theo t a c c : ọ độ ự z = r.e
j
ω
v i |ớ z|= r v à arg [z] =
ω

V y :ậ
∑∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−
===
n

Theo [3.1-22] thì bi n i ế đổ Fourier chính l bi n i à ế đổ Z khi z n m trên vòng tròn n v ằ đơ ị | z | = 1 , ngh a l bi nàĩ ế
i đổ Fourier l m t tr ng h p riêng c a bi n i à ộ ườ ợ ủ ế đổ Z.
121
a.
1
|| =<
−
z
x
R
, tồn tại FT b.
1
|| =≥
−
z
x
R
, không tồn tại FT
Hình 3.1 : Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z
T hình ừ 3.1a th y r ng, n u h m àấ ằ ế X(z) h i t trên vòng tròn n v ộ ụ đơ ị | z | = 1 thì ch c ch n dãy ắ ắ x(n) t n t i bi nồ ạ ế
i đổ Fourier, v ng c l i. T hình à ượ ạ ừ 3.1b, n u h m àế X(z) không h i t trên vòng tròn n v ộ ụ đơ ị |z| = 1, thì dãy x(n) s khôngẽ
t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier, v ng c l i. à ượ ạ
H m b c thang n v à ậ đơ ị u(n) l m t ví d : H m à àộ ụ
)()]([( znuZT
U
=
có
1
||:)]([ >zzRC
U

) , nh n c :ậ đượ
∫ ∫ ∫
∑∑
− − −
−
∞
−∞=
∞
−∞=
−
==
π
π
π
π
π
π
ωωωωω
ωωω
denxdeenxdee
nmj
nn
mjnjmjj
X
).(...
.)(.).().(
Vì :




T ó suy ra bi u th c c a phép bi n i ừ đ ể ứ ủ ế đổ Fourier ng c :ượ
∫
−
=
π
π
ωω
ω
π
deenx
njj
X
.
).()(
2
1
[3.1-24]
Phép bi n i ế đổ Fourier ng c c ký hi u nh sau :ượ đượ ệ ư
)()](
[
nxe
j
XIFT
=
ω
[3.1-25]
Hay :
)()( nxe
IFT
j

.).cos()(
2
1
[ ]
∫ ∫
− −
−−−
−
+=
+
=
π
π
π
π
ωωωω
ωω
ω
π
ω
π
deedee
ee
nx
njnjnjj
jj
)3()1(.2
4
1
22

1
)(
)3()1(
314
1
njnj
e
nj
e
nj
nx






−
−
+
−
−
=
−−−−−−
)()(
)(
314
1
)3()3()1()1(
nj

−
+
−
−
=
π
π
π
π
)(
])sin[(
)(
])sin[(
)(
3
3
2
1
1
1
2
1
−
−
+
−
−
=
n
n




≠
=
=
−
−
δ
π
π
π
π
Nên :
)()()(
3
2
1
1
2
1
−+−= nnnx
δδ
Vì
ω
ω
j
j
ez
ze

j
eAnxAnyFTe XY
∑∑
=






==
[3.1-27]
Trong ó các h s đ ệ ố A
i
l các h ng s .à ằ ố
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :
∑∑∑ ∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
==







, nên nh n c ậ đượ [3.1-27].
Ví dụ 3.4 : Hãy tìm h m ph c a tín hi u s à ổ ủ ệ ố
)()()(
3
2
1
1
2
1
−+−= nnnx
δδ
Gi i :ả Theo tính ch t tuy n tính c a bi n i ấ ế ủ ế đổ Fourier có :
ωωωωω
δδ
3..
2
1
2
1
3
2
1
1
2
1
).().()(
jj
n
nj
n

+
=
Các ví d ụ 3.3 v à 3.4 l hai b i toán ng c nhau, v i k t qu l ng nh t.à à àượ ớ ế ả đồ ấ
3.1.3b Tính chất trễ : Khi d ch tr dãyị ễ x(n) i đ k m u thì h m biên t n sàẫ độ ầ ốX(e
j
ω
) không thay i, ch cóđổ ỉ
h m pha t n s à ầ ố ϕ(
ω
) b d ch i l ng ị ị đ ượ k
ω
.
N u : ế
)(
.)()()]([
ωϕωω
jjj
eeenxFT XX ==
Thì :
[ ]
])([
.)()()(
ωωϕωωω
kjjjjk
eeeenxFT
XXk
−−
==−
[3.1-28]
N u ế k > 0 l à x(n) b gi tr ị ữ ễ k m u, ẫ n u ế k < 0 l à x(n) c y s m đượ đẩ ớ k m u.ẫ

N
−−=
−−−
Nên :
)](.[)]([)(
)(
222 NX nuFTnuFTe
NN nnj
−−=
−−−−
ω
Theo bi u th c ể ứ [3.1-6] v tính ch t d ch c a bi n i à ấ ị ủ ế đổ Fourier nh n c :ậ đượ
NN j
jj
j
e
ee
eX
.
2
5,01
1
5,01
1
.)(
ω
ωω
ω
−−
−−