SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Phần I - Một số kiến thức cần nhớ:
1) Điểm thuộc hay không thuộc đồ thò: Cho hàm số y = f(x) (1)
có đồ thò là (C).
M(x
M
;y
M
)  (C)  y
M
= f(x
M
)
M(x
M
;y
M
) (C)  y
M
≠ f(x
M
)
2) Giao điểm của 2 đồ thò: Cho 2 hàm số: y = f(x) và y = g(x) có
đồ thò là (C), (C’)
 Toạ độ giao điểm chung của (C) và (C’) là nghiệm của hệ:





y f(x)

b 0

 Vô nghiệm 





a 0
b 0

 Phương trình bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0 (2)
 (2) có 2 nghiệm phân biệt 



 

a 0
0

 (2) có 1 nghiệm 
 
 
 
  
 
a 0 a 0

)(ax
2
+ bx + c) = 0 



  

0
2
x x
ax bx c 0 (*)

Số nghiệm của phương trình (3) phụ thuộc vào số nghiệm của pt (*):
 Pt (3) có 3 nghiệm phân biệt  pt (*) có 2 nghiệm phân
biệt khác x
0




 


  

2
0 0
a 0
0

1 2 2 3 3 1
1 2 3
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d
x x x
a
và có:
 PT (4) có 3 nghiệm x
1
; x
2
; x
3
lập thành một cấp số
cộng
 x
2
- x
1
= x
3
– x
2
 x
1

 f(x)= ax
3
+ bx
2
+ cx + d sao cho


   




  

hàm số có CĐ , CTtại x' ,x''và x' x'
'
hai giá trò ycđ và yct trái dấu
af ( ) 0

 Phương trình trùng phương:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (5) 

 

  


3
; x
4
lập thành 1 cấp số cộng








1 2
2 1
pt (6) có 2 nghiệm dương phân biệt
t t
t 9t

Phần II – Bài tập
B) Một số bài tập cơ bản:
Bài 1) Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thò hàm số:
a) y = f(x) = x
3
+ x
2
– x + 2; y = f(x) = 4x – 1
b) y = g(x) =
1
12


x 2

tại 2 điểm phân biệt.
Bài 3)
a) Tìm k để (C):y = -x + k; (C’): y =


2x 1
x 2
cắt nhau tại 2 điểm phân
biệt A và B với đoạn AB có độ dài ngắn nhất.
b) Tìm k để (G): y = k cắt (G’): y =

2
x
x 1
tại 2 điểm M và N với MN =
5

c) Tìm k để(C): y = kx + 2 cắt (C’):
 


2
x x 1
y
x 1
tại 2 điểm thuộc 2
nhánh khác nhau của (C’).
C) Các bài toán khác:

Bài 7) CMR khi k > 1 thì (d): y = kx + m luôn cắt đồ thò (C): của hsố:
 


2
x 2 x 2
y
x 1

Bài 8) Tìm k để (C): y = k(x
2
– 1) cắt (C’): y = -2x
3
+x+1
tại 3 điểm phân biệt.
Bài 9) Tìm k theo m để (D): y = k(x + 1) + 1 cắt đồ thò (C): y = -x
3
+ mx
2

– m tại 3 điểm phân biệt.
Bài 10) Tìm m để đồ thò các hàm số sau cắt trục hoành tại 3
điểm có hoành độ dương:
a) y = x
3
– 3mx
2
+ 3(m
2
– 1)x – (m

3
– 3mx
2
+ 2m(m – 4)x + 9m
2
– m
Bài 13) Tìm m để đồ thò các hàm số cắt Ox tại 4 điểm cách đều
nhau:
a) y = x
4
– 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1
b) y = x
4
– (3m + 4)x
2
+ m
2

Bài 14) Cho hàm số y = x
4
+ ax
2
+ b (1). Giả sử đồ thò hàm số (1)
cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ tạo thành 1 cấp số
cộng. CMR: 9a
2
– 100b = 0
Bài 15) Cho hàm số


y 2 x

b) Tìm k sao cho trên (C) có 2 điểm khác nhau P và Q thoả mãn
các điều kiện:

 


 


P P
Q Q
x y k
x y k

CMR khi đó P và Q cùng thuộc 1 nhánh của (C).
Bài 17) Cho hàm số
  


2
x (m 2)x m
y
x 1
(1) .
Xác đònh m để đường thẳng y = -(x + 4) cắt đường cong (1) tại 2
điểm đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ
nhất.

x 2mx m
y
x m
(1)
a) Khảo sát hàm số khi m = 2. Gọi đồ thò là (C).
b) Viết pttt của (C) biết tt có hệ số góc âm và tạo với Ox một
góc 45
0
.
c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm CĐ & CT của đồ thò
hàm số (1).
d) Với giá trò nào của m, hàm số có giá trò cực đại và cực
tiểu trái dấu, cùng dấu.
Bài 2)
a) Khảo sát hàm số: y = x
3
+ 6x
2
+ 9x + 1
b) Biện luận theo m số nghiệm cuả phương trình:

f(x) m
với –3  x  1