http://onluyentoan.vn
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Nguyễn Minh Nhiên
12
1 Bài toán chung
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), xét bài toán về sự tương giao của đồ thị hai hàm số:

(C
1
) : y = f (x)
(C
2
) : y = g(x)
Có thể thấy số giao điểm của (C
1
) và (C
2
) cũng chính là số nghiệm của phương trình:
f(x) = g(x). (1)
Khi đó, bài toán quy về việc biện luận số nghiệm của phương trình (1). Thông thường,
• Nếu (1) quy về bậc hai thì việc giải quyết bài toán quy về việc tính toán với các nghiệm
kết hợp với việc sử dụng định lý Viette.
• Nếu (1) là phương trình trùng phương thì ta có thể quy về xét phương trình bậc hai.
• Nếu (1) là phương trình bậc ba hoặc bậc cao, ta có thể hướng đến:
◦ Nếu cô lập được m đưa (1) thành F (x) = h(m) thì bài toán quy về khảo sát hàm
số y = F (x).
◦ Nếu phương trình có nghiệm x = x
0
thì ta có thể đưa (1) về dạng
(x − x
0

+ x + m. Ta có (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và
chỉ khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt khác 1. Điều này tương đương với





m = 0
∆ = 1 − 4m
2
> 0
f(1) = 1 + 2m = 0
⇔



m = 0
−
1
2
< m <
1
2
Vậy tập hợp các số m thỏa mãn điều kiện bài toán là m ∈

−
1
2
,
1

Vì ac < 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác 0. Do đó đồ thị và đường
thẳng luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x
1
, −x
1
+ m) và B(x
2
, −x
2
+ m). Ta có
AB = 4 ⇔

(x
2
− x
1
)
2
+ (−x
2
+ m + x
1
− m)
2
= 4
⇔ 2(x
2
− x
1
)

4
+ 2 = 8 ⇔ m = ±2
√
6.
Vậy m = ±2
√
6 là giá trị cần tìm.
Nhận xét. Vì liên quan đến giao điểm nên thường thì bài toán gắn thêm các tính chất hình
học: độ dài khoảng cách, diện tích, tính chất các hình đặc biệt, . . . Vì thế, cần linh hoạt vận
dụng các tính chất đó.
Ví dụ 3. Cho hàm số (C) : y =
2x+1
x−1
và điểm A(−2, 5). Viết phương trình đường thẳng d cắt
(C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho tam giác ABC đều.
Hướng dẫn giải. (a) Cách 1. Nhận xét rằng điểm A nằm trên đường thẳng ∆ : y = 3 − x
là phân giác góc tạo bởi hai tiệm cận của (C), ∆ là trục đối xứng của (C) nên đường thẳng
http://onluyentoan.vn
Sự tương giao của hai đồ thị 3
d cần tìm là đường thẳng vuông góc với ∆ có phương trình dạng y = x + m. Phương trình
hoành độ giao điểm của d và (C):
2x + 1
x − 1
= x + m ⇔

x = 1
f(x) = x
2
+ (m − 3)x − m − 1 = 0 (1)
Vì ac < 0 và f (1) = 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x

2
=

2(x
1
+ x
2
)
2
− 8x
1
x
2
=

2(m − 3)
2
+ 8(m + 1) =
√
2m
2
− 4m + 26
và
IA =


m − 7
2

2

2
⇔ 3(m
2
− 2m + 13) = m
2
− 14m + 49
⇔ 2m
2
+ 8m − 10 = 0 ⇔ m = 1 ∨ m = −5.
Từ đó, ta được hai đường thẳng thỏa mãn là y = x + 1 và y = x − 5. 
(b) Cách 2. Cũng với lập luận như trên thì ∆ chính là phân giác trong góc A của tam giác
ABC nên AB tạo với ∆ một góc 30
◦
. Gọi hệ số góc của đường thẳng AB là m thì phương
trình AB có dạng y = m(x + 2) + 5. Vì góc giữa AB và ∆ bằng 30
◦
nên




m + 1
1 − m




= tan 30
◦
=






y =

−2 +
√
3

x + 1 + 2
√
3
y =
2x + 1
x − 1
⇔





y =

−2 +
√
3

x + 1 + 2

y = −1 + 2
√
3
⇔


B

√
3 + 1, 2 +
√
3

B

2
√
3 + 4, −1 + 2
√
3

⇒

d : y = x + 1
d : y = x − 5
• Với m = −
√
3 − 2, ta cũng có kết quả tương tự.
http://onluyentoan.vn
4 Nguyễn Minh Nhiên

=
2a
3

−a
3
+ 2
x
2
= −

−a
3
⇒ y
2
=
−2a
3

−a
3
+ 2
Để đồ thị hàm số cắt Ox tại đúng một điểm thì ta phải có
y
1
y
2
> 0 ⇔

2a

2
−
2
x
với x ∈ R\{0}. Ta có
y

= −2x +
2
x
2
, y

= 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = −3,
lim
x→0
+
y = −∞, lim
x→0
−
y = +∞, lim
x→±∞
y = −∞.
Bảng biến thiên:
x −∞ 0 1 +∞
y

+ + 0 −
y −∞
+∞

1
)f(x
2
) < 0.
• Trong trường hợp f(x) = 0 có nghiệm x = x
0
, ta đưa phương trình về dạng
(x − x
0
)g(x) = 0.
http://onluyentoan.vn
Sự tương giao của hai đồ thị 5
Ví dụ 5 (Đề thi Đại học khối A năm 2010). Cho hàm số
y = x
3
− 2x
2
+ (1 − m)x + m, (1)
trong đó m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thỏa mãn điều kiện x
2
1
+ x
2

2
là nghiệm của (3) thì ta phải có
1
2
+ x
1
2
+ x
2
2
< 4 ⇔ (x
1
+ x
2
)
2
− 2x
1
x
2
< 3 ⇔ m < 1. (4)
Yêu cầu bài toán tương đương với (3) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
= 1 thỏa mãn điều kiện
(4). Điều này xảy ra khi và chỉ khi




m
), m là tham số. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều
có hoành độ nhỏ hơn 2.
Hướng dẫn giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
)và đường thẳng y = −1 là:
x
4
− (3m + 2)x
2
+ 3m = −1 ⇔ (x
2
− 1)(x
2
− 3m − 1) = 0.
Đường thẳng y = −1 cắt (C
m
) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi

0 < 3m + 1 < 4
3m + 1 = 1
⇔



−
1
3

2
− 2m − 1) = 0 ⇔

x = ±1
x
2
= 2m + 1
Để (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì ta phải có

2m + 1 = 1
2m + 1 > 0
⇔



m = 0
m > −
1
2
http://onluyentoan.vn
6 Nguyễn Minh Nhiên
Khi đó các nghiệm là ±1, ±
√
2m + 1. Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi






m = −
4
9
(thỏa)
m = 4 (thỏa)
Vậy có hai giá trị thỏa mãn yêu câu đề bài là m = 4 và m = −
4
9
. 
(b) Cách 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
)và trục hoành là:
x
4
− 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1 = 0. (1)
Đặt t = x
2
 0 thì ta có
t
2
− 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0. (2)
Chú ý rằng (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi có 4 nghiệm phân biệt.
Điều này đồng nghĩa với việc (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt, hay là



,
−
√
t
1
,
√
t
1
,
√
t
2
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Ta có

−
√
t
2
+
√
t
1
= −2
√
t
1
−
√
t

1
t
2
= 2m + 1. (5)
Từ (3) và (4) suy ra t
1
=
m+1
5
, t
2
=
9m+9
5
. Thay vào (5), ta được
9(m + 1)
2
= 25(2m + 1) ⇔ 9m
2
− 32m − 16 = 0 ⇔


m = −
4
9
(thỏa)
m = 4 (thỏa)
Như vậy, ta tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = 4 và m = −
4
9

Hy vọng qua các ví dụ trên, bạn đọc sẽ nắm được dạng toán tương giao giữa hai đồ thị hàm
số. Cuối cùng mời các bạn cùng giải quyết một số bài tập sau:
Bài tập 1 (Đề thi Đại học khối D năm 2008). Cho hàm số y = x
3
− 3x
2
+ 4 có đồ thị (C).
Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1, 2) với hệ số góc k > −3 đều cắt đồ thị
hàm số (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B, đồng thời I là trung điểm của AB.
Bài tập 2. Cho hàm số y =
x
2
+mx−1
x−1
. Xác định m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA ⊥ OB.
Bài tập 3. Cho hàm số (C
m
) : y = x
3
+ mx
2
− x −m. Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành một cấp số cộng.
Bài tập 4. Cho hàm số (C) : y =
x
2
−2x+2

Bài tập 8 (Đề thi Đại học khối D năm 2009). Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng
y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y =
x
2
+x−1
x
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm
của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.
Bài tập 9. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y = x
2
− 1, y =
2x−m
x
cắt
nhau tại ba điểm phân biệt. Khi đó, tìm tâm và bán kính đường tròn đi qua ba giao điểm đó.
Bài tập 10. Cho hàm số (C) : y = mx
3
−nx
2
−9mx + 9n. Tìm m, , n để trong các giao điểm
của (C) với trục hoành có hai giao điểm cách nhau 9 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng
của (C) đến trục hoành bằng 2 đơn vị.