Bài 19. Bài toán giao điểm của hai đồ thị
Chúng ta đã dùng giao điểm của hai đồ thị để xét nghiệm của phương trình, nay
ta lại làm điều ngược lại, tức là đưa bài toán xét giao điểm của hai đồ thị về bài toán
xét nghiệm của phương trình.
Thí dụ 1 : Chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường thẳng y = x + k
luôn cắt đồ thị
x 2
y
x 1
+
=
+
tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm K sao cho AB ngắn nhất.
Giải : Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x + K và đồ thị
x 2
y
x 1
+
=
+
là các
nghiệm của phương trình
x 2
x K
x 1
+
= +
+
(*)
Ta có : (*) ⇔ x + 2 = (x + 1)(x + K) (x = −1 không là nghiệm của phương trình
này nên hai phương trình tương đương) ⇔

Chú ý : Có thể chứng minh đường thẳng y = x + K cắt cả hai nhánh của đồ thị,
với lưu ý hai nhánh của đồ thị ở hai phía tiệm cận đứng x = −1 và phương trình (*)
luôn có hai nghiệm thỏa mãn
A B
x 1 x< − <
.
Thí dụ 2 : Tìm m để đường thẳng y = −x + m (d) cắt đồ thị
2
x 2x 2
y
x 1
− +
=
−
(H)
tại 2 điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3.
Hướng dẫn : Lưu ý đường thẳng (d) và đường thẳng (d') : y = x + 3 vuông góc
với nhau tại I với
I
m 3
x
2
−
=
. Do đó A và B đối xứng nhau qua (d') ⇔
A B I
x x 2x+ =
.
1
Mặt khác

cắt trục hoành tại 3 điểm lần lượt là A, B, C sao cho AB = BC.
Giải : Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là các nghiệm của phương
trình
3 2
x 3x 6x k 0− − + =
(*)
Điều kiện cần : Giả sử k thỏa mãn bài toán thì phương trình (*) có 3 nghiệm
A B C
x x x< <
thỏa mãn
B A C B
x x x x− = −
hay
A C B
x x 2x+ =
.
Khi đó :
3 2
A B C
x 3x 6x k (x x )(x x )(x x )− − + = − − −
với mọi x. Khai triển vế
phải và đồng nhất hệ số của
2
x
ở hai vế ta có
A B C
x x x 3+ + =
⇒
B
3x 3=

(*)
Đồ thị cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A và B ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt
A
x
,
B
x

⇔
m 0
' 0
≠


∆ >

⇔
4
m 0
7
− < ≠
. Lưu ý : A và B luôn liên hợp điều hòa với C và D ⇔
2
A B C D A B C D
(x x )(x x ) 2(x x x x )+ + = +
với mọi giá của m vừa tìm được. Theo định
lý Vi-ét thì
A B
2(m 2)
x x 2 4t

C D
5
x x
2
= −
nên
C
x
,
D
x
là các nghiệm của phương
trình
2
3 5
x x 0
2 2
+ − =
⇔ x = 1 hoặc
5
x
2
= −
. Vậy A và B luôn liên hợp điều hòa với
C(1 ; 0) và
5
D ; 0
2
 
−