BI GING ễN THI VO I HC S TNG GIAO GIA HAI TH HM S
S tng giao gia hai th hm s
Đ1. th hm s cha du giỏ tr tuyt i
A. Phng phỏp gii toỏn
v th hm s cha du giỏ tr tuyt i, ta s dng ba nguyờn tc sau õy:
Nguyờn tc 1. (v s phõn chia th hm s) th hm s
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2

neỏu
neỏu
neỏu
n n
f x x D
f x x D
y f x
f x x D




= =






Hai trng hp hay gp:
th hm s
( )
y f x=
Vỡ
( )
( )
( )
0
laứ haứm chaỹny f x
f x f x x

=


=


nờn th hm s
( )
y f x=
gm hai phn:
+) Phn 1 l phn th hm s
( )
y f x=
nm bờn phi
Oy
;
+) Phn 2 i xng vi phn 1 qua
Oy

+) Phn 2 i xng vi phn th hm s
( )
y f x=
phớa di trc honh qua
trc honh.
THS. PHM HNG PHONG GV TRNG H XY DNG D: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Vẽ các đồ thị hàm số
1)
( )
1
1
1
x
f x
x
−
=
+

( )
1
C
;
2)
( )
2
1

4
1
1
x
f x
x
−
=
+

( )
4
C
;
5)
( )
5
1
1
x
f x
x
−
=
+

( )
5
C
.

− <


. Do đó đồ thị
( )
1
C
gồm hai phần (hình 1):
• Phần 1: là phần đồ thị
( )
C
nằm trên
Ox
;
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị
( )
C
nằm dưới
Ox
qua
Ox
.
2) Ta có
( )
( )
2
f x f x=
là hàm chẵn, đồ thị nhận
Oy
làm trục đối xứng. Lại có

neáu
f x f x
f x f x
f x f x
≥

= =

− <


. Do đó đồ thị
( )
3
C
gồm hai phần (hình 3):
• Phần 1: là phần đồ thị
( )
2
C
nằm trên
Ox
;
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị
( )
2
C
nằm dưới
Ox
qua

1x ≥
;
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị
( )
C
ứng với
1x <
qua
Ox
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
5) Ta có
( )
( )
( )
5
1
1
neáu
neáu
f x x
f x
f x x
> −

=

− < −

Hình 4 Hình 5
C. Bài tập
Vẽ đồ thị các hàm số sau đây
1)
( )
2
3 3 5y x x x= − − + +
2)
1 1y x x= − − +
3)
2
3 5y x x= − −
4)
2
3 5y x x= − −
5)
2
3 5y x x= − −
6)
2 2
1
3
3 1y x x x x= − − +
7)
3 2
1
3
3 1y x x x= − − +
8)
2 2

14)
( )
2 2
1 3y x x= − −
15)
( )
2 2
3 1y x x= − −
16)
( )
3 2
1 3 3y x x x x= − + − −
17)
4 2
5 4y x x= − +
18)
( )
3 2
1 4 4y x x x x= − + − −
19)
( )
3 2
1 4 4y x x x x= + − − +
20)
( )
3 2
2 2 2y x x x x= − + − −
21)
( )
3 2

x
y
−
−
=
28)
1
2
x
x
y
−
−
=
29)
1
2
x
x
y
−
−
=
30)
1
2
x
x
y
−

+
=
34)
2
3
1
x x
x
y
−
+
=
35)
2
3
1
x x
x
y
−
+
=
36)
3
1
x
x
y x
−
+

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
§2. Sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số để xét phương
trình
A. Phương pháp giải toán
Trong phần này, ta sử dụng các kết luận sau đây về mối liên
hệ giữa tập nghiệm của phương trình
( )
f x m=

( )
*
với tập
tập các điểm chung của đường thẳng
:d y m=
với đồ thị
( ) ( )
:C y f x=
:
•
( )
*
có nghiệm
⇔

d
có điểm chung với
( )
C
.
• Số nghiệm của

( )
*
tương đương với
3 2 3 2
3 3x x k k− = −
.
Nếu đặt
( )
3 2
3f x x x= −
thì phương trình trở thành
( ) ( )
f x f k=
.
( )
*
có ba nghiệm phân biệt
⇔
đường thẳng
( )
y f k=
có ba
điểm chung với đồ thị hàm số
( )
y f x=

⇔

( )
4 0f k− < <


.
Phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
( )
1
có hai nghiệm
phân biệt khác
k
, tức là
( ) ( )
( )
2 2
1 3 0
3 3 0
k k
k k k k k
∆ = − + − >



+ − + − ≠



⇔

( )
{ }
1;3
0;2

. Phương trình đã cho tương đương với
( )
f x m=
.
Trước hết ta vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
3 2
2 9 12f x x x x= − +
. Hàm
( )
f x
là hàm chẵn,
( )
( )
f x f x=

0x∀ ≥
. Do đó, đồ thị
( )
'C
của hàm số
( )
f x
gồm hai phần
• Phần 1: là phần
( )
C


2 2
2x x m− =
.
( )
1
Giải. Cách 1. Đặt
2
t x=
,
( )
1
trở thành
2t t m− =
.
( )
2
( )
1
có
6
nghiệm phân biệt
⇔

( )
2
có
3
nghiệm dương phân biệt
⇔

− ≥

=

− − <



⇒

( )
C
gồm hai phần:
• Phần 1: là phần đồ thị hàm số
2
2y t t= −
ứng với
2t ≥
.
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị hàm số
2
2y t t= −
ứng với
2t <
, qua trục hoành.
Vậy
( )
1
có
6

neáu
f x f x
f x
f x f x
≥

=

− <



⇒
Đồ thị
( )
'C
của hàm số
( )
f x
gồm hai phần
• Phần 1: là phần
( )
C
nằm phía trên trục hoành.
• Phần 2: đối xứng với phần
( )
C
nằm phía dưới trục hoành, qua
trục hoành.
( )

nghiệm phân biệt và cả
4
nghiệm này đều nhỏ hơn hoặc bằng
1
.
3) Trong trường hợp phương trình có
4
nghiệm phân biệt, gọi
4
nghiệm đó là
1
x
,
2
x
,
3
x
,
4
x
, hãy tính tổng
1 2 3 4
x x x x+ + +
.
Bài 2. Cho
3 2
3 9y x x x m= + − +

( )

2) Tìm
m
để phương trình
3
3 6 2 0
m
x x
−
− + − =
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 4. Cho hàm số
3
3 2y x x= − +

( )
C
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
.
2) Biện luận số nghiệm của phương trình
2
2
3
1
3 2 2x x
m
m
 

3 3 2
k
x
x
k
−
−
+ + =
−
có
3
nghiệm phân biệt.
Bài 6. Cho hàm số
( ) ( )
2
1 2y x x= + −

( )
C
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
.
2) Biện luận số nghiệm của phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2x x m m+ − = + −
.
Bài 7. Cho hàm số

π
.
Bài 8. [ĐHA02] Cho phương trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0x x m+ + − − =
.
1) Giải phương trình khi
2m
=
.
2) Tìm
m
để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
 
 
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
§3. Sử dụng phương trình để xét bài toán về sự tương giao giữa hai
đồ thị hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho
( )
y f x=

( )

.
( )
*
Phương trình
( )
*
được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
.
• Bước 2: Tìm giao điểm. Nếu
0
x
là một hoành độ giao điểm thì
( )
( )
0 0
;x f x
(
( )
( )
0 0
;x g x≡
) là
một giao điểm của

a

+ = −




= −


.
Nhận xét.
• Hai đồ thị hàm số có giao điểm
⇔
phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm.
• Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho
3 2
2 5y x x x= + − +

( )
1
C
và hàm số
7y x=

( )
2
C


1
3 29
2
3 29
2
x
x
x


=

− +

=


− −

=


.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vậy hai đồ thị đã cho có ba giao điểm:
( )
1

1
C
và
y x= −

( )
2
C
. Tìm điều kiện của
m
để
( )
1
C
có
giao điểm với
( )
2
C
.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
:
( )

0
∆ ≥
2 2 3
2
2 2 3
2
m
m

−
≤


⇔

+
≥


.
Ví dụ 3. Cho
3
4 2y x mx= − +

( )
1
C
và
2
3 4y x m= −


⇔

( ) ( )
2
1
2 4 2 0 2 ' 4 3
x
x x m m
=


− − − = ∆ = +

.
Số giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
bằng số nghiệm của phương trình
( )
1
. Do đó
•
3
0

2
trở thành
( )
2
2
2 1 0 1 0 1x x x x− + = ⇔ − = ⇔ =
. Trong trường
hợp này,
( )
1
cũng có nghiệm duy nhất (
1x
=
)
⇒

( )
1
C
và
( )
2
C
có một giao điểm.
•
3
4
0 m∆ > ⇔ > −
:
( )

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Kết luận:
•
3
4
m ≤ −
:
( )
1
C
và
( )
2
C
có một giao điểm.
•
3
4
m > −
:
( )
1
C
và
( )
2
C
có ba giao điểm.
Ví dụ 4. [ĐHD03] Cho
2


2
2 4
2 2
2
x x
mx m
x
− +
= + −
−⇔

( ) ( )
2
2 4 2 2 2x x x mx m− + = − + −
(
⇒

2x ≠
).

⇔

( ) ( ) ( )
2
1 4 1 4 2 0m x m x m− − − + + =
.


1m
<
.
Ví dụ 5. [ĐHA04] Cho hàm số
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=
−

( )
C
. Tìm
m
để đường thẳng
:d y m=
cắt đồ
thị hàm số tại hai điểm
A
,
B
sao cho
1AB =
.

d
cắt
( )
C
tại
2
điểm khi và chỉ khi
( )
*
có hai nghiệm phân biệt, tức là:

0∆ >

⇔

2
4 4 3 0m m − >−

⇔

1
2
3
2
m
m

< −



+ = −


= −

.
Mặt khác vì
A
,
B
cùng thuộc đường thẳng
:d y m=
nên
A B
y y m= =
.
Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
4 3 2 4 3 2 4 4 3
A B A B A B A B
AB x x y y x x x x m m m m= − + − = + − = − − − = − −
.
Do đó
2 2
1 5
2
1 1 4 4 3 1
1 5


( )
C
. Tìm
m
để
( )
C
cắt trục hoành
tại
3
điểm phân biệt có hoành độ là
1
x
,
2
x
,
3
x
sao cho
2 2 2
1 2 3
4x x x+ + <
.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
( )
C
của hàm số với trục hoành (
0y =

C
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
⇔

( )
1
có ba nghiệm phân biệt
⇔

( )
t x
có hai nghiệm phân biệt khác
1

⇔

( )
0
1 0t
∆ >



≠



⇔

1 4 0

x
,
3
x
là các nghiệm của
( )
t x
. Theo định lý Vi-ét, ta có:
2 3
2 3
1x x
x x m
+ =


= −

.
Do đó:

( )
2
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
1 2 2 2x x x x x x x m+ + = + + − = +
,
2 2 2
1 2 3
4 2 2 4 1x x x m m+ + + < ⇔⇔ <<
.

2
3
3
2 2
x
y x= − + −
và
1
2 2
x
y = +
; 2)
2
1
x
y
x
=
−
và
3 1y x= − +
;
3)
1
2
x
y
x
−
=

=
−
và
2
2 4y x x= − + +
;
8)
2
2
3 6
2
x x
y
x x
+ +
=
− +
và
3 2y x= −
;
9)
4 2
1y x x= − +
và
2
4 5y x= −
.
Bài 2. Biện luận theo
m
số giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây

3y m x= −
;
4)
2 1
2
x
y
x
+
=
+
và
2y x m= +
;
5)
1
1
x
y
x
+
=
−
và
2y x m= − +
;
6)
2
6 3
2

và
4 1y mx m= − −
;
9)
3
2 1y x x= + +
và
( )
2
1y m x= −
.
Bài 3. Tìm
m
để
1) Đường thẳng
: 2d y x m= +
đồ thị hàm số
( )
2
2 3
:
1
x x m
C y
x
− +
=
−
tại hai điểm phân biệt;
2) Đường thẳng

và
( )
2
2
: 2 2C y x x= − +
cắt nhau tại ba điểm
phân biệt;
7) Các đồ thị hàm số
( )
3 2 2
1
: 2 3C x x m x m+ − +
và
( )
2
2
: 2 1C y x= +
cắt nhau tại ba điểm phân
biệt;
8) Đường thẳng
:d y m=
cắt đồ thị hàm số
( )
4 2
1: 2C y x x= − −
tại bốn điểm phân biệt;
9) Đồ thị hàm số
( ) ( )
4 2 3
: 1C y x m m x m= − + +

x x
C y
x
+ −
=
tại hai điểm phân biệt.
Bài 4. Tìm
m
để
1) Đường thẳng
: 2d y mx= +
cắt đồ thị hàm số
( )
2
4 5
:
2
x x
C y
x
+ +
=
+
tại hai điểm có hoành độ
trái dấu;
2) Đường thẳng
: 2d y mx= +
cắt đồ thị hàm số
( )
2

( )
2
:
1
mx x m
C y
x
+ +
=
−
cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương;
5) [ĐHA03]
( )
2
:
1
m
mx x m
C y
x
+ +
=
−
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương;
6) [ĐHD09] Đường thẳng
: 1d y = −
cắt
( ) ( )
4 2
3 2: 3

;
2) Đường thẳng
: 2d y x m= +
cắt đồ thị hàm số
( )
3 1
:
4
x
C y
x
+
=
−
tại hai điểm
A
,
B
sao cho
đoạn thẳng
AB
ngắn nhất;
3) Đường thẳng
:d y x m= − +
cắt đồ thị hàm số
( )
4 1
:
2
x

,
B
sao cho đoạn thẳng
AB
ngắn nhất;
5) Đường thẳng
: 2 2d y mx m= + −
cắt đồ thị hàm số
( )
2
2 4
:
2
x x
C y
x
− +
=
−
tại hai điểm
A
,
B
.
Khi đó, hãy tính độ dài đoạn thẳng
AB
theo
m
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84

2
2 4
2
x x
y C
x
− +
=
−
. Tìm
m
để đường thẳng
: 2 2
m
d y mx m= + −
cắt
( )
C
tại hai điểm
A
,
B
phân biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng
AB
thuộc trục tung.
Bài 8. [ĐHB10] Cho
2 1
1
x
y

2 1
x
y
x
− +
=
−

( )
C
. Chứng minh với mọi
m
, đường thẳng
:d y x m= +
luôn
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
A
và
B
. Gọi
1
k
,
2
k
là hệ số góc các tiếp tuyến với
( )

tại hai
điểm phân biệt
A
,
B
sao cho khoảng cách từ
A
và
B
đến trục hoành bằng nhau.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15